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小学数学解题思路大全 文字题巧解

发布时间:2013-11-15 08:04:39  

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(一)

1.想 数 码

例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。

思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。

相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是

思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。

不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”

2.尾数法

例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。

由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。

知 1222×1222>1221×1223

例2 二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。

由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。 由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。

甲数是348,乙数是34。

例3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。

由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;

由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;??不难推出原式为

142857×3=428571。

3.从较大数想起

例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法?

思路一:较大数不可能取5或比5小的数。

取6有6+5;

取7有7+4,7+5,7+6;

????????????????

取10有九种 10+1,10+2,??10+9。

共为 1+3+5+7+9=25(种)。

思路二:两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9,2+10;??较小数为9的有9+10。

共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)

这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、??开始。

思路三:两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、?、19。

和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;和是11~19的取法

5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。

4.想大小数之积

用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知

交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。

5.由得数想

例如,思考题:在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是

0,0.5,1,1.5,2。

从得数出发,想:

两个相同数的差,等于0;

一个数加上或减去0,仍等于这个数;

一个因数是0,积就等于0;

0除以一个数(不是0),商等于0;

两个相同数的商为1;

1除以0.5,商等于2;??

解法很多,只举几种:

(0.5-0.5)×0.5×0.5×0.5=0

0.5-0.5-(0.5-0.5)×0.5=0 (0.5+0.5+0.5)×(0.5-0.5)=0\ (0.5+0.5-0.5-0.5)×0.5=0 (0.5-0.5)×0.5×0.5+0.5=0.5 0.5+0.5+0.5-0.5-0.5=0.5 (0.5+0.5)×(0.5+0.5—0.5)=0.5 (0.5+0.5)×0.5+0.5-0.5=0.5 (0.5-0.5)×0.5+0.5+0.5=1 0.5÷0.5+(0.5-0.5)×0.5=1 (0.5-0.5)÷0.5+0.5+0.5=1 (0.5+0.5)÷0.5-(0.5+0.5)=1 0.5-0.5+0.5+0.5÷0.5=1.5 (0.5+0.5)×0.5+0.5+0.5=1.5 0.5+0.5+0.5+0.5-0.5=1.5 0.5÷0.5+0.5÷0.5-0.5=1.5 0.5÷0.5÷0.5+0.5-0.5=2 (0.5+0.5)÷0.5+0.5-0.5=2 (0.5+0.5+0.5-0.5)÷0.5=2

[(0.5+0.5)×0.5+0.5]÷0.5=2

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(二)

6.想平均数

思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占

知这三个数是14、15、16。

二、一个数分别为

16-1=15,

15-1=14 或 16-2=14。

若先求第一个数,则

思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,

知是15、16。

思路四:第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷(8-7)×7=14。

若先求第三个数,则

2÷(8-7)×8=16。

7.想奇偶数

例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。

例如

1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100

你还能想出不同的添法吗?

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即

1+2+3+4+5+6+78+9

=45+63=108。

为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。 “减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负“-1”,不能介绍。如果式左变为

12+3+4+5+6+7+89。

[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。 要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有

12+3+4+5-6-7+89=100,

12-3-4+5-6+7+89=100,

同理得

12+3-4+5+67+8+9=100,

1+23-4+56+7+8+9=100,

1+2+34-5+67-8+9=100,

123-4-5-6-7+8-9=100,

123+4-5+67-89=100,

123-45-67+89=100。

为了减少计算。应注意:

(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?

1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。

(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。

例2 求59~199的奇数和。

由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1+3+5+7+??+(2n-1)=n2

奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。

例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。

知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。

所求为 10000-841=9159。

或者 59=30×2-1,302=900,

10000-900+59=9159。

例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。

例如

1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100

你还能想出不同的添法吗?

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即

1+2+3+4+5+6+78+9

=45+63=108。

为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。

“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负数“-1”,不能介绍。如果式左变为

12+3+4+5+6+7+89。

[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。

要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有

12+3+4+5-6-7+89=100,

12-3-4+5-6+7+89=100,

同理得

12+3-4+5+67+8+9=100,

1+23-4+56+7+8+9=100,

1+2+34-5+67-8+9=100,

123-4-5-6-7+8-9=100,

123+4-5+67-89=100,

123-45-67+89=100。

为了减少计算。应注意:

(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?

1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。

(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。

例2 求59~199的奇数和。

由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1+3+5+7+??+(2n-1)=n2

奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。 例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。

知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。

所求为 10000-841=9159。

或者 59=30×2-1,302=900,

10000-900+59=9159。

8.约倍数积法

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。

证明:设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。

那么 M×N=P×a×P×b。

而 Q=P×a×b,

所以 M×N=P×Q。

例1 甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。甲数是21,乙数是多少?

