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小学奥数教参

发布时间:2013-11-18 12:45:53  

目 录

第1讲 小数的运算????????????????????????略 第2讲 括号和分配律???????????????????????? 第3讲 部分平均和全体平均???????????????????? 第4讲 平面图形的周长?????????????????????? 第5讲 环形道路上的行程问题??????????????????? 第6讲 周期问题???????????????????????? 第7讲 鸡兔同笼问题?????????????????????? 第8讲 牛吃草问题???????????????????????? 第9讲 逻辑推理问题?????????????????????? 第10讲 画示意图???????????????????????? 第11讲 平面图形的面积?????????????????????? 第12讲 三角形的等积变形?????????????????????? 第13讲 格点与面积???????????????????????? 第14讲 整数的整除???????????????????????? 第15讲 质数与合数??????????????????????

第16讲 分解质因数???????????????????????? 第17讲 最大公约数与最小公倍数?????????????????? 第18讲 抽屉原理???????????????????????? 第19讲 分类?????????????????????????? 第20讲 换一个角度考虑问题???????????????????? 第21讲 定义新运算???????????????????????? 第22讲 十进制和二进制?????????????????????? 综合测试题(一)???????????????????????? 综合测试题(二)????????????????????????

第二讲

括号和分配律

一、知识要点和基本方法

1.在“+”号后面添括号、或去括号,括号内的“+”、“-”符号都不变.

2.在“-”号后面添括号、或去括号,括号内的“+”、“-”符号都改变.其中“+”号变成“-”号、“-”号变成“+”号.

3.在“×”号后面添括号,或去括号,括号内的“×”、“÷”符号都不变.(注意此时括号内不能有加减运算).

4.在“÷”号后面添括号、或去括号,括号内的“×”、“ ÷”符号都改变.其中“×”号变为“÷”号、“÷”号变为“×”号(注意此时括号内不能有加减运算).

5.乘法对加法的分配律:

设a、b、c三个数,如果a与(b+c)进行乘法,则有

a×(b+c)=a×b+a×c.

6.乘法对减法的分配律:

设a、b、c三个数,如果a与(b-c)进行乘法,则有

a×(b-c)=a×b a×c.

注意:(1)由于加法具有交换律,所以在乘法对加法的分配律中,相加的两数b与c可以交换位置,即

a×(b+c)=a×(c+b)=a×c+a×b.

(2)由于减法没有交换律,所以在乘法对减法的分配律中,被减数b和减数c不可以交换位置,即

a×(b-c)≠a×(c-b).

二、练习题

A组

1 计算:(1)127+24+76;(2)7.. 93+(2.8-1.93)

2 计算:7 736—473+73.

3 计算:3.71—2.74+4.7+5.29—0.26+6.3.

4 计算:34 × 25 × 6.

5 计算:8.25 X 18.

6 计算:8.4+5+8.

7 计算:49 000+125.

8 计算:(5.25十0.125十5.75)× 8.

B 组

9 计算:(1)14.529十(2.471—3);

(2)38.68一(4.7—2.32).

10 计算:44.8—21.7—24.7 + 16 4.

11 计算:131—68—85 + 53.

12 计算:34.5 × 8.23—34.5 + 2.77 × 34.5.

13 计算:7.9 × 25 + 33 × 2.5.

14 计算:23 ×(63—23十4)_21.

15 计算:18 3 M 4 + 5.3 X 2.5+7.13 × 7.5. 16 计算:243 587 × 1111.

测 试 题

1 计算:4.79-0.775-1.225.

2 计算:75 000÷125÷15.

3 计算:75?4.7+159?2.5.

4 计算:4.25?5.24+1.52?2.51.

5 计算:7 142.85?3.7?2.7?1.7?0.7.

6 计算:33 333 × 66 666.

7 计算:1.1?3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19

第三讲

部分平均和全体平均

一、知识要点和基本方法

1.各个数的总和除以这些数的个数等于这些数的平均数.

2.基数+[(每一数与基数的差)求和] ÷数的个数=平均数.

3.平均数乘这些数的个数等于这些数的总和.

4.等差数列:若把一些数按前后次序排成一列,每相邻两个数,后一个减前一个的差都相等,则称这列数为等差数列.

例如:

(1)1,2,3,4,5,6,?100;

(2)2,4,6,8,10,12,14,16,?,100都是等差数列.

5.等差数列中所有数的平均数,就是头尾两数的平均数.

6.当等差数列有奇数个数时,它的平均数恰好是中间的这个数.

