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新课标I卷(数学理)解析版(1)

发布时间:2013-11-18 10:38:51  

2013年高考理科数学试题解析(课标Ⅰ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项:

1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、 选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的一项。

1、已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则 ( )

A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B

【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题.

【解析】A=(-?,0)∪(2,+?), ∴A∪B=R,故选B.

2、若复数z满足错误!未找到引用源。 (3-4i)z=|4+3i |,则z的虚部为 (

A、-4 4(B)- 5 (C)4 4(D5)

【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题.

|4?3i|434【解析】由题知z==?i,故z的虚部为,故选D. 5553?

4i

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到

该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )

A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样错误!未找到引用源。 C、按学段分层抽样 D、系统抽样

【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题.

【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C.

x2y2

4、已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?

0,则C的渐近线方程为 ab

111A.y??x B.y??x C.y??x D.y??x 432

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题.

cb215c2a2?b2b11C【解析】

?,即=2=,∴=,∴=,∴的渐近线方程为?y??x,22a2aa44aa22

故选C.

5、运行如下程序框图,如果输入的t?[?1,3],则输出s属于

第1页(共10页)

A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]

【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题.

【解析】有题意知,当t?[?1,1)时,s?3t?[?3,3),当t?[1,3]时,s?4t?t?[3,4],

∴输出s属于[-3,4],故选A.

6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器

口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚

度,则球的体积为 ( )

500π3A 3866π3B、cm错误!未找到引用源。 32

1372π32048π3Ccm D、 33

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题.

【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则

4??53500π3R?(R?2)?4,解得R=5,∴球的体积为=cm,故选A. 33222

7、设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm?1=-2,Sm=0,Sm?1=3,则m= ( )

A、3 B、4错误!未找到引用源。 C、5 D、6

【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式,考查方程思想,是容易题.

【解析】有题意知Sm=m(a1?am)=0,∴a1=-am=-(Sm-Sm?1)=-2, 2

am?1= Sm?1-Sm=3,∴公差d=am?1-am=1,∴3=am?1=-2?m,∴m=5,

故选C.

8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.16?8? B.8?8?

C.16?16? D.8?16?

【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中

档题.

【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放

一个长为4宽为2高为2长方体,故其体积为??2?4?4?2?2 =16?8?,

故选A.

9、设m为正整数,(x?y)2m122展开式的二项式系数的最大值为a,(x?y)2m?1展开式的二项式系数的最大

值为b,若13a=7b,则m= ( )

A、5 B、6错误!未找到引用源。 C、7 D、8

【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题

.

第2页(共10页)

mm?1【解析】由题知a=C2m,b=C2m?1,∴13C2=7Cm2m?1,即mm?113?(2m)!7?(2m?1)!=, (m?1)!m!m!m!

解得m=6,故选B.

x2y2

10、已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标ab为(1,-1),则E的方程为 ( )

x2y2A、+1 4536x2y2B、=1错误!未找到引用源。 3627 x2y2C、=1 2718x2y2D、1 189

【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2=2,y1?y2=-2,

22x12y12x2y2?2?1 ① 2?2?1 ② 2abab

①-②得(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0, a2b2

b2(x1?x2)b2y1?y2b210?112222∴kAB==?2=2,又kAB==,∴2=,又9=c=a?b,解得b=9,a(y1?y2)ax1?x2a23?12x2y2

?1,故选D. a=18,∴椭圆方程为?1892

??x2?2x,x?011、已知函数f(x)=?,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是

?ln(x?1),x?0

A.(??,0] B.(??,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。

?x2?2x,x?0?x?0?x?0【解析】∵|f(x)|=?,∴由|f(x)|≥ax得,?2且?,

?ln(x?1),x?0?x?2x?ax?ln(x?1)?ax

?x?0由?2可得a?x?2,则a≥-2,排除A,B, x?2x?ax?

当a=1时,易证ln(x?1)?x对x?0恒成立,故a=1不适合,排除C,故选D.

