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初中数学竞赛______数论试题水平检测(二)

发布时间:2013-11-16 13:57:07  

初中数学竞赛数论试题水平检测(二)

(考试时间:90分钟满分:140分)

一, 填空题:(60分)

1.满足x2?4y2?2011的整数对?x,y?的组数是__________.

2.方程组?2x?y?z?1的正整数解?332?8x?y?z?1

3.已知0??x,y,z?为. a?1,并且?a?1???a?2???a?3???????a?28???a?29??18,则?10a?等于.(其中?x???30?30?30?30?30??????????????

表示不超过x的最大整数)

4.连续的n个自然数,在每个数写成标准的质因数分解式后,每个质因数都是奇数次幂,这样的n个连续自然数称为一个“连n奇异组”,如n=3时,22=2×11,23=23,24=2×3,则22,23,24就是一个“连3奇异组”. 那么连n奇异组中n的最大可能值是. 5.设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有对。

6.已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是 11131二,解答题:(80分)

7,能否将2010写成k个互不相等的质数的平方和? 如果能, 试求k的最大值; 如果不能, 请简述理由.

8.关于m和n的方程5m

说明理由.

2?6mn?7n2?2011是否存在整数解?如果存在,请写出一组解来;如果不存在,请

9.求关于a,b,c,d的方程组

10.求所有正整数n,使得存在正整数的所有正整数解. x1,x2, ,?x2012,满足x1?x2???x20,1且122012???n?. x1x2x2012

11.求证:

(1)一个自然数的平方被7除的余数只能是0,1,4,2.

(2)对任意的正整数n,[nn?2n?4n?6]不被7整除,其中?x?表示不超过x的最大整数。

答案:

1.0 2.(1,3,6) 3.6 4.7 5.27 6.225

7.解:(1)设pi为质数,若2010能写成k个质数的平方和,则当k?10时,取最小的10

个互不相等的质数的平方和, 则有

4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2010,因此k?9.

(2)因为只有一个偶质数2,其余质数都是奇数,而奇数的平方仍是奇数,并且被8除余1.

22222222当k=9时,若2010=p12?p2,其中必有一个偶质数?p3?p4?p5?p6?p7?p8?p9

的平方,8个奇质数的平方.左边被8除余2,右边被8除余4,等式不能成立.所以2010不能表示为9个不同质数的平方和,即k?9,?k?8.

2222222当若k?8时,若2010=p12?p2,这8个加项都是奇质数?p3?p4?p5?p6?p7?p8

的平方.左边被8除余2,右边被8除余0,等式不能成立.所以2010不能表示为8个不同质数的平方和,即k?8,?k?7.

222222当k=7时,2010=p12?p2,左边被8除余2,右边被8除余?p3?p4?p5?p6?p7

2,等式可能成立.也就是2010有可能表示为7个不同质数的平方和,

我们试算可知,22?32?72?112?132?172?372?2010.

综上可得2010可以写成k个互不相等的质数的平方和,k的最大值等于7.

比如2010?22?32?72?112?132?172?372就是将2010写成7个互不相等的质数的平方和的一个例子.

说明:2010表为7个互不相等的质数的平方和共有如下4种形式:答出一种即可. (没有推理,只给出一种表示法可得2分)

22?32?72?112?132?172?372?2010

22?32?52?72?112?292?312?2010

22?32?72?132?172?232?312?2010

22?32?52?112?192?232?312?2010.

事实上,我们还可以证明k?1,2,3,4,5,6.所以2010只能表示为7个互不相等的质数的平方和.

8.不存在

9.解:将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得

10ab+10bc+10ca=9abc.

因为abc≠0,所以,

不妨设a≤b≤c,则 .

≥≥>0.

于是, <≤,

即 <≤,

<a≤

从而,a=2,或3. .

若a=2,则.

因为<≤,所以,<≤,<b≤5. 从而,b=3,4,5. 相应地,可得c=15,

当a=2,b=3,c=15时,d=90;

当a=2,b=5,c=5时,d=50. (舍去),5.

若a=3,则.

因为<≤,所以,<≤,<b≤. 从而,b=2(舍去),3.

当b=3时,c=(舍去).

因此,所有正整数解为

(a,b,c,d)=(2,3,15,90),(2,15,3,90),(3,2,15,90),

(3,15,2,90),(15,2,3,90),(15,3,2,90), (2,5,5,50),(5,2,5,50),(5,5,2,50).

10.解:由于x1,x2, ,?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以

x1≥1,x2≥2,…,x2012≥2012. 于是n?201212201212?2012. ≤????????2012x1x2x201212

…………(5分)

当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,?x2012?2012?2012,则

122012?????1. x1x2x2012

…………(10分)

当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令x1?1 ,x2?2, ,?xk?k,xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?k?1?n. ?????k?(2012?k)?x1x2x20122012?k

, 2, , ?2012. 综上,满足条件的所有正整数n为1

11.(1)设m=7k+r分类

(2)令M=n(n+2)(n+4)(n+6)=(n2+6n)(n2+6n+8)

令k=n2+6n,所以M=K(k+8)。可得整数部分为k+3,即(n+3)2—6,此式不能被7整除.

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