7.当等差数列有偶数个数时,它的平均数也就是中间两个数的平均数.

二、练习题

A 组

1. A、B、C、D 4个数,每次去掉一个不同的数,求其余3个数的平均数.这

样算了4次,得到以下4个数:45、60、65、70.问原来4个数的平均数是多少?

2. 某班女生人数是男生人数的2倍.女生的平均身高是156厘米,男生的平均

身高是 162厘米.求全体同学的平均身高(厘米).

3. 五(1)班有50人,其中女生20人,在期中考试中,女生的平均成绩是85

分,男生的平均成绩是80分,求五(1)班全体学生的平均分.

4. 第一小组有8位同学,第二小组有12位同学,某次数学考试中,两组全体

同学的平均分为83.8分,第一组同学的平均分比第二组同学的平均分高2分,求每一组同学的平均分各是多少?

5. 女同学的人数是男同学人数的一半,男同学的平均鹏是41千克,女同学的

平均体重是35千克,全班同学的平均体重是多少?

6. 某班有50人,在一次数学考试后,按成绩排了名次,结果前30名的平均分

数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚,他把前30名的平均成绩,加上后20名的平均成绩,再除以2,错误地认为这就是全班的平均成绩,这样做全班的平均成绩是提高了,还是降低了?请算出提高多少或降低多少.

7. 有 1000人报考的人学考试,录取了 150人,录取者的平均成绩比未被录取

者的平均成绩多38分,全体考生的平均成绩是55分,录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分,问录取分数线是多少分?

B 组

8. 甲、乙、丙3个人参加数学竞赛,甲、乙的总分是145分;乙、丙的总分是

125分;甲、丙的总分是150分,求甲、乙、丙3个人的平均分.

9. 五(3)班有学生40人,数学考试中因两位同学缺考,平均分数为90分,

后来两位同学补考成绩是79分和80分,问最后全班的平均分是多少?

10. 一次测量身高,A、B、C、D、E 5个人的平均身高比 C、D、E 3个人的平均

身高矮4厘米,A、B两人的平均身高为165厘米,求5个人的平均身高.

11. 女同学的人数是男同学人数的7,男同学的平均身高是1.65米,全体男、

女同学的平均身高是1.59米,问女同学的平均身高是多少米?

12. 有5个数A、B、C、D、E,每次去掉一个数,将其余4个数求平均数,这样

计算了5次,得到下面5个数:17、25、27、32、39,求A、B、CD、E这5个数的平均数.

13. 有A、B、C、D、E、F、G7个数成等差数列,已知A、G两数的平均数为10,

则数D为多少?这7个数的和是多少?

14. 有A、B、C、D、E、F、G、H8个数成等差数列,已知D、E两数的平均数是

9,则A、B、CD、E、F、G、H这8个数的平均数是多少?它们的和是多少?

15. 小明参加 4次语文测验,平均成绩是 68分,他想在下次语文测验后,将5

次的平均成绩提高到70分以上.那么,在下次测验中,他至少要得到多少分?(得分按整数分算)

测 试 题

1. 某次外语考试,赵、钱、孙、李、周5个人的平均分数比孙、李、周3个人

的平均分数少4分,赵、钱两人的平均分数是75分,求5个人的平均分数.

2. 上学期数学课进行了5次测验,亮亮的成绩是第2次比第1次多10分,第

3次比第2次少5分,第4次比第3次多4分,前4次的平均成绩是85分,第5次比第4次少13分,那么,全学期5次测验的平均成绩是多少?

3. 有4个数,每次选取其中3个数算出它们的平均数,再加上另

外一个数,用这种方法计算了4次,分别得到以下4个数:86、

92、100、106,那么原来4个数的平均数是多少?

4. 共有A、B、C、D、E、F、G、H8个数成等差数列,若中间两数D、E的和为

16,则这8个数的平均数是多少?这8个数的和又是多少?

5. 某校数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖中最后4人调

整为二等奖,这样得二等奖的学生平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?

6. 6次数学测验的平均成绩为a(分),后 4次的平均分比a高了 3分、第1、

第2和第6次的平均分比a低了3.6分,那么前5次的平均分比a高还是低了多少分?

第四讲

平面图形的周长

一、知识要点和基本方法

1.同学们在课堂内所学的三角形、长方形、平行四边形、菱形、梯形、圆、扇形等都可以直接利用公式求得它们的周长,这些图形都是基本平面几何图形.它们是构成复杂平面几何图形的基础,必须熟练掌握.为了便于同学们记忆,分列如下:

(1)长方形(图4-1)的周长=2(a+b).

