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小学四年级寒假奥数班讲义

发布时间:2013-09-19 10:31:07  

小学四年级奥数

目录

第一讲 图形的计数(一) 第二讲 图形的计数(二) 第三讲 速算与巧算(一) 第四讲

第五讲

第六讲

第七讲

第八讲

第九讲

第十讲

第十一讲

第十二讲 速算与巧算(二) 和差倍问题 还原问题 年龄问题 盈亏问题 最佳方案 平均数问题 长方形、正方形的周长和面积 综合测试

1

第一讲 图形的计数(一)

一.知识点回顾

1. 弄清图形中所包含的基本图形,图形的特征和变化规律。

2. 从各图中所包含基本图形的个数多少出发,依次数出它们的个数,并求出它们的和。

3. 被分成几个部分的图形,可以先从各部分的基本图形出发,数出所含图形的个数,再求各部分的总和,做到不重复、不遗漏,正确地解答较复杂的图形个数问题,有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。

二.典型例题

例1. 数出下面图中有多少条线段。

思路导航:要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:AB、AC、AD;从B点出发的不同线段有2条:BC、BD;从C点出发的不同线段有1条:CD。因此,图中共有3+2+1=6条线段。

数线段的规律:线段上有n个点(包括两个端点),n个点把这条线段共分成线段总数为:1+2+3+?+(n-1)。

解:这条线段有4个点,所以线段的总和为1+2+3=6(条)

答:图中的线段有6条。

练一练:数出下列图中有多少条线段。

(2)

2

例2.数出下面图中有多少个角。

思路导航:在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3,∠AOB被这三条角分线分成4个基本角,那么∠AOB内总共有多少个角呢?首先有这4个基本角,其次是包含有2个基本角组成的角有3个(即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB),然后是包含有3个基本角组成的角有2个(即∠AOC3、∠C1OB),最后是包含有4个基本角组成的角有1个(即∠AOB),所以∠AOB内总共有角:4+3+2+1=10(个)

数角的规律:数角的方法和数线段的方法类似,图中共有几条射线组成若干个角,角的总个数为1+2+3+?+(n-1)。

解:图中有5条射线,所以角的个数为:

1+2+3+4=10(个)

答:共有10个角。

练一练:数出下列图中有多少个角。

例3. 数一数图中共有多少个三角形?

3

思路导航:要数有多少个三角形,先看在△AGH中,在GH上有3个分点,分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10(个).在△AMN与△ABC中,三角形有同样的个数,所以在△ABC中三角形个数总共:

(4+3+2+1)×2=30(个).

解:在△ABC中共有三角形是:

(4+3+2+1)×3=10×3=30(个)

答:在△ABC中共有线段60条,共有三角形30个。

练一练:数出下列图中有多少个三角形。

三.巩固提高

(一)填空题。

1.下列图形各有几条线段

( )条 ( )条 ( )

2.一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.

3. (1)数角。 (2)数三角形。

( ) ( )

4 条 (2)数三角形。 ( )

(二)简答题.

1. 数一数下图中共有多少个角?

5. 数一数共有多少个三角形?

四. 选做题

数一数共有多少条线段?共有多少个三角形?

第二讲 图形的计数(二)

例4.数一数下图中有多少个长方形?

5

思路导航:图中的AB边上有线段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×3=18个长方形。

数长方形可以用下面的公式:

长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数

解:共有长方形:

(3+2+1)×(2+1)= 6×3= 18(个)

答:共有长方形18个。

练一练:数出下列图中有多少个长方形。

例5.数一数,下图中有多少个正方形?(每个小方格是边长为1的正方形)

思路导航:图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为:1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为:1×1+2×2+?+n×n。

解: 正方形总数为:1×1+2×2+3×3=14(个)

答:共有正方形14个。

6

练一练:数出下列各图中有多少个正方形。

例6.数一数下图中有多少个正方形?(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)

思路导航:边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个,边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以,图中正方形的总数为:6+2=8个。

经进一步分析可以发现,一般情况下,如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份(长和宽的每一份都是相等的)那么正方形的总数为:mn+(m-

1)(n-1)+(m-2)(n-2)+?+(m-n+1)n.

练一练:数一数下列各图中分别有多少个正方形。

7

四.巩固提高

(一)填空题。

1.数一数下图有( )个长方形.

2.下图共有( )个平行四边形.

(二)简答题 (每小题10分)

1. 图共有几个正方形?