例2 已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。

这两个互质数的积为1×155=155,还可分解为5×31。

所求是1和155,5和31。

例3 两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的2.5倍,求各数。

由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的2.5倍。

小数的平方为4×40÷2.5=64。

小数是8。

大数是8×2.5=20。

算理:4×40=8×20=8×(8×2.5)=82×2.5。

9.想 份

10.巧用分解质因数

例1 四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。

144=24×32

=(22×3)×[(2×3)×2]

=(4×3)×(6×2)

可组成4∶6=2∶3等八个比例式。

例2 三个连续自然数的积是4896,求这三个数。 4896=25×32×17

=24×17×(2×32)

=16×17×18

1728=26×33=(22×3)3=123

385=5×7×11

例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少? 1992=2×2×2×3×83

2+3+83=88

例5 甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。 1620=22×34×5

=(32×22)×(32×5)

甲数是45,乙数是36。

例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。

八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。

每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为

例7 600有多少个约数?

600=6×100=2×3×2×2×5×5

=23×3×52

只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为:

2、22、23;

3;

5、52;

2×3、22×3、23×3;

2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52; 3×5、3×52;

2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。

不含2×3×5的因数的数只有1。

这八种情况约数的个数为;

3+1+2+3+6+2+6+1=24。

不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(四)

23.想和不变

无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7+11=18是不变的。

而新分数的分子与分母的和为1+2=3,要保持原和不变,必同时扩大18÷3=6(倍)。

某数为7-6=1或12-11=1。

24.想和与差

算理,原式相当于

求这个分数。

25.想差不变

分子与分母的差41-35=6是不变的。新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大6÷1=6(倍)。

某数为42-35=7,或48-41=7。

与上例同理。23-11=12,3-1=2,12÷2=6,

某数为11-6=5或23-18=5。

分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后,分子比分母应小3+2=5。

26.想差的1/2

对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。

例1 求分母是12的所有最简真分数的和。

由12中2的倍数有6个,3的倍数有4个,(2×3)的倍数2个,知所求数是

例2 分母是105的,最简真分数的和是多少?

倍数15个,(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个,(3×5×7)的倍数1个。知

105-[(35+21+15)-(3+5+7)+1]=48,

48÷2=24。

27.借助加减恒等式

个数。

若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,

这九个分数是

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(五)

28.计算比较

例如,九册思考题:1÷11、2÷11、3÷11??10÷11。想一想,得数有什么规律?

??

可见,除数是11,被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)

,商

17÷11=(11+6)÷11=11÷11+6÷11

凡商是纯循环小数的除式,都有此规律;不是纯循环小数的,得数不存在这一规律。

不难发现,它们循环节的位数比除数少1,循环数字和顺序相同,只是起点不同。

只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序,计算时以最大商的数字为起点,顺序写出全部循环节数字,即可。

29.由验算想

例如,思考题:计算1212÷101,……,3939÷303,你能从计算中得到启发,很快说出下面各题的得数?

4848÷202,7575÷505,……

3939÷303

=(3030+909)÷303

=3030÷303+909÷303

=10+3=13

备课用书这种由“除法的分配律”解,要使三年级学生接受,比较困难。 若从“除法的验算”推导

由3939÷303=( ),

商百位上的3和13相乘才可得39,商个位上的3也必须与13相乘得39,除数是13确定无疑。显然,在被除数上面写上除数,使位数对齐,口算很快会得出结果。

所以商是12。

30.想 倍 比

31.扩 缩 法

例如,两数和是42,如果其中一个数扩大5倍,另一个数扩大4倍,则和是181。求这两个数。

若把和,即这两个数都扩大4倍,则得数比181小,因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。

181-42×4=13

42-13=29

若把两数都扩大5倍,结果比181多了原来扩大4倍的那个数。 42×5-181=29,42—29=13。

若把181缩小4倍,则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍,又

若把181缩小5倍,得数比42小。因为先扩大4倍的那个数,又缩小5

最佳想法:

两数扩大的倍数不同,181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。

181÷42=4余13。

另个数可这样求

32.分别假设

例如,1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5:把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形,它与原来的正方形面积相等。那么,正方形的面积是多少平方米。 设正方形的边长为1,另一边增加的百分数为x,则 (1-1×20%)×(1+x)=1,

正方形边长 2÷25%=8(米),

面积 8×8=64(平方米)。

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(六)

33.变数为式

……

34.分解再组合

例如,(1+2+3+…+99)+(4+8+12+…+396) =(1+2+3+…+99)+4(1+2+3+…+99) =5(1+2+3+…+99)

