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2009年全国初中八年级数学联赛南昌市竞赛试卷

发布时间:2013-11-16 08:57:17  

2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷(八年级)

一、选择题(本大题共6小题,每个小题7分,满分42分),每小题均给出四个选项,其中有且仅有一个正确的选项,请将正确的选项的代号填在下表指定的位置

1、已知三点A(2,3),B(5,4),C(-4,1)依次连接这三点,则

A、构成等边三角形 B、构成直角三角形

C、构成锐角三角形 D、三点在同一直线上

17解:AB的解析式为y= x+ 33

当x= -4时,y=1,即点C在直线AB上,∴选D

2、边长为整数,周长为20的三角形个数是( )

A、4个 B、6个 C、8个 D、12

解 设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c,a+b+c=20,?a≥7,

又b+c>a,2a<20?a<10,又7≤a≤9,可列出(a、b、c)

有:(9,9,2)(9,8,3)(9,7,4)(9,6,5)

(8,8,4)(8,7,5)(8,6,6)(7,7,6)共八组,选C

3、N=31001+71002+131003,则N的个位数字是( )

A、3 B、6 C、9 D、0

解 31001的个位数字为3,71002的个位数字为9,131003的个位数字为7,∴N的各位数字为9,选C

4、P为正方形ABCD内一点,若PA:PB:PC=1:2:3,则∠APB的度数为( )

A、120° B、135° C、150° D、以上都不对

解:过P作BP’⊥BP,且使BP’=BP,连P’A

易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k,则PB=2k,

PC=P’A=3k,连PP’,则Rt△PBP’中,∠P’PB=45°

且PP’=22 k,在△P’AP中有:P’A2=P’P2+PA2,

∴∠P’PA=90°,∴∠APB=135° 选B

用心 爱心 专心

a+111

5、在函数y= - (a为常数)的图象上有三点:(-1,y1)(-,y2)( ,x42y3),则函数值y1,y2,y3的大小关系是( )

A、y1<y2<y3 B、y3<y2<y1 C、y3<y1<y2 D、y2<y1<y3

∵-(a2+1)<0,∴在每个象限,y随x的增大而增大,因此y1<y2 1

又∵(-1,y1)在第二象限,而(,y3)在第四象限,∴y3<y1 选C

26、已知a+b+c≠0,且

a+bb+ca+c,则直线y=px+p不经过( ) cab

2

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

a?b?cp?

2(a?b?c)?p(a?b?c)??

解 a?c?ap????p?2

a?b?c?0?c?a?bp??

因此,直线y=px+p不可能通过第四象限,选D

二、填空题(本大题有4小题,每小题7分,满分28分)请将正确答案填在下表的指定位置

2

2a5-6a4+2a3-a2-1

7、如果a是方程x-3x+1=0的根,那么分式的值是 ;

3a2a3(a2-3a+1)-(a2+1)a2+1

解 根据题意a-3a+1=0,原式= =-1,∴填-1

3a3a

2

8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试,自动记录仪表明:当甲距离终点差1米,乙距离终点2米;当甲到达终点时,乙距离终点1.01米,经过计算,这条跑道长度不标准,这这条跑道比100米多 ;

解 设跑道实际长为x米,甲、乙两位机器人的速度分别为v甲,v乙,甲距离终点1米时说花的时间为t,v乙·t=x-2,于是

v甲x-1

= v乙x-2

又设甲到达终点时所花的时间为t’则v甲·t’=x,v乙·t’=x-1.01

用心 爱心 专心

v甲xx-1x于是 = ,因此可得方程 = ,解得x=101米, v乙x-1.01x-2x-1.01

因此,这条跑道比100米多1米,填1

9、根据图中所标的数据,图中的阴影部分的面积是 ;

解 有对称性可知5个三角形中的面积为S0=S’0, S1=S’1,

S03且即2S0=3S1, S12

又2S0+S1=15152545即3S1+ S1= , S1=0= 22816

2525填88又S2+S1=2,∴S2=5-S1=

10、有三个含有30°角的直角三角形,它们的大小互不相同,但彼此有一条边相等,这三个三角形按照从大到小的顺序,其斜边的比为 ;

23解 设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦,则三者的弦分别为2,3

1

2323即所求比为2::1,填2::1 33

三、解答题(本大题共有3小题,第11小题20分,第12、13小题各25分,满分70分)

11、已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,

求证:△CMN是等边三角形

证明:∵△ACD≌△BCE

∴AD=BE,AM=BN ……6分

又∵△AMC≌△BNC

∴CM=CN,∠ACM=∠BCN ……12分

又∠NCM=∠BCN-∠BCM

用心 爱心 专心

∠ACB=∠ACM-∠BCM

∴∠NCM=∠ACB=60°

∴△CMN是等边三角形 ……20分

12、已知n是大于1的整数

求证:n3可以写出两个正整数的平方差

n证明:n=()2·4n ……8分 23

n =( )2[(n+1)2-(n-1)2] ……15分 2

nn22 =[ (n+1)]-[ ……20分 22

∵n(n+1),n(n-1)不仅大于1,而且均能被2整除

nn∴ (n+1), (n-1)均为正整数 22

因此,命题得证 ……25分

2113、已知正整数x、y满足条件: + =a,(其中,a是正整数,且x<y) xy

求x和y

2111解 ∵x≥1,y≥2, + ≤2+ ,即a≤2xy22

因此a=1或a=2

211当a=1是, + =1,若x=1,则,与y是正整数矛盾,∴x≠1, xyy

1 若x=2,则,与y是正整数矛盾,∴x≠2 y

212121若x≥3,则≤<1,与矛盾,∴x<3 xy34xy

综上所述,a≠1

用心 爱心 专心

211当a=2时有 + =2,若x=1,则,与y是正整数矛盾,∴x≠1 xyy

212121 若x≥3,则≤,与矛盾,∴x<3 xy34xy

y=1

用心 爱心 专心 因此1<x<3,∴x=2,

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