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初中数学竞赛题...

发布时间:2013-11-14 13:39:58  

1(甲).如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

可以化简为( ).

(第1(甲)题)

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙).如果(A) (B),那么的值为( ). (C)2 (D)

2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

2(乙). 在平面直角坐标系

y)的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

3(甲).如果为给定的实数,且,那么这四中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)

(C) (D)

3(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.

AD = 3,BD = 5,则CD的长为( ). ,

(第3(乙)题)

(A) B)4 (C) (D)4.5

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于x的方程

这样的方程的个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3

的概率为,则

(A) (B) (C)中最大的是( ). (D) 是正整数)的正根小于3, 那么

5(乙).黑板上写有

中选取2个数,然后删去共100个数字.每次操作先从黑板上的数,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012(B)101 (C)100 (D)99

6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是

.

(第6(甲)题)

6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足,,那么的值为 .

,E,F分别是AB,BC的中点,AF与7(甲).如图,正方形ABCD的边长为2

DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是

(第7(甲)题) (第7(乙)题)

7(乙).如图,

且.延长,与的半径为20,分别交于是上一点.以两点,则 为对角线作矩形的值等于 . ,8(甲).如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+= 0的两个实数根分别为,

,那么 的值为

8(乙).设为整数,且1≤n≤2012. 若

的个数为 .

9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形能被5整除,则所有数.若和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是

10(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .

(第10(甲)题)

10(乙).已知是偶数,且1≤≤100.若有唯一的正整数对成立,则这样的的个数为 .

11(甲).已知二次函数,当时,恒有;使得关于x的方程围. 的两个实数根的倒数和小于.求的取值范

11(乙). 如图,在平面直角坐标系xOy中, AO = 8,AB = AC,sin∠ABC=. CD与y轴交于点E,且S△COE = S△ADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式

.

(第11(乙)题)

12(甲).如图,上的点,线与与交于点的直径为,且,过点.点. ,且与在内切于点.为交于点上,且,BE的延长,求证:△BOC∽△

(第12(甲)题)

12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线, AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;

(2)AB+AD = 2BD

.

(第12(乙)题)

13(甲).已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于

14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数?并说明理由 ,满足,且

14(乙).将. (n≥2

)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数,求的最小值. (可以相同)使得

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

一、选择题

1(甲).C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

,且

所以

1(乙).B

, .

解:

2(甲).D .

解:由题设知,,,所以. 解方程组得

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤

因为均为整数,所以有

≤2.

解得

以上共计9对

3(甲).D

解:由题设知,

.

,所以这四个数据的平均数为

中位数为

于是

3(乙).B .

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

(第3(乙)题)

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为在Rt△于是DE=

4(甲).D 中,,所以 . ,所以CD = DE = 4.

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,

可得

均为非负整数. 由题设

消去x得 (2y-7)n = y+4,

2n =. 因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为

二次函

.

由于有

5(甲).D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所

以的图象知,

当都是正整数,所以. 于是共有7组时

,,故方程的根为一正一负.由,所

以,即

,1≤q≤2,此时都,1≤q≤5;或

符合题意.

,因此

5(乙).C

解:因为

1后的乘积不变. 最大. ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加

设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则

解得

二、填空题

6(甲).7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 27x-26≤487,

81x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,

7<x≤19.

6(乙).7

解:由已知可得

487 ≤487,故x的取值范围是 ,.

7(甲).8

解:连接DF,记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△,所以

, 由此得,所以.

(第7(甲)题)

在Rt△ABF中,因为,所以

于是

.

. 由题设可知△ADE≌△BAF,所以

于是

. 又因为,所以,所以. . 7(乙).

解:如图,设所以

的中点为,连接,则.因为,

(第7(乙)题)

所以

. 8(甲).

解:根据题意,关于x的方程有

=k2-4

由此得 (k-3)2≤0. ≥0,

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=. 故==.

8(乙).1610

解:因为当被5除余数是1或4时,整除; 当被5除余数是2或3时,

当被5除余数是0时,

能被5整除,则不能被5整除. 能被5整除; =或=能被5整除,则. 能被5

所以符合题设要求的所有的个数为

9(甲).8 .

解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知

由此得0≤b≤43.

