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小学数学解题思路大全 式题的巧解妙算

发布时间:2013-11-15 08:04:41  

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (一)

1.特殊数题(1)21-12

当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89,都可类推。

被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍??,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。如

210-120=(2-1)×90=90,

0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。

(2)31×51

个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

若十位数字的和满10,进1。如

证明:(10a+1)(10b+1)

=100ab+10a+10b+1

=100ab+10(a+b)+1

(3)26×86 42×62

个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数,前面补0。 证明:(10a+c)(10b+c)

=100ab+10c(a+b)+cc

=100(ab+c)+cc (a+b=10)。

(4)17×19

十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。 原式=(17+9)×10+7×9=323

证明:(10+a)(10+b)

=100+10a+10b+ab

=[(10+a)+b]×10+ab。

(5)63×69

十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。

原式=(63+9)×6×10+3×9

=72×60+27=4347。

证明:(10a+c)(10a+d)

=100aa+10ac+10ad+cd

=10a[(10a+c)+d]+cd。

(6)83×87

十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。如

证明:(10a+c)(10a+d)

=100aa+10a(c+d)+cd

=100a(a+1)+cd(c+d=10)。

(7)38×22

十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

原式=(30+8)×(30-8)

=302-82=836。

(8)88×37

被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。

(9)36×15

乘数是15的两位数相乘。

被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。

=54×10=540。

55×15

(10)125×101

三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。125+1=126。

原式=12625。

再如348×101,因为348+3=351,

原式=35148。

(11)84×49

一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。

原式=8400÷2-84

=4200-84=4116。

(12)85×99

两位数乘以9、99、999、?。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

原式=8500-85=8415

不难看出这类题的积:

最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;

最低位上的两位数,是100与被乘数的差;

中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明:设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则

如果被乘数的个位数是1,例如

31×999

在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。

71×9999=709999-70=709929。

这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为

(10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。

(13)1÷19

这是一道颇为繁复的计算题。

原式=0.052631578947368421。

根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果。

原式转化为0.1÷1.9,把1.9看作2,计算程序:

(1)先用0.1÷2=0.05。

(2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除

如此除到循环为止。

仔细分析这个算式:

加号前面的0.05是0.1÷2的商,后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005,就是把商向右移动一位写到被除数里,除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除,依此类推。

除数末位是9,都可用此法计算。

例如1÷29,用0.1÷3计算。

1÷399,用0.1÷40计算。

2.估算

数学素养与能力(含估算能力)的强弱,直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视,是个亟待研究的课题。

美国数学督导委员会,提出的12种面向全体学生的基本数学能力中,第6种能力即估算:“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时,估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定??”

(1)最高位估算

只计算式中几个运算数字的最高位的结果,估算整个算式的值大概在什么范围。

例1 1137+5044-3169

最高位之和1+5-3=3,结果在3000左右。

如果因为忽视小数点而算成560,依据“一个不等于零的数乘以真分数,积必小于被乘数”估算,错误立即暴露。

例3 51.9×1.51

整体思考。

因为 51.9≈50,

而50×1.51≈50×1.5=75,

又51.9>50,1.51>1.5,

所以51.9×1.51>75。

另外9×1=9,

所以原式结果大致是75多一点,三位小数的末位数字是9。 例4 3279÷79

把3279和79,看作3200和80。准确商接近40,若相差较大,则是错的。

(2)最低位估算

例如,6403+232+1578

3+2+8=13,原式和的末位必是3。

(3)规律估算

和大于每一个加数;

两个真分数(或纯小数)的和小于2;

一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数),且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和;

两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和,且小于这两个整数部分的和加上2;

奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数; 差总是小于被减数;

整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差;带分数(或带小数),与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。

带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数),且大于带分数(或带小数)减去1的差;

带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差,且大于这个差减去1;

如果两个因数都小于1,则积小于任意一个因数;

若两个因数都大于1,则积大于任意一个因数;

带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积,且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积; 例如,

A<AB<B。

奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;

若除数<1,则商>被除数;

若除数>1,则商<被除数;

若被除数>除数,则商>1;

若被除数<除数,则商<1。

(4)位数估算

整数减去小数,差的小数位数等于减数的小数位数;例如,320-0.68,差为两位小数。

最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数,等于这两个数的位数和;