12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…

cn+anbn+an若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+1=( ) 22

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列错误!未找到引用源。

C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

【命题意图】

【解析】B

第3页(共10页)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题.

【解析】b?c=b?[ta?(1?t)b]=ta?b?(1?t)b=

14、若数列{an}的前n项和为Sn=211t?1?t=1?t=0,解得t=2. 2221an?,则数列{an}的通项公式是an=______. 33

【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系,是容易题.

21a1?,解得a1=1, 33

212212当n≥2时,an=Sn?Sn?1=an?-(an?1?)=an?an?1,即an=?2an?1, 333333【解析】当n=1时,a1=S1=

∴{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴an=(?2)n?1.

15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______

【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题,是难题.

【解析】∵f(x)=sinx?

2cosxx?x) 55

令cos?

=,sin???,则f(x

)xcos??

sin?cosx)x??), 5

5

当x??=2k???

2,k?z,即x=2k???

2??,k?z时,f(x)取最大值,此时?=2k???

2??,k?z,

∴cos?=cos(2k???

2??)=sin?

=?

22. 516、若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.

【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题.

【解析】由f(x)图像关于直线x=-2对称,则

0=f(?1)?f(?3)=[1?(?3)][(?3)?3a?b],

0=f(1)?f(?5)=[1?(?5)][(?5)?5a?b],解得a=8,b=15,

∴f(x)=(1?x)(x?8x?15),

∴f?(x)=?2x(x?8x?15)?(1?x)(2x?8)=?4(x?6x?7x?2)

=?4(x?2)(x?2?x?2

第4页(共10页) 2232222222

当x∈(-∞

,?2?∪(-

2, ?2?时,f?(x)>0,

当x∈

(?2?-2)∪

(?2?∞)时,f?(x)<0,

∴f(x

)在(-∞,?2

?2?2)单调递减,在(-2

,?2?在

(?2+∞)单调递减,故当x

=?2x

=?2

f(?2

=f(?2?=16.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分12分)

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,,BC=1,P为△ABC

内一点,∠BPC=90°

1(1)若PA; 2

(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易题.

【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=60,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得o

117; PA

2=3??2cos30o=,∴

442

(Ⅱ)设∠PBA=?,由已知得,PB=sin?,在△PBA

中,由正弦定理得,sin??,

sin150osin(30o??)??4sin?,

∴tan?

,∴tan?

PBA. 18、(本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA

A1=60°.

(Ⅰ)证明AB⊥A1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质

及线面角的计算,考查空间想象能力、逻辑推论证能力,是容易

题.

【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,A1B,A1E,

∵AB=AA1,?BAA1=60,∴?BAA1是正三角形,

∴A1E⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵CE?A1E=E,∴AB⊥面CEA1,

∴AB⊥A1C; ……6分

第5页(共10页) 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,EA1⊥AB,

又∵面ABC⊥面ABB1A1,面ABC∩面ABB1A1=AB,∴EC⊥面ABB1A1,∴EC⊥EA1,

∴EA,EC,EA1两两相互垂直,以E为坐标原点,EA的方向为x轴正方向,|EA|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O?xyz, ????????

????????????有题设知A(1,0,0),A

1(0,

,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC=(1,0

,),BB1=AA1=(-

????A1C=(0,

……9分

设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,

???????n?BC?0?x??0则?,即?,可取n=

1,-1), ???????n

?BB1?0?x??0

????????n?A1C∴cosn,A1C= |n

||A1C|∴直线A1C 与平面BB1C1C

……12分

19、(本小题满分12分)

一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立

(1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。

【命题意图】

【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,

∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4()?

(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-C4()?

∴X

331221141413?()+()?=.…6分 22226412311411111313?()=,P(X=500)=,P(X=800)=C4()?=, 221616224

第6页(共10页)

……10分

EX=400×1111+500×+800×=506.25 ……12分 16164

(20)(本小题满分12分)

已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A

,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 【命题意图】

【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.