2.数一数下列各图中分别有多少个正方形。答

四. 选做题

下图中有多少个长方形,其中有多少个是正方形?答

的练习练习

8

第三讲 速算与巧算(一)

一.知识点回顾

1. 在加、减、乘、除四则运算中,要想算得快,算得准,其实有些“小窍门”,首先要观察算式和数字的特点和规律,然后再选择合适的巧算方法,运用数的组成与分解,运用定律以及和、差、积、商的变化规律,把按常规较复杂的运算转化为比较简便、迅速的计算。

2. 加、减法的巧算方法有:配对求和法、凑整法、分组法、借来法和加减法的运算性质、运算定律等;

3. 常用的运算定律和运算性质用字母表示为:

加法交换律:a + b = b + a

加法结合律:a + b + c= a +( b + c)

减法的性质:a - b – c = a – (b + c)

a – (b-c)=a - b+c

4. 速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。

二.经典例题

例1.用巧算的方法计算下列各式。

① 29+299+2999+29999

② 30-29+28-27+26-25+?+4-3+2-1

③ 638-(456-62)

思路导航:第①小题计算中运用凑整的方法计算比较简便;第②小题可以将相邻两个数看成一组,进行分组分解法来计算比较简便;第③小题根据减法的性质去括号,再移位凑整。

解:①29+299+2999+29999

=30+300+3000+30000-4

=33326

9

② 30-29+28-27+26-25+?+4-3+2-1

=(30-29)×(30÷2)

=15

③ 638-(456-62)

=638-456+62

=(638+62)-456

=700-456

=244

练一练:用巧算的方法计算下列各式。

① 53+874+47-174+63 ②543-(138-57)-362

③2345+1256-3056-145 ④627-(185+127)

例2.计算199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18

思路导航:通过观察我们可以运用分组凑整法,十个加数可以分成五组,每组第一个加数补1,第二个加数补2都可以凑整。

解:199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18

=200000×2+20000×2+2000×2+200×2+20×2-3×5

=400000+40000+4000+400+40-15

=444440-15

=444425

练一练:用巧算的方法计算下列各式。

①19+199+1999+19999 ②999998+99997+9996+995+94

10

三.巩固提高

1. 347+362+453+338 2. 2345+6789+7655+3211

3. 9979+994+127 4. 1371-289-371

5. 846-163+1154 6. 1643+296+72+4357+128

7. 48+326+52-17+274 8. 1756

9. 368+(134-68) 10. 2663

四.选做题。

1. 534+467-334-267+111 2. 1839

3. 15873-346-873-654 4. 2380

-(756+498) -874-1126+337 -(56-161) -(167+380)-333 11

5. 218+573-136+182-64-73 6. 127+125+126+123+129+122

7. 112+111-110-109+108+107-106-105+104+103-102-101+100+99-98-97

第四讲 速算与巧算(二)

一.知识点回顾

乘、除法的巧算方法有:凑整法、分组分解法、巧妙变形法、乘除法的运算定律和性质,以及商的变化规律,积的不变性质等。

常用的运算定律和运算性质用字母表示为:

除法的性质:a÷b÷c = a÷(b×c) a÷(b÷c)= a÷b×c

乘法交换律:a×b = b×a

乘法结合律:(a×b)×c = a×( b×c)

乘法分配律:(a + b)×c = a×c + b×c (a - b)×c = a×c - b×c

积不变性质:a×b = (a÷c)×(b×c) =(a×c)×(b÷c)

商不变性质:a÷b = (a÷c)÷(b÷c) = (a×c)÷(b×c)

二.经典例题

例1.计算下列各式。

① 375×480+6250×48

② 7200÷25÷36

③ 16×125

④ 2300÷25

12

思路导航:第①小题是根据积的不变规律进行转化,变成能应用乘法分配律,计算起来比较简便;第②小题根据在连除中交换除数的位置商不变的性质来解题;第③小题因为125乘8得1000,运用分解法将16按照16=2×8分解;第④小题,根据商的不变性质,将被除数和除数同时扩大4倍,把除数变成整百的数来计算。

解:① 375×480+6250×48

=375×480+625×480

=480×(375+625)

=480×1000

=480000

② 7200÷25÷36

= 7200÷36÷25

=200÷25

=8

③ 16×125

=2×(8×125)

=2×1000

=2000

④ 2300÷25

=(2300×4)÷(25×4)