例如,451×7103

最高位的积4×7=28,满10,结果是3+4=7(位数)。在整除的情况下,被除数的前几位不够除,商的位数等于被除数的位数减去除数的位数; 例如,147342÷27

14不够27除,商是4-2=2(位数)。

被除数的前几位够除,商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。

例如,30226÷238

302够238除,商是5-3+1=3(位数)。

(5)取整估算

把接近整数或整十、整百、??的数,看作整数,或整十、整百?的数估算。

如1.98+0.97≈2+1,和定小于3。

12×8.5≈10×10,积接近100。

3.并项式

应用交换律、结合律,把能凑整的数先并起来或去括号。

例1 3.34+12.96+6.66

=12.96+(3.34+6.66)

=12.96+10=22.96 =3-3=0

例3 15.74-(8.52+3.74) =15.74-3.74-8.52 =12-8.52=3.48

例4 1600÷(400÷7) =1600÷400×7

=4×7

=28

4.提取式

根据乘法分配律,可逆联想。

=(3.25+6.75)×0.4=10×0.4 =4 【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算(二)

5.合乘式

=87.5×10×1=875 =8-7=1

6.扩 缩 式

例1 1.6×16+0.4×36

=0.4×(64+36) =0.4×100=40 例2 16×45

7.分 解 式

例如,14×72+42×76

=14×3×24+42×76

=42×(24+76)

=42×100=4200

8.约 分 式

=3×7×2=42

例2 169÷4÷7×28÷13

=1988

例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数,分别除

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (三)

9.拆 分 式

10.拆 积 式

例如,32×1.25×25

= 8×1.25×(4×25)

=10×100=1000

11.换 和 式

例1 0.1257×8

=(0.125+0.0007)×8 =1+0.0056=1.0056

例4 8.37-5.68

=(8.37+0.32)-(5.68+0.32) =8.69-6=2.69

12.换 差 式

13.换 乘 式

例1 123+234+345+456+567+678 =(123+678)×3

=801×3=2403

例2(6.72+6.72+6.72+6.72)×25 =6.72×(4×25)=672 例3 45000÷8÷125

=45000÷(8×125) =45000÷1000=45 例4 9.728÷3.2÷25

=9.728÷(0.8×4×25) =9.728÷80

=0.9728÷8=0.1216 例5 33333×33333

=11111×99999

=11111×(100000-1) =1111100000-11111 =1111088889

综合应用,例如

=1000+7=1007

=(11.75+1.25-4.15-0.85)×125.25(转)

=[(11.75+1.25)-(4.15+0.85)]×125.25(合)

=8×125.25

=8×(125+0.25)(拆)

=8×125+8×0.25=1002

14.换 除 式

例如,5600÷(25×7)

=5600÷7÷25

=800÷25=32

15.直 接 除

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (四)

17.以乘代加

例1 7+4+5+2+3+6

=9×3=27

如果两个分数的分子相同,且等于分母之和(或差),那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。

18.以乘代减

知,两个分数的分子都是1,分母是连续自然数,其差等于其积。

可见,各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1,第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、??第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)

其差等于其积

19.以加代乘

一个整数与一个整数部分和分子都是1,分母比整数(另个乘数)小1

20.以除代乘

例如,25×123678448

=123678448×(100÷4)

=12367844800÷4

=3091961200

21.以减代除

=1986-662=1324

3510÷15

=(3510-1170)÷10=234

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (五)

22.以乘代除

例如,2.7÷4÷6×24÷27

23.以除代除

观察其特点,

24.并数凑整

例如,372+499

=372+500-1=871

56.7-12.8

=56.7-13+0.2=43.9

25.拆数凑整

例如,476+302

=476+300+2=778

9.42-3.1

=9.42-3-0.1=6.32

26.加分数凑整

应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数,其差不变”的性质,使原来减去一个带分数或带小数,变成减去整数。

例3 8.37-5.68

=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)

=8.69-6=2.69

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (六)

30.凑公因数

例如,1992×27.5+1982×72.5

=1992×27.5+(1992-10)×72.5

=1992×27.5+1992×72.5-10×72.5

=1992×(27.5+72.5)-725

=199200-725=198475

或原式=(1982+10)×27.5+1982×72.5

??

31.和差积法

32.直接写得数

观察整数和分数部分,显然原式=3。

33.变数为式

??