0≤,所以≤43,

87≤. 于是 ≤130,

由此得

,或. 当故时,. ;当时,,,不合题设. 9(乙).

解:由题设得

≤1

所以

整理得

.

, 由二次函数的图象及其性质,得.

又因为

≤1,所以≤1.

10(甲).

解:如图,连接AC,BD,OD.

(第10(甲)题)

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

.

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC, 于是

. 因此. 由△∽△,知.因为, 所以

,BA=AD ,故

.

10(乙). 12

解:由已知有4的倍数.设

(Ⅰ)若,则1≤,可得,且为偶数,所以≤25. ,与b是正整数矛盾. 同为偶数,于是是

(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数

对满

足;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对满足

(Ⅲ)若是素数,或. 恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对满足

因为有唯一正整数对. ,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有12个.

三、解答题

11(甲).解: 因为当时,恒有,所以

, 即,所以. ????(5分)

当且解得≤时,≤;当≤, .????(10分) 的两个实数根分别为,由一元二次方程根与时,≤,即≤, 设方程系数的关系得

. 因为,所以

, 解得因此,或. .????(20分)

11(乙).解:因为sin∠ABC=由勾股定理,得 BO=

. ,,所以AB = 10.

(第11(乙)题)

易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).

设点D的坐标为(m,n),由S△COE = S△ADE,得S△CDB = S△AOB. 所以

,,解得n=-4.

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4). ????(10分)

因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E

的坐标为

.

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =.

故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

. ????(20分)

12(甲). 证明:连接BD

,因为

,所以△CBE是等腰三角形. 为

的直径,所以

.又因为

(第12(甲)题)????(5分) 设与交于点,连接OM,则.又因为,所以

.????(15分) 又因为分别是等腰△,等腰△

△BOC∽△的顶角,所以 .????(20分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

(第12(乙)题)

所以 CI = CD.

同理, CI = CB. 故点C是△IBD的外心.

连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

所以OI⊥AC,即OI⊥CI.

故OI是△IBD外接圆的切线. ????(10分)

(2) 如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F. 由,知OC⊥BD.

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以Rt△BCF≌Rt△AIE,

所以BF = AE.

又因为I是△ABD的内心,所以AB+AD-BD = 2AE = BD.

故AB+AD = 2BD.????(20分

13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数).

因为 +b)2-4ab = (a-b)2,

所以 (2a-m)2-4n2 = m2, (2a-m+2n)(2a-m-2n) = m.(5分) 2

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2a-m+2nm,2a-m-2n1. 2

解得

a

,. 于是= a-

m. ????(10分

又a≥2012,即≥2012.

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥

当时,,,. =2025. 因此,a的最小值为2025. ????(20分)

13(乙).解:假设凸边形中有个内角等于

(1)若于,由,得,则不等于的内角有个. ,正十二边形的12个内角都等;(5分)

(2)若,且≥13,由,可得,即≤11.

当时,存在凸边形,其中的11

个内角等于

,其余

个内角都等于

(3)若,且≤≤. .?(10分)

当一个内角

时,设另一个角等于.存在凸边形,其中的

个内角等于,另

可得;由≥8

可得

,且

.???(15分) (4)若其中

,且3≤≤7,由(3)可知≤

,另两个内角都等于

.当

时,存在凸边形,

个内角等于

综上,当当≤≤

时,的最大值为12;当≥13时,的最大值为11;

;当3≤≤7时,的最大值为

都是正整数,且

≥1,

≥2,?,

≥2012.

.??(20分)

,所以

时,的最大值为

14(甲).解:由于

于是

≤.????(10分)

当时,令,则

.????(15分)

时,其中≤≤

,令

,则

综上,满足条件的所有正整数n为

14(乙).解:当

时,把

.????(20分)

分成如下两个数组:

在数组存在数在数组. 所以,≥

下面证明当.????(10分) ,使得. 中,由于,所以其中不中,由于,所以其中不存在数

,使得时,满足题设条件.

也在第一组,则结论已经成立.故不妨设

在第二组.

,此时

. ;如果8在第二不妨设2在第一组,若组. 同理可设在第一组,此时考虑数8.如果8在第一组,我们取在第二组,我们取综上,满足题设条件. .????(20分) ,此时所以,的最小值为

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