图4-1 图4-2

(2)正方形(图4-2)的周长=4 a.

(3)三角形(图4-3)的周长=a十b十c,内角和=180°.

图4-3 图4-4

(4)平行四边形(图4-4)的周长=2(a+b).

(5)梯形(图4-5)的周长=a?b?c?d.

图4-5 图4-6

(6)菱形(图4-6)的周长=4 a.

(7)圆(图4-7)的周长=2?r.

图4-7 图4-8

n?r,周长=2r?l. 180

2.复杂的平面图形一般是由上述这些基本图形组合而成的,因此复杂的平面图形其周长的计算主要是转化成上述基本图形周长的和、差问题.这就需要同学们从复杂平面图形中找出它们的和、差关系.

二、练习题

A 组

1. 求图4-15 中阴影部分的周长.(单位:厘米,?=3.14)

(8)扇形(图个幻的弧长l?

图4-15 图4-16

2. 如图4-16中大圆半径是小圆半径的2倍,求阴影部分的周长是大圆周长的

几分之几?

3. 如图4-17中,三角形ABC是直角三角形,阴影?的面积比??的面积小23

平方厘米,直径AB为20厘米,求BC的长.(?=3.14)

图4-17 图4-18

B 组

4. 如图 4-18是由直径分别为 4厘米、6厘米和 10厘米的三个半圆所围成的

图形,求图中阴影部分的周长.(?=3.14)

5. 如图 4-19正方形ABCD,其面积为 5平方厘米,各边中点分别为E、F、G、

H,求图中阴影部分的周长.

图4-19 图4-20

6. 如图4-20矩形ABCD中,AB=2厘米,BC=1厘米.以A为圆心从D长为半

径画弧交BA延长线于E,以B为圆BE长为半径画弧交CB延长线于F,以C为圆心CF长为半径画弧交DC延长线于G,求阴影部分的周长.(保留?)

测 试 题

1. 如图4-21中,正三角形ABC,以BC为直径画半圆,再以B为圆心 AB(AB

=6厘米)为半径作扇形 BAC,求图中阴影部分的周长.(保留?)

2. 如图4-22,圆的周长为15.7厘米,圆的面积是长方形面积的单.求图中

阴影部分的周长(?=3.14).(结果保留一位小数)

3. 桌面上有一条长度为100厘米且拉直的红线.另外有直径分别是2厘米、3

厘米、7厘米和15厘米的圆形纸片苦干张.现在用这些圆形纸片将桌上的拉直红线盖住,如果要使所用纸片的圆周长总和最短,那么这个最短总和是多少厘米?(?=3.14)

图4-21 图4-22

第五讲

环形道路上的行程问题

一、知识要点和基本方法

1.行程问题中的基本数量关系式:

速度×时间=路程;路程÷时间=速度;

路程÷速度=时间.

2.相遇问题中的数量关系式:

速度和×相遇时间=相遇路程;

相遇路程÷速度和=相遇时间;

相遇路程÷相遇时间=速度和.

3.追及问题中的数量关系式:

速度差×追及时间=追及距离;

追及距离÷速度差=追及时间;

追及距离÷追及时间=速度差.

4.流水问题中的数量关系式:

顺水速度=船速十水速;

逆水速度=船速一水速;

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2.

5.应该注意到:

(1)顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似;

(2)在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似,因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题.

二、练习题

A 组

1. 甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次.问

乙跑完一圈用多少秒?

2. 甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步.甲每分钟跑305

米,乙每分钟跑275米.两人起跑后,问第一次相遇在离起点多少米处?

3. 有一条长500米的环形跑道.甲、乙两人同时从跑道上某一点出发,反向而

跑,1分钟后相遇;如果两人同向而跑,则10分钟后相遇.已知甲跑得比乙快,问甲、乙两人每分钟各跑多少米?

4. 甲、乙两人同时从A点背向出发,沿400米环形跑道行走,甲每分钟走80

米,乙每分钟走50米,这两人至少用多少分钟再在A点相遇?

5. 小明在360米长的环形跑道上跑了一圈.已知他前一半时间每秒跑5米,后

一半时间每秒跑4米,那么小明后一半路程用了多少秒?

6. 一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶;由乙至甲是逆水行

驶.已知船在静水中的速度为每小时8千米,平时逆行与顺行所用时间的比为2:1,某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9小时,

问甲、乙两港相距多少千米?