35.先分解再通分

有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。

判断两个数是否互质,不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数,看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。

57=3×19,如果57和76有公有的质因数,只可能是3或19。用3、19试除,

[57,76]=19×3×4=228。

26=2×13,65和91是13的倍数。

最小公分母为

13×2×5×7=910。

36.巧用分解质因数

教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。其实,分解质因数在解题中很有用处。提供新解法,启迪创造思维。

例2 184×75

原式=2×2×46×3×5×5

=46×3×(2×5)2

=138×100=13800。

37.变 式 法

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(七)

38.推理调整

例如,1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8:一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么,这个自然数是多少?

由奇数×奇数=奇数,知这个自然数是两个奇数的乘积。

如果其中一个是11,乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此,两奇数都至少是13。

所求数只能是13×15=195。

39.想 顺 推

例如,用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字,能组成多少个九位数?

由“1”,组成1个数;

由“1、2”,可组成12、21,2个数;

由“1、2、3”,可组成123、132、231、213、312、321,6个数。 可见:

由两个一位数组成的两位数的个数=2×1:由三个一位数组成的三位数的个数=3×2。依此类推

40.想 倒 推

倒推是常用的数学思维方法,思考途径是从题目的问题出发,倒着推理,逐步靠拢已知条件,直到解决问题。有些题用此法解,能化难为易。

例1 一个数扩大3倍后再增加100,然后缩小2倍后再减去36得50,求这个数。

从最后的差50倒推。减前是50+36=86,缩小2倍前是86×2=172,增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是:

[(50+36)× 2-100]÷3=24。

例2 某种细菌每小时可增长1倍,现有一批这样的细菌,10小时可增长100万个。问增长到25万个时,需要几小时?

由“细菌每小时增长1倍”,知增长到25万个后经过1小时增长到25×2=50(万个),再过1小时就可增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到100万个要用1+1=2(小时),所以增长到25万个需

10-2=8(小时)

41.推想与推断

例如,武汉市武昌区数学竞赛题:3/17

的分子和分母同时加上什么数,

因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17

分母同时扩大14÷2=7(倍),就是

加上的数是35-17=18或21-3=18。

42.巧 归 结

例如,选择“+、-、 ×、 ÷、( )”中的符号,把七个5连成算式,得数为 0、1、2、3、…10。

5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。

此题解法很多,这里只介绍一种。

由5÷5=1,

5÷5+5÷5=2,

5=5,

知问题可变为,怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。

1、2、5三个数不能通过四则运算得0和1,但5÷5=1、5-5=0、0乘任何数都得0,易得到

0=(5-5+5-5+5-5)×5

1=5÷5+5×(5-5+5-5)

2=5-(5÷5+5÷5)-5÷5=5-2-1

3=5×(5÷5)-(5÷5+5÷5)=5×1-2

4=5+5÷5-(5÷5+5÷5)=5+1-2

5=5×(5÷5+5÷5)-5÷5=5×(2-1)

6=5+(5÷5+5÷5)-5÷5=5+2-1

7=5×(5÷5)+(5÷5+5÷5)=5×1+2

8=5+(5÷5-5÷5)+5÷5=5+2+1

9=5×(5÷5+5÷5)-5÷5=5×2-1

10=5×(5÷5+5÷5)×(5÷5)=5×2×1

若5的个数是8,则

0=5-5+5-5+5-5+5-5

1=5÷5+5-5+5-5+5-5

10=5×2×1

=5×(1+1)×1

=5×5÷5+5×5÷5×5÷5

9=5×2-1

=5×(1+1)-1

=5×5÷5+5×5÷5-5÷5

5=5×(2-1)

=5×2-5×1

=5×(5÷5+5÷5)-5×5÷5

由5÷5=1

5-(5+5+5)÷5=2

5=5

知其余各式的讨论,和5的个数为7时相同。即 8=5+2+1

=5+5-(5+5+5)÷5+5÷5

7=5×1+2

=5×5÷5+5-(5+5+5)÷5

6=5+2-1

=5+5-(5+5+5)÷5-5÷5

4=5+1-2

=5+5÷5-5+(5+5+5)÷5

3=5×1-2

=5×5÷5-5+(5+5+5)÷5

2=5-2-1

=5-5+(5+5+5)÷5-5÷5

显然,若5的个数是9,只要在5的个数是7的各式后面加上

(5-5)。如

10=5×(5÷5-5÷5)×(5÷5)+(5-5)若5的个数是7+2n(n为自

然数),只要在5的个数是7的各式,后面加上n个(5-5)。

若5的个数是10,只要在5的个数是8的各式,后面加上一个

(5-5)。

若5的个数是8+2n,则只要在5的个数是8的各式,后面加

上n个(5-5)。

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(八)