=9200÷100

=92

练一练:用巧算的方法计算下列各式。

① 369×123-123×9-360×123

③ 9800÷25÷49

13 ② 125×32×250 ④ 1999+999×999

例2.计算1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8) 思路导航:通过观察我们发现括号里的除法算式不能得到一个整数的商,所以我们要根据a÷(b÷c)= a÷b×c这一性质去掉括号进行计算,当一个数扩大若干倍,同时又缩小相同的倍数时结果不变。

解:1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8) =1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8

=1÷2×8

=4

练一练:

计算9÷(9÷8)÷(8÷7)÷(7÷6)÷(6÷5)÷(5÷4)÷(4÷3)

三.巩固提高

用巧算的方法计算下列各式。

1.①75×16 ②31×8×125 ③2008×125

2.①199×245 ②1001×134 ③67×54+67+45×67

3.①199+99×99 ②21×380+38×790 ③123×235-24×235+235

14

4.①2800÷25÷4 ②562×397÷(281×397) ③7000÷(140÷50)

5.2008×2006+2007×2005-2007×2006-2008×2005

四.选做题

计算55555×666667+44445×666666-155555

第五讲 和差倍问题

一.知识点回顾

1. “和差问题”是已知大小两个数的和与两个数的差,求这两个数。

和差问题基本公式:(和+差)÷2=大数

(和-差)÷2=小数

小数+差=大数 (或者:大数-差=小数)

和-小数=大数 (或者:和-大数=小数)

2. “和倍问题”是已知大小两个数的和与它们的倍数关系,求这两个数。

和倍问题基本公式:和÷(倍数+1)=小数

大数=和-小数 (或者:大数=小数×倍数)

3.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系,求这两个数。

差倍问题基本公式:差÷(倍数-1)=小数

15

二.经典例题

例1. 一个学校四年级共有学生400名,其中男生比女生多40名,四年级男女生共有多少人?

分析:女生:多40人人

男生:从图中可以看出男生人数是较大的数,要比女生多40人,即男生与女生的人数差是40,且男生女生一共有400名。所以我们有

较大的数(男生数)= (两数之和+两数之差)÷2 ,较小的数(女生人数)=(两数和-两数之差)÷2

解:男生:(400+40)÷2=220(人)

女生:(400-40)÷2=180(人)

答:男生有220人,女生有180人。

练一练:

希望小学四年级有学生42人,其中女生比男生少2人,那么这个班级男女生共有多少人?

例2. 甲桶装有汽油是乙桶的三倍,甲桶又倒入20升,乙桶又倒入80升,这时乙桶汽油比甲桶多20升,求原来甲、乙两桶汽油各多少升?

分析: 20升

甲桶:

多20升 乙桶:

80升

从图可以发现,如果乙桶只倒入40升,则甲、乙两桶汽油同样多,这

说明原来甲桶比乙桶多80-20-20=40(升)汽油,且甲桶汽油是乙桶的3倍, 16

则甲桶比乙桶汽油多两倍,这样就找到了2倍数对应量是40升,可以求出乙桶汽油(1倍数)。

解:乙桶原来汽油:(80-20-20)÷(3-1)=20(升)

甲桶原来汽油:20×3=60(升)

答:甲桶原来有汽油60升,

乙桶原来有汽油20升。

练一练:

A桶装油470千克,B桶装油190千克,从A桶倒多少千克油给B桶才能使A桶油是B桶的2倍?

例3.甲、乙、丙三个数的和是183,乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,求甲、乙、丙三个数各是多少?

1倍数

分析:丙数:少4

乙数:

2倍 多7

丙数:

3倍

我们发现甲、乙两个数都是以丙为标准的,所以丙就是1倍数,乙比

丙的2倍少4,即:乙=丙×2-4;甲是丙的3倍多7,即:甲=丙×3+7;丙数为丙×1,且甲、乙、丙三数之和为183,所以丙×3+7+丙×2-4+丙=183,从而丙的(3+2+1)倍对应为183+4-7。

解:丙数=(183+4-7)÷(3+2+1)=30

乙数=30×2-4=56

甲数=30×3+7=97

答:甲数是97,乙数是56,丙数是30。

17

例4.哥哥与弟弟没人都有一些铅笔,如果哥哥给弟弟1支,两人就一样多,

如果弟弟给哥哥1支,哥哥就是弟弟的5倍,哥哥和弟弟原来各有多少

支铅笔?

