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第十届华杯赛决赛试题及解答

发布时间:2013-11-13 09:31:49  

第十届华杯赛决赛试题及解答

一、填空(每题10分,共80分)

1.下表中每一列为同一年在不同历法中的年号,请完成下表:

2.计算:

① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。

3.计算机中最小的存储单位称为“位”,每个“位”有两种状态:0和

1。一个字节由8个“位”组成,记为B。常用KB,MB等记存储空间的大小,其中1KB=1024B, 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载,已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB,则下载完毕还需要( )分钟。(精确到分钟)

4.a,b和c都是二位的自然数,a,b的个位分别是7与5,c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005,则a+b+c=( )。

5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点,沿这三条棱的三个中点,从这个正方体切下一个角,这样一共切下八个角,则余下部分的体积(图1中的阴影部分)和正方体体积的比是( )。

6.某种长方体形的集装箱,它的长宽高的比是4∶3∶2,如果用甲等油漆喷涂它的表面,每平方米的费用是0.9元,如果改用乙等油漆,每平方米的费用降低为0.4元,一个集装箱可以节省6.5元,则集装箱总的表面积是( )平方米,体积是( )立方米。

7.一列自然数0,1,2,3,?,2005,?,2004,第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表:

规定横排为行,竖排为列,则2005在数表中位于第( )行和第( )列。

8.图2中,ABCD是长方形,E,F分别是AB,DA的中点,G是BF和DE的交点,四边形BCDG的面积是40平方厘米,那么ABCD的面积是( )平方厘米。

图2

二、解答下列各题,要求写出简要过程(每题10分,共40分)

9.图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案,并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度?

10.有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数,

①从这10个数中选出7个数,使这7个数中的任何3个数都不会两两互质;

②说明从这10个数中最多可以选出多少个数,这些数两两互质。

11.一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5,如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。

12.A码头在B码头的上游,“2005号”遥控舰模从A码头出发,在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米,水流的速度是每分钟40米。出发20分钟后,舰模位于A码头下游960米处,并向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离。

三、解答下列各题,要求写出详细过程(每题15分,共30分)

13.已知等式其中A,B是非零自然数,求A+B的最大值。

14.两条直线相交,四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”(见图4)。如果在平面上画L条直线,要求它们两两相交,并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一,问:

(1)L的最大值是多少?

(2)当L取最大值时,问所有的“夹角”的和是多少?

参考答案

一、填空

1. 145 2.27 3. 10005与10020

二、解答题

4. 红色八边形的面积是

5. 至少有25名小朋友6. 甲到过山顶9次

1.【解】甲跑1000米,乙跑了950米,乙跑1000米,丙跑900米, 所以甲跑1000米时,丙跑了950×

-855=145(米). =855(米),丙距终点1000

2.【解】设中间数为n则(n-2)×n×(n+2)=2***3,又知(n-

2)×(n+2)<,而=19683,所以,n应大于27,而7×9×1=63,故最小数应为27,27×29×31=24273,符合题意,并且是唯一解.

3.【解】能被15整除的最小5位数是10005,10005+15=10020,按照题目所给的操作,只需将这两个五位数取为10005和10020,则经过1次操作,较小的数变为15,较大的数变为10005,再经若干此次操作,

较小的数一直不变,较大的数每次减少15,直到较大的数变为30,再经一次操作两个数都变成了15.

4.【解】如图,易知蓝边正方形面积为,△ABD面积为,△BCD面积为,

所以△ABC面积为-=,可证AE∶EB=1∶4,

黄色三角形面积为△ABC的,等于

积是:. ,由此可得,所求八边形的面 至此,我们对各部分的面积都已计算出来,如下图所示.

【又解】设O为正方形中心(对角线交点),连接OE、OF,分别与AF、BG交于M、N,设AF与EC的交点为P,连接OP,△MOF的面积为正方形面积的,N为OF中点,△OPN面积等于△FPN面积,又△OPN面积与

,△OPM面积相等,所以△OPN面积为△MOF面积的,为正方形面积的

八边形面积等于△OPM面积的8倍,为正方形面积的.

5.【解】不超过15元可购买商品的方法有:

共12种方法,所以如果有25人,必然会有3人购买的商品完全相同.

答:至少有25名小朋友.

6.【解】不妨设想为在一条直线上的运动,将上山的路程看作下山路程的1.5倍,并设AC=1,则CB=2,下山路程=2,将上山、下山一个全程看作5,重复在一条直线上进行.如下图:

B点表示山顶,甲到达山顶所走的路程可以表示为:5×n-2(其中n

为整数,表示到达山顶的次数),此时乙所走的路程为(5×n-2)×,乙处于的位置为(5×n-2)×÷5=(5×n-2)÷6的余数,设此余数为k,当0<k≤1时,乙刚好处于AC段.因为所求为甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬,可以从n=1开始,依次求出,列表如下:

即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时(包括此时),甲到过山顶9次.

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