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初三数学竞赛专题之四边形

发布时间:2013-11-17 14:09:40  

一、选择题:

1、如图9-1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC与BD交于O,点P在AB的延长线上,且BP=CD,则图形中面积相等的三角形有( )A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对

C

F

A B 图9-2

图9-4

图9-1 图

9-3 2、如图9-2,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE,设AF、CE交于点G,则

S四边形DCGAS矩形DCBA

等于( )A.

54

B. 65

C.

3

4

D.

2 3

3、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且面积为

3CE1,则的值为( )A. 4EA2

AD1

=,若在边AC上取一点E,使四边形DECB的AB3

111B. C. D.

345

4、如图9-3,△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB为边,在△ABC外作正方形ACEF和AGHB,

作CK⊥AB,交AB和GH于D和K,正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是( )A. S1=S2

B. S1>S2 C. S1<S2

D. 不能确定,与

AC

的大小有关 AB

5、如图9-4,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7,则BC+CD等于 ( )A. 6

B. 53

C. 4

D. 3

6、如图9-5,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则正方形的面积为__________ 7、如图9-6,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足,则DE=( ) A.

D

图9-6

图9-5

C 图9-7

2ab4a?b2aba?4b

2

2

2

2

B.

ab4a?baba?4b

2

22

2

C.

D.

8、O为△ABC内一点,AO、BO、CO及其延长线把△ABC分成六个小三角形,它们的面积如图9-7所示,则S△ABC=(

)A. 292 B. 315

C. 322 D. 357 二、填空题

1、如图9-8,梯形ABCD的中位线EF的长为a,高为h,则图中阴影部分的面积为___

图9-9

1

图9-11 图9-10

图9-12

C

图9-8

2、如图9-9,等腰三角形底边上的高等于18cm,腰上的中线等于15cm,这个等腰三

角形的面积等于__

3、如图9-10,在△ABC中,CE∶EB=1∶2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为__ 4、如图9-11,已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD和BE,它们相交于点P,过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q、R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为_____

5、如图9-12,梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=2∶5,AF∶FD=1∶1,BE∶EC=2∶3,EF、CD延长线交于G,用最简单的整数比来表示,S△GFD∶S△FED∶S△DEC=_____ 三、解答题

1、如图9-14,在矩形ABCD中,E是BC上的点,F是CD上的

S1

点,S△ABE=S△ADF=S矩形ABCD。求:?AEF的值。

S?CEF3

F

图9-14

C

2、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F。求证:?

??1

3、如图9-16,在

ABCD中,P1、P2、P3……Pn-1是BD的n等分点,连结AP2,并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F。 ①求证:EF∥BD

②设的面积是S,若S△AEF=

数学竞赛专项训练(9)-2

BDCEAF

图9-15

3

S,求n的值。 8

B

E

图9-16

D

4、如图9-17,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC各边的距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形。

②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。

数学竞赛专项训练(9)-3 A1 图9-17

参考答案

一、选择题:

1、C。S?ABC?S?ABD,S?AOD?S?BOC,S?ACD?S?BCD,S?BCP?S?BCD,S?BCP?S?ACD 2、D。连结AC,有S?AGC:S?ABC?1:3,则

1112

?S矩形ABCD?S矩形ABCD=S矩形ABCD。 322331

3、B。如图联结BE,S?ADE=1??,

44

CE 设?x,则S?ABE?1?x AC

1?x11

S?AD? ?,x?E

344

CE1B ∴? EA3

S四边形AGCD?S?AGC?S?ACD?

4、A。解:S1?AC,S2?AD?AG,因为Rt?ADC∽Rt?ACB,

所以

2

C

ADAC2

,即AC?AD?AB,又因为AB=AG, ?

ACAB

2

所以S1?AC?AD?AG?S2,所以应选A。

5、B。解:如图延长AD,BC相交于E,在Rt△ABE中,可求得AE=14,于

是DE=AE,AD=6,又BE=,在Rt△CDE中,可求得CD=2,CE=4,于是BC=BE-CE=3,BC+CD=53。

A

6、A。解:由右图与左图的面积相等,得b(b?a?b)?(a?b),已知a?1,

2

C

B

所以有b(2b?1)?(b?1),即b

22

1?5

?b?1?0,解得b?

2

,从而正方形的面积为

(b?1)2?(

3?27?35

)?。 22

7、A。解:由△ADE∽△ABM,得DE=

AD?AB

?AM

ab1a2?(b)2

2

?