分析:此题是两次转化的差倍应用题,根据“哥哥给弟弟1支,两人同样多”,

说明哥哥比弟弟多1+1=2(支);根据“弟弟给哥哥一支,哥哥就是弟

弟的5倍”,我们可先知弟弟给哥哥一支,那哥哥比弟弟一共要

2+1+1=4(支),且此时哥哥是弟弟的五倍,即:哥哥比弟弟多4倍。

解:弟弟的支数:(1+1+1+1)÷(5-1)+1=2(支)

哥哥的支数: 2+2=4(支)

答:哥哥有4支铅笔,弟弟有2支铅笔。

练一练:

两个书架原来共有图书300本,当第一个书架借走30本,第二个书架又购进40本后,第一个书架比第二个书架少20本,原来两个书架各有多少本?

四.巩固提高

1.长方形操场的长与宽相差80米,沿操场跑一周是400米,求这个操场的长与宽是多少米?

2.丁丁在期中考试时,语文、数学两科平均分是91分,数学比语文多2分,那么丁丁的语文和数学各得了多少分?

18

3. 师、徒两人共加工105个零件,师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个,师傅和徒弟各加工零件多少个?

4. 实验小学共有学生956人,男生比女生2倍少4人.问:实验小学男学生和女学生各有多少人?

5. 甲班的图书本数比乙班多80本,甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?

6.有两根同样长的绳子,第一根截去12米,第二根接上14米,这时第二根长度是第一根长的3倍,两根绳子原来各长多少米?

五.选做题

1. 有大小两个桶原来水一样多,如果从小桶倒8千克水到大桶,则大桶中水是小桶的3倍,求原来大桶有水多少千克?

19

2. 光明小学有学生760人,其中男生比女生的3倍少40人,男、女生各有多少人?

3. 小勇家养的白兔和黑兔一共有22只,如果再买4只白兔,白兔和黑兔的只数一样多.小勇家养的白兔和黑兔各多少只?

第六讲 还原问题

一. 知识点回顾

有些问题,当顺着题目条件的叙述去寻找解法时,往往有一定的困难,但是,如果改变思考顺序,从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,原来加的用减,减的用加,原来乘的用除,除的用乘,那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法,用还原法解题的问题叫做还原问题。

1. 从最后得数出发,采用与原题相反的逆运算,向前一步一步倒推。

2. 原题加的用减,原题减的用加,原题是乘的用除,原题是除的用乘。

3. 根据原题的叙述顺序,在下面列出数量关系式,再用逆运算的方法得出原数。

二. 经典例题

例1.有一个数,把它加上37,再乘以18,减去323,得到的结果用23 去除,商是16,余数是11.这个数是多少?

分析:我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示,看看能先算出哪个数呢?

加上37 乘以18 减去323 除以23

????商16余11

解:我们采用与原题相反的逆运算,向前一步一步倒推。原题加的用减,原题减的用加,原题是乘的用除,原题是除的用乘。

20

从后面数第一个问号:16×23+11=368+11=379

从后面数第二个问号:379+323=702

从后面数第三个问号:702÷18=39

从后面数第四个问号即所求的数:39-37=2

答:这个数是2.

练一练:一个数扩大3倍,再增加70,然后减少50,得80.这个数是多少?

例2. 四年级的四个班共有学生168人,到了第二学期,学校把班级学生作如下调整:把四班的3名学生调到三班,三班的6名学生调到二班,二班又调6名学生到一班,一班再调2名学生到四班,这时四个班的学生同样多,求四个班原来各有学生多少人?

分析:知道四个班最后学生一样多,且四个班的总人数是168,则可求出四个班最后学生人数:168÷4=42

四班的人数

三班的人数

二班的人数42名 一班的人数 42名 所以:168÷4=42

21

四班:42+3-2=43(人)

三班:42-3+6=45(人)

二班:42-6+6=42(人)

一班:42-6+2=38(人)

答:一班原有学生38人,二班原有学生42人,三班原有学生45人,四班原有学生43人。

练一练:三个小朋友共有贺年卡75张,如果甲给乙4张,乙又给丙3张,那么三个人的贺年卡刚好相等,求甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张?

例3. 一根铁丝,第一次用去它的一半少一米,第二次用去剩下的一半多1米,最后剩5米,求这根铁丝原有多长?

分析: 第一次 5米

1米

总数的一半 剩下的一半

从上图分析可知:

剩下的一半:5+1=6(米)

那第一次用完一共剩下: 6×2=12(米)

总数的一半:12-1=11(米)

总长:11×2=22(米)

即:[(5+1)×2-1]×2=22(米)

答:这根铁丝原来长22米。

22

练一练:篮子里有鸡蛋,第一天拿走一半多两个,第二天拿走余下的一半多4个,这时刚好拿完,求篮子里原来有多少个鸡蛋?

