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希望杯第十届(1999年)初中一年级第2试试题

发布时间:2013-11-15 08:21:08  

希望杯第十届(1999年)初中一年级第2试试题

一、选择题:(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.1的相反数是( ). 1999

11; (D)? 19991999 (A)1999 (B)-1999 (C)-

2.已知a、b、c都是负数,并且│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,则xyz是( ).

(A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数

3.下面四个命题中正确的是( ).

(A)相等的两个角是对顶角

(B)和等于180°的两个角是互为邻补角

(C)连接两点的最短线是过这两点的直线

(D)两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直

4.a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示,则( ). (A)111111????; (B) c?ac?ba?bb?cc?ab?a111111????; (D) c?ab?ab?ca?ba?cb?c (C)

5.7-a的倒数的相反数是-2,那么a=( ).

(A)9 (B)7.5 (C)5 (D)6.5

6.一个角的补角的1是6°,则这个角是( ). 17

a2233<0;ac<0;ac<0;ca<0;ca<0中,必定成立的有( ) c (A)68° (B)78° (C)88° (D)98° 7.如果ac<0,那么下面的不等式:

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

8.不超过100的所有质数的乘减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).

(A)3 (B)1 (C)7 (D)9

9.已知0≤a≤4,那么│a-2│+│3-a│的最大值等于( ).

(A)1 (B)5 (C)8 (D)3 AC10.若n是奇自然数,a1,a2, ?,an是n个互不相同的负整数,则( ).

(A)(a1+1)(a2+2)…(an+n) 是正整数; (B) (a1-1)(a2-2)…(an-n) 是正整数. (C)?

正数.

二、填空题(每小题6分,共60分)

11.如图,线段AB= BC= CD= DE= 1 厘米, 那么图中所有线段的长度之和等于______厘米. 12.

_

13.P是长方形ABCD的对角线BD上的一点,M为线段PC的中点.如果三角形APB的面积是2平方厘米,则三角形BCM的面积等于___________平方厘米.

??1??1??1?1??1??1?1???2????n?是正数; (D)?1???2????n?a2??an?a1??a2??an?a1?????是?1?12??123??1234?24849??1?????????????????????????=_2?33??444??5555?5050??5050

14.五位数538xy 能被3,7和11整除,则x-y =_________.

15.如图,OM平分∠AOB,ON平分∠COD.若∠MON=50°,

∠BOC=10°,则∠AOD= _______.

16.三个不同的质数,a,b,c满足abc+a=200,则a+b+c=_______.

17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数,

使得这个五位数都被3,5,7,13整除.这样的五位数中最大的是___________. b22NCOBM18.A、B两个港口相距300公里.若甲船顺水自A驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在C处相遇.若乙船顺水自A驶向B,甲船同时自B逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C、D相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时.

19.已知x=1999,则∣4x-5x+9∣-4∣x+2x+2∣+3x+7=__________.

20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.

三、解答题:(每小题15分,共30分)要求:写出推算过程.

21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积

. 22

22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?

1999年度(第十届)初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案:

一、选择题

1.根据相反数的定义,11的相反数是-,选(C). 19991999

2.由绝对值定义│x-a│≥0,│y-b│≥0,│z-c│≥0.而已知│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,当且仅当│x-a│=│y-b│=│z-c│=0,即x=a且y=b且z=c.已知a, b,c均为负数,则x,y,z均为负数,因此xyz是负数.选(A).

3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC与∠BOC不是对顶角,排除(A).

如图9,a∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B). 两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C).因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义. C

1

a

AO

(8)B2b(9)

4.由图10可见c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此

0?11?  ① a?ca?b

11?  ② a?cb?c

11?  ③ c?ab?a 0?由①有 0?

由②有0?11?  ④ c?ac?b

11?0 及④可知应排除(A).由?0及③可知应排a?bb?c 由②知,应排除(D),由

除(C), 肯定(B),所以应选(B).

5.7-a的倒数是11111???2. ,的相反数是-.依题意列方程:7?a7?a7?aa?7a?7 解得:a=6.5,选(D)

11800??6.设这个角为a,a的补角等于180°-a,其为,依题意它是6°, 1717

1800??所以=6°. 解得α=78°.选(B). 17

7.由ac<0,可知a≠0,c≠0,a,c符号相反.所以

cac<0,ca<0.

若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a·c=1>0;

若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a·c=1>0;

可见,ac<0,ac<0 不一定成立.

所以ac<0时,只有222223a2223<0,而a>0,c>0,因此a·ac<0,ca<0,且ca33<0,ca<0,ca<0 三个不等式必然成立.选(C). c

8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以,不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.选(D).

9.①当0≤a≤2时,

│a-2│+│3-a│=2-a+3-a=5-2a≤5,当a=0时达到最大值5.

②当2<a≤3时,

│a-2│+│3-a│=a-2+3-a=1

③当3<a≤4时,

│a-2│+│3-a│=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.当a=4时,达到最大值3.

综合①、②、③的讨论可知,在0≤a≤4上,│a-2│+│3-a│的最大值是5,选(B).