34.分解再组合

例如,(1+2+3+?+99)+(4+8+12+?+396) =(1+2+3+?+99)+4(1+2+3+?+99) =5(1+2+3+?+99)

35.先分解再通分

有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。

判断两个数是否互质,不必用2、3、5、??逐个试除。

把其中一个分解质因数,看另一个数能否被这里的某个质因

数整除即可。

57=3×19,如果57和76有公有的质因数,只可能是

3或19。用3、19试除,

[57,76]=19×3×4=228。

26=2×13,65和91是13的倍数。

最小公分母为

13×2×5×7=910。

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (七)

37.巧用分解质因数

教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。其实,分解质因数在解题中很有用处。提供新解法,启迪创造思维。

例1 184×75

原式=2×2×46×3×5×5

=46×3×(2×5)2

=138×100=13800。

38.“1、1”法

一个整数减去一个带分数,可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数,再从1中减去分数部分。

为便于记忆,称“1、1”法。

39.“1,9,9?10”法

一个整数减去一个小数(末位不为0),可先减去比小数高位多1的数,再从9中减去其它位数,最后从10中减去末位数。

40.改变运算顺序

例1 650×74÷65

=(650÷65)×74

=10×74=740

例2 176×98÷49

=176×(98÷49)

=176×2=352

例3 7÷13×52÷4

例4 102×99-0.125×99×8

=102×99-1×99

=99×(l00+1)

=9900+99=9999

41.用 数 据

熟记一些特殊数据,可使计算简捷、迅速。 例1 由37×3=111

知 37×6=111×2=222

37×15=37×3×5=555

例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512;

5、25、125、625。

这些数作分母的分数才能化成有限小数,不需试除。 例4 特殊分数化小数

分母是5、20、25、50的最简分数,在化为小数时,把分子相应地扩大2、5、4、2倍,再缩小10、100倍。

分母是8的最简分数,分子是1、3,小数的第一位也是1、3。

分母是9的最简分数,循环节的数字和分子的数字相同。

例5 1~9π

1×3.14=3.14 6×3.14=18.84

2×3.14=6.28 7×3.14=21.98

3×3.14=9.42 8×3.14=25.12

4×3.14=12.56 9×3.14=28.26

5×3.14=15.7

熟记这些数值,可口算。

3.14×13=10π+3π=40.82

3.14×89=90π-π

=282.6-3.14=279.46

π×1.58

变为整数,三位数前面补0改为四位数,

这样不会把数位搞错,将结果左端的0去掉,点上小数点得

4.9612。也可从高位算起。

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (八)

42.想特殊性

仔细审题,知第二个括号里的结果为0,此题得0。

所以可直接得0。

例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8-2.8)

除数为1,则商就是被除数。

43.想 变 式

44.用 规 律

例1 682+702

两个连续奇(偶)数的平方和,等于这两个数之积的2倍加4的和。

原式=68×70×2+4

=9520+4=9524。

例2 522-512=52+51=103

两个连续自然数的平方差,等于这两个数的和。

例3 18×19+20

任意三个连续自然数,最小数与中间数的乘积加上最大数的和,等于最大数与中间数的乘积减去最小数。

原式=20×19-18=362。

例4 16×17-15×18

四个连续自然数,中间两个的积比首尾两个的积多2。 原式=2。

证明:设任意四个连续自然数分别为a-1、a、a+1、a+2, 则a(a+1)-(a-1)(a+2)

=a2+a-a2-a+2=2。

例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数),乘以一个与其循环节位数相同的数,其规律适用于一些题的简算。

ABAB×CD=(AB×100+AB)×CD

=AB×100×CD+AB×CD

=(CD×100+CD)×AB

=CDCD×AB

如:125×5×1616×78

=125×5×7878×16

=(125×8)×(5×2)×7878

=78780000

45.基础题法

在基础题上深化。例如,

观察(1)的解题过程,

逆用各步的结构特点,

46.巧 归 纳

例如,1+2+?+100+99+?+1

1~100的和为5050,再加一倍为10100,减去多加的100为10000。但速度太慢。

有相同的行数和列数,用点或圈列成正方形的数,叫作正方形数。

由图知

1+2+3+2+1=32,

1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。

不难发现,和为最大加数的平方。显然,

5+6+?+29+30+29+?+6+5

=302-42-4

=900-16-4=880。

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