2ab4a?b

2

2

8、B。

S?ABOAOS?ACO84?

y35?x

?? ∵,即 ?S?BDODOS?CDO4030

数学竞赛专项训练参考答案(9)-4

又∵S?ABO84?y70BOS?BCO??,即 ?S?BDEOES?CEOx35

∴??x?70?4x?3y?112,解之得? ?y?56?2x?y?84

∴S△ABC=84+40+30+35+70+56=315。

二、填空题

1、S阴影=ah。解:延长AF交DC的延长线于M,则△ABF≌△MCF,

∴AF=FM,S△ABF=S△CMF。∴S阴影=S△DFM,∵AF=FM ∴S△ADF=S△MDF

∴S阴影=S梯形ABCD ∵S梯形ABCD=ah,∴S阴影=ah。 121

212

1AD?9,在Rt△BMN2

1中,BM=15,MN=9。∴BN=12,而BD=DC=2DN,∴3DN=12,DN=4,∴BC=16,S△ABC=AD·BC2

1=×18×16=144。 2

23、S△ADE=S。解:∵CE∶EB=1∶2,设CE=k,则EB=2k,∵DE∥AC, 92、144。解:作MN⊥BC于N,∵AM=MC,MN∥AD,∴DN=NC。∴MN?

而BE∶BC=2k∶3k=2∶3,∴S?BDE42?()2,S△BDE=S s39

∵DE∥AC ∴SAD12ADCE11?,则S△ADE= S△BDE=S ??,∴?ADE?S?BDEBD22BDBE29

4、400CFCE2。解:过点E作EF∥AD,且交BC于点F,则??,所以 1089FDEA5

FD?PQBPBD55????CD?。因为PQ∥CA,所以EABEBF5?2744?5

7?28 33

于是PQ?140。因为PQ∥CA,PR∥CB,所以∠QPR=∠ACB, 33

S?PQR

S?CAB?(PQ220400)?()2?。 CA331089因为△PQR∽△CAB故

5、1∶2∶6。解:设AD=2,则BC=5,FD=1,EC=3

∵GF∶GE=FD∶EC=1∶3,GF∶FE=1∶2,S△GFD∶S△FED=GF∶FE=1∶2

显然有S△EFD∶S△CED=FD∶EC=1∶3,∴S△GFD∶S△FED∶S△CED=1∶2∶6。

6、32。解:过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分别交AB、CD于

G、H。设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则AP2?a2?c2,CP2=b2?d2,BP2?b2?c2,DP2?d2?a2,

数学竞赛专项训练参考答案(9)-5

于是AP?CP?BP?DP,故DP2?AP2?CP2?BP2?32?52?42?18,DP=32。

三、解答题 2222

11121S矩形ABCD,得b?BE=ab。∴BE=a, 则EC=a。同理FC33323

11111=b,∴S?CEF=?a?b?ab。 323318

12 ∵S梯形AECD?(EC?AD)?CD?ab, 23

2115 ∴S?AEF?S梯形AECD-S?CEF-S?ADF=ab?a?ab?ab 318318

5abS?AEF518 ∴??。 1S?CEF1ab181、设BC=a,CD=b,由S?ABE?

2、答案提示:连结BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比;再约分。

3、解:①因AD∥BC,AB∥DC,所以?Pn?2FD∽Pn?2AB, ?P2BE∽P2DA

从而有APn?2BPn?2n?2AP2DP2n?2???? Pn?2FPn?2D2P2EP2B2

即APn?2AP2? 所以EF∥BD Pn?2FP2F

DF211,所以S?AFD??S,同理可证S?ABE?S ABn?2n?2n?2

DF2FCDC?DFDFn?4 显然,所以, ???1??DCn?2DCDCDCn?2

1n?423 从而知S?ECF?()S,已知S?AEF?S,所以有 2n?28 ②由①可知

2(n?4)23311n?42?? S?S?2?S?()S,即1?2n?22(n?2)88n?22n?2

解方程得n=6。

4、证明:①连结OC、OC1,分别交PQ、NP于点D、E,根据题意得∠COC1=45°。

∵点O到AC和BC的距离都等于1,∴OC是∠ACB的平分线。

∵∠ACB=90° ∴∠OCE=∠OCQ=45°

同理∠OC1D=∠OC1N=45° ∴∠OEC=∠ODC1=90°

∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°

∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形。

∴∠BNM=∠C1NP=45° ∠A1QK=∠CQP=45°

∵∠B=45° ∠A1=45°

∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形。

∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90°

∴∠B1=45° ∠A=45°

∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形。

数学竞赛专项训练参考答案(9)-6

②在Rt△ODC1和Rt△OEC中,

∵OD=OE=1,∠COC1=45°

∴OC=OC1=2 ∴CD=C1E=2-1

∴PQ=NP=2(2-1)=22-2,CQ=CP=C1P=C1N=2(2-1)=2-2 ∴S?CPQ?1?(2?2)2?3?22 2

延长CO交AB于H

∵CO平分∠ACB,且AC=BC

∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH=2+1 ∴AC=BC=A1C1=B1C1=2(2+1)=2+2 ∴S?ABC?1?(2?2)2?3?22 2

∵A1Q=BN=(2+)-(22-2)-(2-2)=2 ∴KQ=MN=22=2 ∴S?BMN?1?(2)2?1 2

∵AK=(2+2)-(2-2)-2=2 1?(2)2?1 2

?S多边形KLMNPQ=S?ABC-S?CPQ-S?BMN-S?AKL∴S?AKL?      =(3?22)-(3?22)?1?1        ?42?2

数学竞赛专项训练参考答案(9)-7

数学竞赛专项训练参考答案(1)-8

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