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2012年湖州市初三数学竞赛试题(含答案)

发布时间:2013-11-17 14:09:39  

2012年湖州市初三数学竞赛试题

答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线.

3.可以用计算器

1.如图,

A,B的坐标为(2,0),

(0,1)若将线段AB平移至A1B1, 则a?b的值为 ( )

A.2 B.3 C.4

D.5

(第1题)

b)

x

B2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(a,b)Δ(c,d)?(ac?bd,ad?bc).如果对任意实数a,b都有

(a,b)Δ(x,y)?(a,b),则(x,y)为 ( )

A.(0,1) B.(1,0) C.(?1,0) D.(0,?1)

3.如图,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连结AO,

如果FB=4,∠BCA=15°,那么AO的长等于 ( )

C

E

4.如图,表示阴影区域的不等式组为 (

)

2x +.y ≥5, 2x + y ≤5, 2x +.y ≤5, x + y ≥5, A 3x + 4y≥9, B 3x + 4y ≤9, C3x + 4y≥9, Dx + 4y ≤9, y≥0 y≥0 x≥0 x≥0

A. 1

BC. D.2

5. 如图,平行四边形AOBC中,对角线交于点E,双曲线y?k(k>0)经过A,E两点,若平行四边x

形AOBC的面积为18,则k的值等于 ( )

A. 6 B.9 C.12 D.18

6.如图1,凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O,ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.则此

五边形ABCDE的面积是 ( )

A

B

C

D

7.如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y?ax2(a<0)

的图象上,则a的值为 ( )

A.?2 B.?2 3

1 D.? 23

E C

.?

8.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,

将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连结AE,

则△ADE的面积是( )

A.不能确定 B.1 C.2 D.3

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

22A C 9.若多项式P?2a?8ab?17b?16a?4b?2070,那么P的最小值是10.如图,直线y??4x?4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把ΔABO绕点A顺时针旋转90°后得到3

ΔAO′B′

11.如图,在△AOB中,∠OAB=90°,OA=AB,点B的坐标为(-4,0),过点C(4,0)作直线l交AB于P,交AO于Q,以P为顶点的抛物线经过点A,当△APQ和△COQ的面积相等时,则抛物线解析式为 .

12.已知:如图,DE是△ABC的中位线,点P是DE的中点,CP的延长线交AB于点Q,那么S?DPQ:S?ABC?______________.

13.已知直线y1?x,y2?

则y的最大值为 。 AQBEC1x?1,y3??x?4,若无论x取何值,y总取y1、y2、y3中的最小值,3

14.若关于x的不等式x?a?x?3的解中包含了“x?1”,则实数a的取值范围是.

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.如图,有一张长为5宽为4的矩形纸片ABCD,要通过适当的剪拼,得到一个与之面积相等的正方形. (1)该正方形的边长为 (结果保留根号);

(2)现要求只能用两条裁剪线,请你设计一种裁剪

的方法,在图中画出裁剪线,

并简要说明剪拼的过程:___________________________

16.一批货物准备运往某地,有甲,乙,丙三辆卡车可雇用,已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变,且甲乙两车单独运这批货物分别用2a,a次;若甲、丙两车合运相同次数,运完这批货物,甲车共运了180吨;若乙、丙两车合运相同次数,运完这批货物,乙车共运了270吨。现甲,乙,丙合运相同次数把这批货物运完,货主应付车方运费各多少元?(按每吨运费20元计算)

17.如图,点D在ΔABC的边BC上,且与B,C不重合,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.

(1) 设ΔABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为2S.求BD长. 5

(2)

若AC?,且DF经过ΔABC的重心G,求E,F两点的距离.

18.如图, 已知抛物线y?12x?bx?c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),2

点C的坐标为(0,-1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;

(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,

备用图 26题图

2012年湖州市初三数学竞赛参考答案

一、选择题

1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8. B .

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9. 2002 10.(7,3) 11.y?(x?3)2?1

12.1:24 13.