43.巧 归 类

例如,用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数,编加、减、乘、除四个算式,每个数只许用一次。

根据逆运算关系,把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。

编加减法算式,比编乘除法算式多得多,宜从量少的入手。想到这十二个数中,能做被除数的只有12、10、8、6,先编除法算式更为适宜。

(1)12÷3=4 (2)12÷2=6

12÷4=3 12÷6=2

(3)10÷2=5 (4)8÷2=4 (5)6÷2=3

10÷5=2 8÷4=2 6÷3=2

确定(1)组为除法算式,其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次,此组已出现3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。 若(1)组为除法算式,(3)组为乘法算式。或反过来,各得四式

12÷3=4 10÷2=5

12÷4=3 10÷5=2

4×3=12 5×2=10

3×4=12 2×5=10

剩的六个数,可组成

6+7=13 8+1=9

7+6=13 1+8=9

13-6=7 9-1=8

13-7=6 9-8=1

整理:

组合:

(1)组可组合算式

(2)、(3)、(4)均可组成16种答案,共64种。

44.想 联 系

求这二数。

由整数除法、分数、比的内在联系想:

被除数÷除数=商(整数)……余数;

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(九)

45.想 关 系

例1 一个减法式子中,被减数、减数与差的和是76。求被减数。76÷2=38 例2 被减数是7,被减数、减数与差的和是多少?

7×2=14

例3 被除数、除数和商的积是196。求被除数。

196=2×2×7×7

=14×14

被除数是14。

例1与此例的算理

设A-B=C,那么A=B+C。

若A+B+C=n,则A+A=n,2A=n,A=n/2。

设A÷B=C,那么A=B×C。

如果A×B×C=n,则有A×A=n。

A可用分解质因数法求。

46.想 对 调

例如,第八册P94思考题:用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字,写出三个大小相等的分数,每个数字只许用一次。参考书中给出:

这三种和下面的四种答案的分子和分母对调,为14种。

还能求出12种

47.逻辑思考

例如,一个硬币重10克,每10个硬币为一摞,一共有10摞。从表面上看,这10摞硬币都一样,其实里面有一摞是假的。现在只知道假币比真币轻2克,你能只称一次,就把这摞假币找出来吗?

从第一摞里取一个硬币,从第二摞里取两个,……从第十摞中取十个。55个放在一起称,如果都是真的,应重10×55=550(克)。

假如称的结果是538克,那就少了12克,每个假币比真币少2克,因而有12÷2=6(个),说明6个硬币的第六摞是假的。

若称的结果是542克,少了8克,说明第四摞是假的。

48.由特征想

例如,哪些自然数的和能被2、4、5、7整除?

任何个偶数的和,能被2整除;

偶数个奇数的和,能被2整除;

任意四个连续自然数,如果首尾两数的和能被5整除,那么这四个数的和也能被5整除;

任意四个连续偶数的和,能被4整除;

任意五个(或5的倍数)个连续自然数的和,能被5整除;

任意七个连续自然数的和,能被7整除;

…………

49.以零求整

把题分成有联系而又相对独立的小问题,进而解决所求问题。

例如,第五册P20思考题:用0、1、2…9十个数字组成三个数(每个数字只能用一次,且必须用一次),其中两个数的和等于第三个数。

这是三位数加三位数等于四位数,百位上两数相加和为10,其它两位数相加不进位的题。

分成小问题:一位数分别相加,其中一组的和为10,再分别找出两个数相加得第三个数。

这样分别开来,易找出

3+7=10,

2+6=8,

4+5=9,

合起来为324+765=1089。

或者4+6=10,

2+7=9,

3+5=8,

423+675=1098。

再分别交换个位、十位上的数字,又可得到多组答案。

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(十)

50.探 索 法

就是多方寻求答案,解决疑难。

51.观 察 法

数学知识是通过数、式、形三方面的内容,体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。

例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3),类推出(4)的结果。

(1)1+1×8

(2)2+12×8

(3)3+123×8

(4)4+1234×8

仔细观察算式间的联系,

第一个加数,逐次增加1;第二个加数逐次增加11,111, 1111,……而乘数都是8,即第二个加数中两个数的乘积,逐次多11个8,111个8,……;(1)式,(2)式,(3)式,……的结果逐次增加 89,889,8889,…… 由式(3)的结果9+89+889=987,知

式(4)为 987+8889=9876。

例2 观察

不难发现:自然数从1开始,累加到任何一个自然数,

其和除以下一个

是偶数,商是小数,是奇数时,商是整数。

如:(1+2+3+…+1000+1001)

例3 由11+1.1=11×1.1,

知其积等于其和。

特点:第一个加数是整数。第二个加数是带分数,整数部分是1,分数部分的分子是1,分母比第一个加数少1。

例4 观察分析

…………

会产生一个直觉:如果a与b是互质数(且a>b),那么a±b与ab是互质数。

此结论成立的话,两个分子是1,分母是互质数的分数相加减,所得结果岂不是不必考虑约分了吗?

