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等差数列求和

发布时间:2013-09-19 10:31:06  

等差数列的前n项和

授课教师: 商水二高 魏小丽

计算: 1+2+3+4+5+6+……+98+99+100=?

问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

问题 1: 1+2+3+··+100=? ··
分析:

首项与末项的和: 1+100=101, 第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101, 第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101,

··· ···

··· ···

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 100 100 于是所求的和是: ?101? (1 ? 100)
2 2 100 ? (a1 ? a1 0 0) ? 5050 2

问题 2
一个堆放铅笔的V形架,最下面第一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面多放一支,就这样一层一层地往上放。 最上面一层放120支。求这个V形架上共放着多少支铅笔?

有多少层 呢?

S120 =1+2+3+ ·· +120 ·· ··

120 = 121 · = 7260 2 120
= (1 + 120 ) ·
2

120 ? (a1 ? a120 ) · 2

问题 1:

问题 2:

S100 = 1+2+ ·· +100 S120=1+2+ ·· +120 ·· ·· ·· ·· 100 120 ? (a ? a ) · ? (a ? a ) · 2 2 猜测:对于等差数列{an}
1 100
1 120

Sn=a1+a2+··+an ·· ··

成立吗?

n Sn ? (a 1 ? an ) · 2

等差数列的前n项和公式推导:
任意的第K项与倒数第K项 的和等于首项、末项的和

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? [a1 ? (n ? 1)d ]
Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? [an ? (n ? 1)d ]

???????n个?????? ? ? 2 Sn ? a1 ? an ) ? a1 ? an ) ? ? ? a1 ? an ) ( ( (

? n(a1 ? an ) n(a1 ? an ) Sn ? 2

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n( a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

注意:对于这两个公式分别有四个未知数,如果 已知其中的任 何三个可以求另外一个。
第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数 第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质 第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、 公差之间的关系,而且是关于n的“二次函数”, 可以与二次函数进行比较。

公式记忆 方法:
n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2

a1

n
an

n( n ? 1) . 1)前n个正整数的和:1+2+3+…+n= 2 ;

2)求正整数列中前n个偶数的和2+4+6+…+2n= 。
解: S n ? n ? ( 2 ? 2n) ? n(n ? 1). 2

例1 等差数列-10,-6,-2,2,...
前多少项的和是54? 解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列 的前n项和,则 a1=-10,d=-6-(-10)=4

设该数列前n 项和为54
n(n ? 1

) 根据等差数列前n项和公式: sn ? na1 ? d 2 n(n ? 1) 有 ? 10 n ? ? 4 ? 54成立 22

整理后 得n ? 6n ? 27 ? 0 , 解得 n1=9, n2=-3(舍去)

故此等差数列的前9项和为54。

课堂练习
等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n 项为an,前n项和为Sn,请填写下表:

a1
5
20

d
10 -2
2

n
10 8
15

an
95 6

sn
500

104 -360

-38

-10

例2.已知一个等差数列 {an} 前10项的和是310,前20 项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?
分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个 关于a1与d的二元一次方程,由此可以求得a1与d,从而得到所求 前n项和的公式.

解:由题意知:

s10 ? 310,

s 20 ? 1220

n(n ? 1) 将它们代入公式 n ? na1 ? s d 2 ? 10a1 ? 45d ? 310 得到? ?20a1 ? 190d ? 1220 解方程组得 a1 ? 4 d ?6 n(n ? 1) 所以s n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

还有其他 方法吗?

课堂练习
根据下列各题的条件,求相应
等差数列的未知数

(1)a1 ? 3, an ? 2n ? 1, Sn ? 195, 求d , n

(2).a2 ? a6 ? 16, S6 ? 39, 求d , an

等差数列的前n项和

1、等差数列求和公式既可以用首项,末项,项数 n表示,也可以用首项,公差d,项数n表示。
n( a1 ? an ) Sn ? 2



n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2

2、运用公式时,注意根据已知条件选用恰当 的公式。

等差数列的前n项和

P46页 第2题、第4题、第5题

探究思考
设{an},{bn}都为等差数列,它们的前n项和 S 3n ? 分别为Sn,Tn且 T ? 4n ? 1 求 a15 3 b15
n n

请各位老师与领导指导!


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