四.巩固提高

1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少?

2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。

3.小乐爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100。问:小乐爷爷今年多少岁?

4.粮库内有一批面粉,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多7吨,还剩4吨。问:粮库里原有面粉多少吨?

5.有一筐梨,甲取一半又一个,乙取余下的一半又一个,丙再取余下的一半又一个,这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元,那么每个梨值多少钱?

6.某人去银行取款,第1次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩125元。问:此人原有存款多少元?

23

五.选做题

1.甲、乙、丙三组共有图书90本,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。问:甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?

2. 一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?

第七讲 年龄问题

一. 知识点回顾

1. 两个人的年龄差总是不变的。

2. 两个人的年龄随着时间、年份的变化而增加(减少)同一个自然数。

3. 两个人年龄的倍数关系随着年龄的变化而变化,一般是随着年龄的增加倍数

关系反而变小。

4. 年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题解答。

大年龄=(两人年龄和+两人年龄差)÷2

小年龄=(两人年龄和-两人年龄差)÷2

知道今年大小年龄各是多少

几年前,大年龄是小年龄的几倍

年数=小年龄-两人的年龄差÷(倍数-1)

几年后,大年龄是小年龄的几倍

年数=两人年龄差÷(倍数-1)-小年龄

二. 经典例题

例1. 儿子今年16岁,父亲今年48岁,几年前父亲的年龄是儿子年龄的9倍? 分析:要抓住父亲与儿子年龄差不变,以此来解决问题。

可知父亲与儿子的年龄差:48-16=32(岁)

24

当父亲的年龄是儿子的9倍时,

那时儿子的年龄是 32÷(9-1)=4

今年儿子16岁,那年儿子4岁, 所以16-4=12(年)

即:16-(48-16)÷(9-1)=12(年)

答:12年前父亲的年龄是儿子的9倍。 练一练:父亲今年47岁,儿子21岁,多少年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍?

例2. 5年前,爷爷的年龄比孙子大60岁,今年祖孙年龄和是100岁,求爷爷

今年是多少岁?

分析:5年前爷爷年龄比孙子大60,即年龄差是60岁,

那5年后的今年,祖孙的年龄差:60岁

今年祖孙的年龄和是100岁,

则爷爷今年的年龄:

(100+60)÷2=80(岁)答:爷爷今年80岁。

练一练:

现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍,5年后,父子共58岁,父子现在各多少岁?

例3. 今年爷爷78岁,三个孙子分别是27岁、23岁、16岁,那么多少年后,爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和? 注意年龄差不变哦 大年龄=(年龄和+年龄差)÷2

25

分析:每过一年,三个孙子分别增长1岁,三个孙子的年龄和就增长了3岁,而爷爷的年龄只增长1岁,所以,每过一年爷爷的年龄和三个孙子年龄和的差就减少2岁。

今年爷爷和三个孙子年龄和的差是:78-(27+23+16)=12(岁);

12÷(3-1)=6(年)

所以,6年后,爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和。

三. 巩固提高

1.父亲今年比儿子大30岁,3年后,父亲的年龄是儿子的4倍,儿子今年几岁?

2. 3年前,父亲与儿子的年龄和是49岁,现在父亲的年龄是儿子的4倍,父子今年各是多少岁?

3. 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍,6年后,母子的年龄和是78岁,问母亲今年多少岁?

4. 小明与小强三年后的年龄之和是27岁,小明比小强大3岁,问小明和小强今年各多少岁?

四.选做题

今年妈妈和儿子的年龄和是34岁,妈妈比儿子大28岁,那么今年妈妈和儿子各多少岁?

26

第八讲 盈亏问题

一. 知识点回归

盈亏问题,故名思意有剩下就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产程这种盈亏现象。键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类:“一盈一亏”、“两盈”“两亏”。

盈亏问题的基本关系式:

(盈?亏)?两次分得之差?人数或单位数

(盈?盈)?两次分得之差?人数或单位数

(亏?亏)?两次分得之差?人数或单位数

二.经典例题

例1. 四年级的同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒则少6粒,问:有多少位同学分多少粒糖果?

分析:由题目条件知道,同学的人数与糖果的粒数不变,比较两种分配方案,第一种没人分4粒就多9粒,,第二种每人分5粒则少6粒,两种不同方案一多一少差9+6=15(粒),相差原理在于两种方案分配数不同,两次分配数之差为15?1?15(位),糖果的粒数为:4?15?9?69(粒)。

练一练:

某校同学排队上操.如果每行站9人,则多37人;如果每行站12人,则少20人.一共有多少学生?

