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第十四讲 面积计算

发布时间:2013-09-19 11:17:53  

第十四讲面积计算

在小学阶段学习的各种平面图形之间有着密切的联系.我们把平面图形之间的转化方法及它们的面积、周长公式归纳如下图:

计算图形的面积要用面积公式,对于一些复杂的图形有意识地运用运动变化的观点,将平面图形简单地变动位置,可以化繁为简,化难为易,从而获得最佳解法。

例1 已知三角形ABC的面积为1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面积?(下页图) 分析利用已给的线段间的比例关系、已给的三角形的面积以及三角形的面积公式,设法把三角形BDE划分成一些与三角形ABC的面积成相应比例的三角形.这样,三角形BDE的面积就能求得了。

解:见右图,连结CE.对于三角形ABC与三角形BEC,分别把AB和BE

可知,

SBEC=2S△ABC=2.

显然,三角形BEC和三角形CED

是两个等底(BC=CD)、等高的三角形,因此

SCED =SBEC=2。

这样, SBDE= SBEC+ SCED=4。

例2 求右图中阴影部分的面积.(大圆直径为2,单位:厘米)。

解:大圆半径:2÷2=1(厘米)

小圆半径:1÷2=0.5(厘米)

阴影面积:3.14×(12-0.52)

=2.355(平方厘米)

答:阴影部分的面积是2.355平方厘米.

例3 如下图.在图中三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积相等,求三角形AEF的面积。

分析三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三

角形ECF的面积.因为长方形ABCD的面积等于三角形ABE、

ADF和四边形AECF的面积和,

长方形ABCD的长、宽分别为9厘米和6厘米,因此很容易求出它的面积.所以解题关键在于求出三角形ECF的面积。

EC的长度.同理可以求出FC的长度.这样三角形ECF的面积可以求出,使问题得解。 解:长方形ABCD的面积:9×6=54(平方厘米);

四边形AECF及三角形ABE、AFD的面积相等,是:

EC的长度:9-18×2÷6=3(厘米);

FC的长度:6-18×2÷9=2(厘米);

三角形AEF的面积:

18-3×2÷2=15(平方厘米)。

答:三角形AEF的面积是15平方厘米。

例4 如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米;以A为圆心,EF为圆弧,组成扇形AEF;阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积

.

分析∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠A=∠B=45°。S甲=S乙,即 SABC的面积等于以AE为半径,圆心角是45°的扇形面积.根据已知条件,可求出三角形ABC的面积从而可求出圆面积。

周角是45°圆心角的几倍?360×45=8;

圆面积:50×8=400(平方厘米)。

答:扇形所在的圆面积是400平方厘米。

分析利用一种称之为“弦图”的求面积的方法.用“弦图”计算面积最主要的是掌握“弦图”的特点.其一:大正方形边长=长方形长x+长方形宽y。

其二:小正方形的边长=长方形的长x-长方形的宽y.解题时先把四个面积为

解:拼成后大正方形的面积:

大正方形的边长:

长方形的长(即长方形木条的长):

例6 一块长方形钢板,长截下4分米,宽截下1分米后,成了一块正方形钢板,如右图,面积比原来减少了49平方米.原来长方形钢板的面积是多少平方米?

分析初看起来,图中长方形长和宽,正方形的边长都不知道,无法求出长方形的面积,能否用特殊的方法思考呢?审题后发现长方形的长、宽和面积都和正方形有关系.图中阴影部分,如果添一条“辅助线”,如下页图(1)或下页图(2),把它分解成两个长方形.以下页图(2)为例.记正方形的边长为x分米.带阴影的小长方形长为(x+4)分米,宽为1分米,带阴影的大长方形长为x分米,宽为4分米“面积比原来.(长方形)减少了49平方米”,也就是大长方形阴影部分面积+小长方形阴影部分面积=阴影部分总面积=49平方分米,用方程解.

解:设正方形边长为x分米。

(x+4)×1+4x=49,

x+4+4x=49,

5x=45,

x=9。

9×9+49=130(平方分米)

答:长方形钢板面积为130平方分米。

之比(如右图)。

解:连结ED和BD.得知 SAEH =SAED,

即四边形EFGH的面积∶四边形ABCD面积=5∶9。

例8 如右图,已知三角形ABC的三条高必定交于一点,如记成P点,

分析与解答从右图中可以看出△PBC和△ABC是同底的两个三角形,

又∵ SPBC +SPCA+S=SPAB ,ABC

习题十四

1.右图是一个圆心角为45°的扇形,其中直角三角形BOC的直角边为6厘米,求阴影部分面积。

2.在右图中,阴影部分A的面积比阴影部分B的面积大10.5平方厘米,求线段BC的长度?

3.一个直径为10厘米的圆,如左图.圆内有一个扇形,扇形的弧长为3.14厘米,求扇形的面积。

4.右图中,大正方形面积比小正方形面积多24平方米,求小正方形的面积是多少?

5.用同样的长方形条砖,在一丛花的周围镶成一个正方形边框,如右图.边框的周长为264厘米.里边小正方形的面积为900平方厘米,问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米?

习题十四解答

1.提示:针对本题特点,选用先扩大再缩小的方法解题.把原图作为一个整体扩大一 倍,使其成为圆心角是90°的扇形,使问题得解.(见右图)

解:大三角形面积:

同一个三角形面积还可以以R分别为底和高,所以这个三角形面积为:R2÷2=36, R2=72。

大扇形面积:

所求阴影面积:

(56.52-36)÷2=10.26(平方厘米)。

答:所求阴影面积是10.26平方厘米。

2.提示:用等积代换解题。

长方形面积:4×6=24(平方厘米),

三角形ABC面积:24-10.5=13.5(平方厘米),

BC边长:13.5×2÷6=4.5(厘米)。

答:BC边长4.5厘米。

3. 圆周长:3.14×10=31.4(厘米),

答:圆面积是7.85平方厘米。

4.解:设小正方形边长为x米。

2x+2x+4=24,

4x=20,

x=5。

5×5=25(平方米)。

答:小正方形面积为25平方米。

5.大正方形边长:264÷4=66(厘米),

小正方形边长:∵900+=302,

∴小正方形边长为30厘米。

大正方形与小正方形边长的差正好是长方形的宽的两倍, ∴长方形宽:(66-30)÷2=18(厘米)。

长方形长:(66-18)÷2=24(厘米)。

答:长方形的长是24厘米,宽18厘米.

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