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.解:(1) 2; ------------------------- 6分

(2)以AB为直径画弧与以A为圆心为半径的弧交于点E,连AE交CD于F,剪下AF和BE即可。图略 ------------------------- 6分

16.解:设这批货物总重量为W吨;甲、丙车合运了b次,运完这批货物;乙、丙车合运了c次,运完这批货物。则由丙分别在与甲、乙合运中的载重量不变,可得: 7 14.a?1或a??3 4

w?180w?270?, ------------------------- 5分 bc

180270?2?又由题意得,乙车的载重量是甲车的2倍,得, bc

b4解得:?,W=540(吨) ------------------------- 4分 c3

据题设,乙、丙两车合运时,乙车共运了270吨,故丙车也运了270吨,即甲,乙,丙三车载重量之比为1:2:2,所以,运完这批货物,三车分别运了108吨、216吨和216吨,因此,货主应付三位车主运费分别为2160元,4320元和4320元。 ------------------------- 3分

17. 解:(1)∵ DE∥AC,DF∥AB, ∴△BDE∽△BCA∽△DCF,

设S?BDE?S1,S?DFC?S2, ∵SAEDF?∵223S,∴S1?S2?S?S?S 555S1S

S1

S?S2CDBD,, ?BCBCSS2

S?BD?DC?1, ----------------------- 3分 BC ∴?

即 S1?S2?S, ∴ S?S1?S2?2S1S2

∴ 2S1S2?2123S, S1S2?S, 又 S1?

S2?S,若AC,且 5255

23?3?5?BD?解得S1?, ?, ??1010?5?

BD??55?5 --------------------------------- 3分 ?22

2AB 3

CD21AC?, 得DE=AC

∵AC?, ?2 ∵ DE∥AC, CB33AB(2)∵ G是△ABC的重心, ∴ DF=

DFACDF2AB?, ??2, ∴DEABDE2AB

即 DFDE? -------------------------------- 3分 ACAB

又∠EDF=∠A, ∴△DEF∽△ABC

18. 解:(1)∵二次函数y?EFDE52?, EF= -------------------------------- 3分 BCAB312x?bx?c的图像经过点A(2,0)C(0,-1) 2

∴??2?2b?c?0 ?c??1

1 c=-1 --------------------------------4分 2

121∴二次函数的解析式为y?x?x?1 --------------------------------1分 22 解得: b=-

(2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2)

∴ OD=m ∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得,

∴ADDE? AOOC2?mDE? 21

2?m∴DE= ----------------------------------------------3分 2

12?m∴△CDE的面积=×m 22

11m2m?=?(m?1)2? =?4442

当m=1时,△CDE的面积最大

∴点D的坐标为(1,0) -----------------------------------------2分

(3)存在四个点:P1(57,-,?1) P2(-?1) P3(1, -2) P4(,-)。 222222

121x?x?1 22 评分意见:写对一个点给1分,共4分。 参考答案如下: 由(1)知:二次函数的解析式为y?

设y=0则0?121x?x?1 解得:x1=2 x2=-1 22

∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1)

设直线BC的解析式为:y=kx+b

∴ ???k?b?0 解得:k=-1 b=-1 ?b??1

∴直线BC的解析式为: y=-x-1

在Rt△AOC中,∠AOC=900 OA=2 OC=1

由勾股定理得:AC=

∵点B(-1,0) 点C(0,-1)

∴OB=OC ∠BCO=450

①当以点C为顶点且PC=AC=5时,

设P(k, -k-1)

过点P作PH⊥y轴于H

∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中

k2+k2= ? 解得k=2

1, k2=- 22

∴P1(

,-,?1) P2(-?1) 2222

②以A为顶点,即AC=AP=5

设P(k, -k-1)

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣

在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2

(2-k)2+(-k-1)2=5

解得:k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, -2) ----------------------------------11分

③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1)

过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L

∴L(k

,0)

∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k

由勾股定理知 CP=PA=2k

∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1| 在Rt△PLA中 (2k)2=(k-2)2+(k+1)2 解得:k= 557∴P4(,-) ------------------------12分 222

综上所述: 存在四个点:P1(,-?1) 22P2(-

57,?1) P3(1, -2) P4(,-)。 2222

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