例2. 老猴子给小猴子分桃,每只小猴10个桃,就多出9个桃,每只小猴分11个桃则多出2个桃,那么一共有多少只小猴子?老猴子一共有多少个桃子? 分析:老猴子的第一种方案盈9个桃子,第二种方案盈2个,所以盈亏综合是9-2=7(个),两次分配之差是11-10-1(个)有盈亏问题公式得,有小猴子:7?1?7(只),老猴子有7?10?9?79(个)桃子。

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练一练:

在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面,则余8米;若把绳子三折垂到水面,则余2米。问:桥有多高?绳子有多长?

例3.四(1)班给三好学生1奖练习本,如果每人奖5本,则差9本, 如果每人奖3本, 则差1本,这个班有多少名三好学生?要奖练习本?

分析:这是两次分配方案都是亏的盈亏问题,解题的基本思路是: (大亏?小亏)?两次分得之差?人数, 三好学生数和练习本数是不变的,但两次每人奖的本数发生了变化,结果相差9-1=8(本),所以三好学生:8÷(5-3)=4(人), 练习本:5×4-9=11(本)

三. 巩固提高

1. 某中学安排学生宿舍,每间住6人,则有34人没有床位,每间住7人,则多出4间宿舍,那么有多少宿舍?多少学生?

2. 幼儿园老师给小朋友发小红花,每人发4朵,则剩下20朵,每人发5朵,则剩下5朵,那么有多少小朋友?分多少小红花?

3. 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面,则余5米;若把绳子三折垂到水面,则余4米。问:桥有多高?绳子有多长?

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4. 明明过生日,同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;每人出7元,就多出了4元.那么有多少个同学去买蛋糕?这个蛋糕的价钱是多少?

5. 实验小学学生乘车去春游,如果每辆车坐60人,则有15人上不了车;如果每辆车多坐5人,恰好多出一辆车.问一共有几辆车,多少个学生?

四.选做题

1.妈妈买来一篮橘子分给全家人,如果其中两人分4个,其余人每人分2个,则多出4个;如果其中一人分6个,其余人每人分4个,则缺少12个,妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?

2. 王老师由家里到学校,如果每分钟骑车500米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟骑车600米,就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米?

第九讲 最佳方案

一. 知识点回归

在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。统筹方法是生活和生产中合理安排工作的一种科学方法。我们的学习、生活都离不开时间,要完成一件事,如果我们能够合理安排,选择最佳方案,往往会收到事半功 29

倍的效果。

应用统筹方法解决实际问题,一般要做好三项调查:

1.要做哪些工作;

2.每项工作需要多少时间:

3.弄清所做事情的程序,即先做什么,后做什么,哪些工作可以同时做,从而根据题意选择最佳方案。

二.经典例题

例题1. 用一只平底锅煎饼,每次只能放两个,剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。问煎3个饼至少需要多少分钟?

思路导航:先将两个饼同时放入锅中一起煎,一分钟后两个饼都熟了一面,这时可将一个取出,另一个翻过去,再放入第三个。又煎了一分钟,将两面都熟的那个取出,把第三个翻过去,再将第一个放入煎,再煎一分钟就会全部煎好。所以,煎3个饼至少需要3分钟。

练一练:

用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用几分钟?

例题2. 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟? 思路导航:经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。

根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。

30

练一练:

在早晨起床后的1小时内,小萱要完成以下事情:叠被3分钟,洗脸刷牙8分钟,读外语30分钟,吃早餐10分钟,收碗擦桌5分钟,收听广播30分钟。最少需要多少分钟?

例题3. 五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针需要5分钟,孙勇包纱布需要3分钟,李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?

思路导航:校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟,赵1+3=4分钟,赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。 练一练:

甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个,怎样安排他们打水的次序,可以使他们打热水所花的总时间最少?

例题4. 用18厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?

思路导航:根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数,因此,当长是5厘米,宽是4厘米时,围成的长方形的面积最大:5×4=20平方厘米。

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练一练:

用长26厘米的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数,围成的长方形的面积最大是多少?

三. 巩固提高

1. 妈妈早上起来要完成如下几件事:洗水壶1分钟,电水壶烧开水要12分钟,擦桌椅要6分钟,把水灌入水瓶要2分钟,去买油条要10分钟,煮牛奶要8分钟,妈妈怎样安排才能使所用时间最短?