10.a1,a2,…,an 是n个互不相同的负整数,其中n是奇自然数.

若a1=-1,a2=-2,a3=-3,…,an=-n,

时,(a1-1)(a2-2)…(an-n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)2×4×6×…×(2n)<0(因为n是奇数),故排除(B). n

??1??1??1?1??2????n??0,排除(C).故选(D). 若a1=-1时,??1?=0,故??1??aaa?1??2??an??1?

实事上,若a1<0, a2<0,?, an<0,则?111?0,??0,?,??0, a1a2an

所以1?111?0,2??0,?,n??0, a1a2an

1??1??12??n?????a1??a2??an??>0,故选(D). ?所以?1??

?

二、填空题

11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条,长为4厘米的线段仅1条.

B(11)D

图中所有线段长度之和为

1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘米).

12.设s=1?12??123??1234?24849??1?????????????????????????, 2?33??444??5555?5050??5050

又s=1?21??321??4321??49481???????????????????????, 2?33??444??5555??505050?

相加得 2s=1+2+3+4+?+49,

又 2s=49+48+47+?+2+1,

相加得 4s=50×49=2450,

故 s=612.5

13.根据题意画图,如图12所示.连接AC交BD于O,则△ABO的面积等于△CBO 的面积,△APO的面积等于△CPO的面积.因此,△ABP的面积等于△CBP的面积,所以由△APB面积是2平方厘米,可知△CBP面积是2平方厘米.而BM是△CBP的一条中线,三角形中线平分三角形的面积,所以△BCM的面积等于1平方厘米.

14.由于五位数能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除538xy.

试除知 231×230=53130

231×231=53361

231×232=53592

231×233=53823538xy

231×234=54054

可见x=2,y=3.x-y=4-9=5.

15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD

=2∠MOB+∠BOC+2∠CON

=2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC

=2∠MON-∠BOC

=2×50°-10°

=90°

16.易知a(bc+1)=2000=2×5.

若a=5,则bc+1=400,

∴bc=399=3×133=3×7×19

无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a≠5.

只能取a=2,此时bc+1=1000, bbbb4322AD2C(12)BDNCOBMA(13)

∴ bc=999=3×37,则b=3,c=37,

因此,a+b+c=2+3+37=42.

17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.

通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645.

但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出

72×1364=98280(两个8重复,不合要求).

71×1365=96915(两个9重复,不合要求).

70×1365=95550(三个5重复,不合要求).

69×1365=94185(五个数码不同).

因此,所求的五位数最大的是94185.

18.已知A、B两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v公里/ 小时,小流速为x公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时.

甲船自A顺水,乙船自B逆水同时相向而行,相遇在C处时间为: b3

300300 ?(27?x)?(v?x)27?v

同理,乙船自A顺水,甲船自B逆水同时相向而行,相遇在D处所需时间为:

300300 ?(27?x)?(v?x)27?v

可见,两个时间相等.

由图易见,300小时中,乙船比甲船多走30公里,即

: 27?v

(v?x)300300?(27?x)?30, 27?v27?v

300?30, 27?v?(v?x)?(27?x)?

v?271?,v=33. 27?v10

如果C在D的右边,由图15易见,

300

小时中,甲船比乙船多走30公里,即:

27?v

(27?x)?

1300300

?(v?x)??30,v=22.

1127?v27?v

1

公里/11

答:若C在D的左边,乙船速度是33公里/小时;若C在D的右边,乙船速度是22小时.

19.由观察可知,当x≥1时,4x-5x+9>0,x-2x+2>0, 所以,当x=1999时,

原式=4x-5x+9-4(x-2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8 将x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982. 20.将每人猜测的出赛顺序列如下表:

2

2

2

2

故可确定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛,而丁的顺序至少被一人猜中, 所以丁应第五位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛,甲第三位出赛,乙第二位出赛.

答:出赛顺序第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁. 三、解答题

21.图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F,显然最小的正方形A的面积是1 平方厘米,它的边为长1厘米.

设最大正方形B的边长为x厘米,则C的边长为(x-1)厘米,D的边长为(x-2)厘米,E的边长为(x-3)厘米,F的边长也为(x-3)厘米.

根据矩形对边相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1)

即 3x-8=2x-1

所以 x=7(厘米)

于是,C的边长为6厘米,D的边长为5厘米,E和F的边长均为4厘米.

长方形的面积为 (7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米).

22.①设这组四位数共n个,分别为

a1=42x1, a2=42x2, a3=42x3,…, an=42xn,其中的每个 ai=42xi是四位数,

所以

1000≤42xi<10000,

23?100010000?xi??239. 4242

②由题设知

90090=[a1,a2,…,an]=[42x1, 42x2,…, 42xn]=42[x1, x2,…, xn]

所以 [x1, x2,…, xn]=90090=2145=3×5×11×13,其中23<xi<239. (*) 42

可知xi 是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.

a1=42×33=1386, a2=42×39=1638,

a3=42×55=2310, a4=42×65=2730,

a5=42×143=6006, a6=42×165=6930,

a7=42×195=8190.

它们的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190.

答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.

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