用反证法证明:

若a±b与ab不互质,而有因子d的话,设a±b=cd,ab=ed。 则由ab=ed,d为素数可知,或d|a,或d|b。

若d|a,则由a±b=cd,可知必有d|b,这与ab是互质数矛盾。 同理,若d|b,也有矛盾,所以a±b与ab互质。

52.猜测与证明

美国数学家G·玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道:“人们对数学事实总是首先猜测,然后才加以证明。”

例1 3×4=12

它的积是由1和2依顺序排列的数。

由33×34=1122

333×334=111222

n个 n个 n个 n个

为方便起见,在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中,用省略号连在一起的n个数字不再标n个了,它们的个数同上式一样。

证明:

令S=11?1,

则S=10n-1+10n-2+?+10+1,

10S=10n+10n-1+?+102+10,

9S=10S-S=10n-1,

由此得

故33?3×33?4=11?122?2,

进而可得33?3×33?5

=33?3×(33?34+1)

=11?122?2+33?3

=11?155?5。

例2 abcd各不相同,表示一个四位数。问各是什么数时,能同时被2、3、5整除?

智力好的学生,总是经过一番尝试和猜测后,就力图寻求一般规律,不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是,各位上的数字和一定能被3整除,且个位数字是0。

如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话,有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。

这样的数组有:

1、2、3 1、2、6 1、2、9

1、3、5 1、3、8 1、4、7

1、5、6 1、5、9 1、6、8

1、8、9 2、3、4 2、3、7

2、4、6 2、4、9 2、5、8

2、6、7 2、7、9 3、4、5

3、8、4 3、5、7 3、6、9

4、5、9 4、6、8 5、6、7

5、7、9 6、7、8 7、8、9

符合题意的全部四位数是,

6×27=162(个)

例3 证明:任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d,使(a-b)×(c-d)能被56整除。若使(a-b)×(c-d)能被56整除,只要a-b能被8(或7)整除,c-d能被7(或8)整除。

在10个连续自然数中,必有两数的差为8,其余8个数中必有两数的差为7。

设10个连续自然数为:

n、n+1、n+2、?、n+9,

则(n+8)-n=8,

(n+9)-(n+2)=7。

这里 a=n+8,

b=n,

c=n+9,

d=n+2,

或 a=n+9,

b=n+2,

c=n+8,

d=n。

或者(n+9)-(n+1)=8,

(n+7)-n=7。

这里a=n+9,

b=n+1,

c=n+7,d=n,

或 a=n+7, b=n,

c=n+9,d=n+1。

例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。

证明:设任意的连续自然数m,m+1,m+2,??

当n=1时,因为m+(m+1)+(m+2)+(m+3)=4m+6,所以

=2m+3=[m+(m+3)]×1。

当n=2时,因为m+(m+1)+(m+2)+?+(m+4×2-1)=8m+(1+2+?+7)=8m+28。所以

=4m+14=[m+(m+7)]×2。

当m=3时,因为m+(m+1)+(m+2)+?+(m+4×3-1)=12m+(1+2+?+11)=12m+66。所以

=6m+33=[m+(m+11)]×3。

=[m1+(m+k-1)k]×n。

这里m1=9,(m+k-1)k=40,

原式=(9+40)×8=392。

53.相似运算

例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中,任选一个数字,把它与9相乘,得到一个积,把这个积再乘上12345679,答案所有数位上的数字总是和选择的那个数字一样。

比如说,选择5,5×9=45。

两边都除以5,

12345679×9=11 11 11 11 1。

对于任何其它数字,可进行同样的推理。用数字a乘等式两边, 12345679×(a×9)=(11 11 11 11 1)a

=aaaaaaaaa 。

例2 任意选出小于10的三个不同的自然数,如1、6、8。 从中任取两个,组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。

1+6+8=15。

两位数的和除以一位数的和,

设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数,组成两位数, 10a+b 10a+c 10b+a

10b+c 10c+a 10c+b

其和为 22a+22b+22c

=22(a+b+c)

遇到类似的运算,可不假思索地写出22。

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