2. 星期天,只有王师傅1人在中药柜值班,现在有ABCDEFG7人排队等候抓药,王师傅估算一下这7个人时间分别是11分4分5分10分9分8分6分,请问王师傅应该如何安排这7个人抓药的先后顺序,才能使大家等候的总时间尽量短?

3. 一个长方形的周长是40厘米,要求长和宽都是整厘米数,围成长方形面积最大是多少平方厘米?

4. .用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用几分钟

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四.选做题

1. 烤面包时,第一面需要2分钟,第二面只要烤1分钟,即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子,一次只能放两片面包,她每天早上吃3片面包,至少要烤多少分钟?

2. 在早晨起床后的1小时内,小欣要完成以下事情:叠被3分钟,洗脸刷牙8分钟,读外语30分钟,吃早餐10分钟,收碗擦桌5分钟,收听广播30分钟。最少需要多少分钟?

第十讲 平均数问题

一. 知识点回顾

1. 平均数问题就是把几个已知不相等的数,在总量不变的情况下,通过移多补

少,使它们成为相等的几份数,求其中一份数。

2. 解答平均数问题必须注意两点:第一,总数量与总份数之间必须互相对应;

第二,必须明确总数量和总份数各是由几个部分合并而成的。

3. 解答平均数问题的基本数量关系式是:

总数量÷总份数=平均数

平均数×总份数=总数量

总数量÷平均数=总份数

二. 经典例题

例1.在一次登山比赛中,小刚上山时每分走40米,18分 到达山顶。然后按原路下山,12分钟到达了山底,问小刚上、下山平均每分钟走多少米?

分析:这是一道典型的求均数问题。求平均每分钟走了多少米,那我们根据解决平均数问题的方法:总数÷总份数=平均数。可知要先求出一共走了多少米即 33

总数量和一共走了多长时间即总份数,这样就可以求出每分钟走了多少米即平均数。

解:总数 ÷ 总份数 = 平均数

(40×18×2 )÷(18+12)= 48(米)

答:小刚上、下山平均每分钟走48米。

练一练:

一辆小汽车从甲城开往乙城,速度是60千米/时,12小时到达乙城,又顺原路返回甲城,速度为40千米/时,求这辆小汽车往返的平均速度?

例2.期末考试结束了,小辉去班主任那了解他的考试成绩,班主任告诉他,语文、数学的总分是190分,语文、英语的总分是185分,数学、英语的总分是189分,请你帮忙算一算,小辉三科的平均成绩是多少?

分析:根据“总成绩÷总份数=平均成绩”来解答,这里的总成绩可以求出6科的成绩,也就是190+185+189的和,这里有2倍的语文、2倍的数学、2倍的英语成绩,除以2后就得三科的总分,再除以3就是他的=平均成绩。

解:(190+185+189)÷2÷3=94(分)

答:他三科的平均成绩是94分。

练一练:

某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班期中考试平均分是多少分?

例3.有七个数排成一列,它们的平均数是14,前四个数的平均数是13,后四个数的平均数是15,你知道第四个数是多少吗?

分析:根据“平均数×总份数=总数量”来解答,前四个数,后四个数一共是8个数,中间(第四个数)这个数计算了两次,所以它们的和一定比七个数的总数 34

多,多出的数就是第四个数。

解:(13×4+15×4)-14×7=14

答:第四个数是14。

练一练:

有五个数排成一列,它们的平均数是46,前三个数的平均数是38,后三个数的平均数是50,你知道第三个数是多少吗?

三. 巩固提高

1.10位同学在一次考试中,最高得分是95分,最低得分是75分,总平均分是81分,去掉最高分和最低分,其余8位同学的平均分是多少?

2.明明家共有5个人,如果不算明明,其余4个人平均体重是56千克。当明明加入后,全家人的平均体重减少了2.6千克。明明的体重是多少千克?

3.一辆汽车从A地到B地,前3小时每小时行90千米,后2小时由于道路原因,每小时少行5千米。汽车从A地到B地的平均速度是多少?

4.四(1)班学生中,9岁的有15人,10岁的有17人,11岁的人18人。四(1)

班的平均年龄是多少?

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5.李师傅前4天平均每天加工30个零件,改进技术后,第五天加工零件55个,李师傅5天中平均每天加工多少零件?

四.选做题

1.李冰期中考试语文、英语、自然的平均成绩是76分,数学成绩公布后,他的平均成绩提高了3分。李冰的数学成绩是多少分?