7. 两只小爬虫甲和乙,从图5-6上A点同时出发,沿长方形ABCD的边,

分别按箭头方向爬行,在离C点32厘米的E点它们第一次相遇;在离D点16厘米的F点第二次相遇,在离A点16厘米的 G点第三次相遇,问长方形的边 AB长多少厘米?

图5-6 图5-7

8. 周长400米的圆形跑道上,有相距100米的A、B两点(如图5-7).甲、

乙两人分别在A、B两点相背而跑,两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑,当甲又跑到A地时,乙恰好又跑到B地.如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变,那么甲追上乙时,从出发开始,甲共跑了多少米?

B 组

9. 绕湖环行一周是2 700米,小张、小王、小李从同一地点出发绕湖行走,小

李沿反方向行走,小张的速度是135米/分,小王的速度是 90米/分,小李的速度是 45米/分.当小张和小李相遇后,马上转身反向而行,不久与小王相遇。问出发后多少时间,小张和小王相遇?

10. 小张步行从甲村到乙村去,小李骑自行车从乙村往甲村去,他们同时出发,

1小时后在途中相遇,他们分别继续前进,小李到达甲村后就立即返回,在第一次相遇后40分钟,小李追上了小张,他们又分别继续前进,当小李到达乙村后又马上折回,问:追上后多少分钟,他们再次相遇?

11. 绕湖一周是24千米,小张和小王从湖边某一地点同时出发,反向而行,王

以 4千米/时的速度每走1小时后休息5分钟J张以6千米/时的速度每走50分钟后休息10分钟,问两人出发多少时间后第一次相遇?

12. 小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发,绕湖而走.小张速度是每小时

5.4千米,小王速度是每小时4.2千米,他们两人同方向行走,小李与他们反方向行走,半小时后小张与小李相遇,再过5分钟,小李与小王相遇,那么绕湖一周行程是多少千米?

13. 游船顺流而下,每小时前进7千米,逆流而上,每小时前进5千米,两条游

船同时从同一地方出发,一条顺流而下,然后返回;一条逆流而上,然后返回,结果,1小时后它们同时回到出发点,问在这1小时内有多少时间这两条游船的前进方向相同?

14. 在 400米环形跑道上,A、B两点相距 100米(如图 5-8所示).甲、乙

两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人跑100米,都要停10秒钟.那么,甲追上乙需要的时间是多少秒.

图 5-8 图5-9

15. 在图5-9中,正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是 90

千米/时,在 BC上的速度是 120千米/时,在 CD上的速度是 60千米/时,在 DA上的速度是 80千米/时.从 CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB的中点相遇.如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点 N处相遇二求

A至N的距离 B至N的距离

16. 某游艇在一条河流中逆水航行,有一乘客随身带有的空心玻璃球在A桥处失

落于水中,但经过20分钟到C处才发现;游艇掉头寻找空心玻璃球,直至更下游的B桥下才拾得.已知A、B两桥相距2千米,求河水的流速.

测 试 题

1. 如图5-10,在一圆形的跑道上,小明从A点,小强从B点同时出发反向行走(如箭头所示).6分钟后,小明与小强相遇,再过4分钟,小明到达B点.又再过8分钟,小明与小强再次相遇.问:小明环行一周要多少分钟?

图 5-10 图 5-11

2. 如图5-11,一个圆周长90厘米,3个点把这个圆周分成三等分,3只爬虫

A、B、C分别在这3个点上.它们同时出发,按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒出的速度是5厘米/秒(的速度是3厘米/秒,3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置?

3. 上午8点08分,小明从家里骑自行车出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,

在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头追小明,再追上他的时候,离家恰好是8千米.问:这时是几点几分?

4. 图5-12中,甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶

点上,同时开始沿逆时针方向沿池边行走.甲每分钟走50米,乙每分钟走44米,问:甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上(不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形)?

图 5-12 图 5-13

5. 如图5-13,阴影部分表示学校校园.长方形ABCD表示校园外紧靠围墙的

小路.AD—320米,AB—250米.小明、小亮分别从A、C两地同时出发,两人都按顺时针方向跑,速度分别是每秒3.5米和2.5米.问:出发后多久小明才能第一次看见小亮?