(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2

的椭圆(左顶

x2y2

?1(x??2). 点除外),其方程为?43

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)2?y2?4

当l的倾斜角为900时,则l与y

轴重合,可得|AB|=当l的倾斜角不为900时,由

r1≠R知l不平行x轴,设

l与x轴的交点为Q

,则

|QP|R=,可求得Q|QM|r1. 4(-4,0),∴设l:y?k(x?4),由l于圆M?1,解得k??

x2y2x???1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,解得当k时,将y?43

x1,2=?4?18,∴x1?x2|=. 77

第7页(共10页)

当k=

18时,由图形的对称性可知|AB|=, 7

综上,|AB|=

18或

|AB|=7

(21)(本小题满分共12分)

已知函数f(x)=x?ax?b,g(x)=e(cx?d),若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y?4x?2

(Ⅰ)求a,b,c,d的值

(Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围。

【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题.

【解析】(Ⅰ)由已知得f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4,

而f?(x)=2x?b,g?(x)=e(cx?d?c),∴a=4,b=2,c=2,d=2;……4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?x?4x?2,g(x)?2e(x?1),

设函数F(x)=kg(x)?f(x)=2ke(x?1)?x?4x?2(x??2), x22xx2x

F?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1),

有题设可得F(0)≥0,即k?1,

令F?(x)=0得,x1=?lnk,x2=-2,

(1)若1?k?e,则-2<x1≤0,∴当x?(?2,x1)时,F(x)<0,当x?(x1,??)时,F(x)>0,即2

F(x)在(?2,x1)单调递减,在(x1,??)单调递增,故F(x)在x=x1取最小值F(x1),而F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0,

∴当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立,

(2)若k?e,则F?(x)=2e(x?2)(e?e),

∴当x≥-2时,F?(x)≥0,∴F(x)在(-2,+∞)单调递增,而F(?2)=0,

∴当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立,

(3)若k?e,则F(?2)=?2ke2?222x2?2=?2e?2(k?e2)<0,

第8页(共10页)

∴当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立,

综上所述,k的取值范围为[1,e].

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB

为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,

DB垂直BE交圆于D。

(Ⅰ)证明:DB=DC;

(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=错误!未找到引用源。 ,延长CE交

AB于点F,求△BCF外接圆的半径。

【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题.

【解析】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G.

由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,

BE=CE,

又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=90,由勾股定理可得DB=DC. 02

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴

oo. 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30,

∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF

.

(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参

数方程为??x?4?5cost(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为?y?5?5sint

极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为??2sin?。

(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。

【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题.

【解析】将??x?4?5cost22消去参数t,化为普通方程(x?4)?(y?5)?25, ?y?5?5sint

?x??cos?2222C即1:x?y?8x?10y?16?0,将?代入x?y?8x?10y?16?0得, ?y??sin?

?2?8?cos??10?sin??16?0,

第9页(共10页)

∴C1的极坐标方程为??8?cos??10?sin??16?0;

(Ⅱ)C2的普通方程为x?y?2y?0,

22??x?1?x?0??x?y?8x?10y?16?0CC

由?2解得或,∴与),??122y?1y?24????x?y?2y?0222

2,()?

2.

(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数f(x)=|2x?1|?|2x?a|,g(x)=x?3.

(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;

(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[?a1,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 22

【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题.

【解析】当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x?1|?|2x?2|?x?3?0,

1??5x, x??2?1?设函数y=|2x?1|?|2x?2|?x?3,y=??x?2, ?x?1, 2??3x?6, x?1??

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当x?(0,2)时,y<0,∴原不等式解集是{x|0?x?2}.

a1,)时,f(x)=1?a,不等式f(x)≤g(x)化为1?a?x?3, 22

4a1a∴x?a?2对x∈[?,)都成立,故??a?2,即a≤, 3222

4∴a的取值范围为(-1,]. 3(Ⅱ)当x∈[?

第10页(共10页)

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