2.五年级同学进行达标抽测,10名同学的跳高成绩(单位:厘米)分别是99,100,110,97,96,95,88,90,92,93。求他们跳高的平均成绩。

第十一讲 长方形、正方形的周长和面积

一. 知识点回顾

解答有关“图形的周长、面积”问题时,应注意以下几点:

1.细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决;

2.从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。

3.基本公式:长方形的周长=(长+宽)×2

正方形的周长=边长×4

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

二. 经典例题

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例题1.下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占地面积。

思路导航:根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米,那么长是(16-4)÷2=6米,占地面积是6×4=24平方米。 解: (16-4)÷2=6(米)

6×4=24(平方米)

答:它的占地面积为24平方米。

练一练:

右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求养鸡场的占地面积。

例题2.街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米?

思路导航:把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。因此,一个长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是3-1=2米。中间花坛的面积是2×2=4平方米。

解:12÷4=3(平方米)

3÷1=3(米)

3-1=2(米)

2×2=4(平方米)

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例题3.一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图),面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少? 思路导航:把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米,长是原来正方形的边长,宽是8+5=13分米。所以,原来正方形的边长是221÷13=17分米。

练一练:

一块正方形的的玻璃,长、宽都截去8厘米后,剩下的正方形比原来少448平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大?

三. 巩固提高

1. 四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形(如图),大正方形的面积是64平方米,小正方形的面积是4平方米,长方形的短边是多少米?

2. 已知大正方形比小正方形的边长多4厘米,大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米(如下图)。问大小正方形的面积各是多少?

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3有一块长方形木板,长是60厘米,如果把它的长缩短15厘米,这块木板就变成了一块正方形,这块长方形木板的面积和周长各是多少?

第十二讲 综合测试

一.填空。(3分×15=45分)

1.被减数、减数、差之和是900,减数比差小50,减数是( )。

2.一条直线上共有100个点,可以数出( )条线段.

3.数一数下图有( )个长方形.

4. 下面图中有( )个角

.

5. 一个学校四年级共有学生450名,其中男生比女生多30名,四年级男女生共有( )人.

6. 小刚今年12岁,妈妈今年40岁,( )年后妈妈的年龄正好是小刚的3倍。

7. 一个数扩大4倍,再增加70,然后减少50,得80.这个数是( ).

8. 篮子里有鸡蛋,第一天拿走一半多三个,第二天拿走余下的一半多4个,这时篮子里还剩下3个,篮子里原来有( )个鸡蛋.

9. 少先队员植树,如果每人种5棵树,还多3棵树;如果其中2人每人种4棵,其余每人种6棵,就恰好种完。少先队员有( )人,树有( )棵。

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10. 父亲今年比儿子大30岁,3年后,父亲的年龄是儿子的4倍,儿子今年( )岁.

11. 某校同学排队上操.如果每行站8人,则多36人;如果每行站12人,则少20人.一共有( )学生.

12. 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面,则余8米;若把绳子三折垂到水面,则余2米。桥高( )米, 绳子长( )米.

13. 用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用( )分钟.

14. 在早晨起床后的1小时内,小欣要完成以下事情:叠被3分钟,洗脸刷牙8分钟,读外语30分钟,吃早餐10分钟,收碗擦桌5分钟,收听广播20分钟。最少需要( )分钟.

15. 某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班期中考试平均分是( )分.

二.速算与巧算.(5分×5=25分)

1. 18000÷8÷125 2. 2380-(167+380)-333

3. 123×235-24×235+235 4. 1001×134

5. 10÷(10÷9)÷(9÷8)÷(8÷7)÷(7÷6)÷(6÷5)÷(5÷4)

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三.解决问题.(5分×6=30分)

1. 萱萱在期中考试时,语文、数学两科平均分是91分,数学比语文多2分,那么萱萱语文和数学各得了多少分?

2. 甲班的图书本数比乙班多80本,甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?

3. 粮库内有一批面粉,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半少7吨,还剩5吨。问:粮库里原有面粉多少吨?

4. 某中学安排学生宿舍,每间住6人,则有34人没有床位,每间住7人,则多出4间宿舍,那么有多少宿舍?多少学生?

5.10位同学在一次考试中,最高得分是95分,最低得分是75分,总平均分是81分,去掉最高分和最低分,其余8位同学的平均分是多少?

6. 已知大正方形比小正方形的边长多4厘米,大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米(如下图)。问大小正方形的面积各是多少?

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