6. 如图5-14是一座立交桥俯视图,路面宽20米.AB=CD=100米.阴影部分

为四个四分之一圆形的草坪.现有甲、乙两车分别在A、D两处按箭头方向行驶,甲车速56千米/时,乙车速50千米/时.问:按行车路线(用虚线表示),甲车要追上乙车需要多少分钟?(甲的行车路线为A→B→C→D→)

图5-14

第六讲

周期问题

一、知识要点和基本方法

1.周期问题

客观世界中,存在着一些数、图形和事物的变化是周而复始循环出现的,我们把具有这种规律性的问题称为周期问题.

例如,每隔7天是一周,周周如此;每隔12个月是一年,年年一样;每隔24小时是一昼夜,天天相同;??,这些问题都属于周期问题. 2.周期问题中的周期

周期是一个数,由于我们所学的知识有限,还不能给出周期的明确定义,只能具体问题具体分析.

例如,由于每个星期有7天,即时间是7天一循环,则说周期是7;由于每年有12个月,即时间是12个月一循环测说周期是12;每个昼夜24个小时,即时间是24个小时一循环,则说周期是24;在循环小数中,“循环节数字的位数”即为循环的“周期”.

研究周期问题,就是要发现问题的周期性和确定周期,从而解决有关问题. 3.利用余数处理离散序列周期性问题的一般模式. 余数反映了自然数的某种周期变化。它可以帮助我们确定具有周期规律的离散量在某个序号上的性质.

解决这种问题的一般模式是:

···, (1)序列:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

,P,P,P··· 性质: P. 12,P34,P5,P12,P3,P4,

其中,p1,p2,p3,p4,p5是以5为周期循环的数字a1,a2,?所对应的性质. (2)若问ak对应什么性质?我们只要用5去除k,看余数是几就可以了.比如a1998,因为1998 ÷ 5=399??3,立即可判定a1998具有性质p3.

4.自然数乘方的个位数所呈现的周期现象.

一个数码a自乘后,积的个位数是有周期现象的,我们把数码a自乘m次后记作

m

a?a?a?????a=a,记作a的m次方 ???????

m个

则易知数码0,1,5,6的任何次方的个位数仍是它本身.数码2,3,4,7,8,9的m次方的个位数有如下周期现象。 a

4k?1

与a的个位数相同,

a

a

a4k?2与a的个位数相同, 与a的个位数相同, 与a的个位数相同.(其中k可以是任意自然数) 4324k?34k?4

运用以上规律,可以解决有关问题.

二、练习题

A 组

31化成小数后J数点右边第1991位上的数字是多少?这1991个数字的和是35

多少?

2.如图6-6,用圆周列出的十个数按顺时针方向可以组成许多个整数部分是一

位的循环小数.例如,3.439 897 398(循环节自己确定),那么在所有这种数中,最大的一个是什么?最小的一个是什么?

图6-6

3.紧接着数字1、9、8、9后面写一串数字,写下的每个数字都是它前面两个数

字乘积的个位数.例如 8 × 9=72,则在 9的后面写2,又接着 9 × 2=18,则在 2的后面写 8,?得到一列数字:

1、9、8、9、2、8、6、?

请问:这串数字从 1开始往右写,第 2 002个数字是什么?

12319974.在数列,,,?,中,共有多少个最简分数? 6782002

5.图6-7是一个三角形数阵:

图6-7

如果分别求每一行中所有数的和,可以得到 1991个数,其中偶数有多少个?

6.请见下表中,第一组是“共社”,第二组是“产会”,那么第100组是什么?

B组

7.如果全体自然数按图6-8排列,数1003应在哪个字母下面?

图6-8

8.一串数字9213?从第三个数字起,每个数字都是它前面两个数字之和的个位上的数字.问第100个数字是几?前100个数字之和是多少?

9.123 456 78922的尾数是几?

10.证明:32000+42001是5的倍数.

11.如下表,第一组是“A1”,第二组是“B2”,?,第26组是什么?

12.如图6-9,把1~8 八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从1号

开始顺时针方向前进329个位置,第二天接着按逆时针方向前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前进485个位置,如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位置?

图6-9

测 试 题

1. 电子跳蚤每跳一步,可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈,钟面上从“12”开始

按顺时针方向共有12个标有数字的圆圈:12,1,2,?,11.现在,一只红跳蚤从标有数字“12”的圆圈按顺时针方向跳了 1991步,落在一个圆圈里;一只黑跳蚤也从标有数字“12”的圆圈起跳,但它是沿着道时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里.问,这两个圆圈里数字的乘积是多少?

2. 如下表,第一组是(我A),第二组是(们B),以下类推.

(1)第 62组是什么?

(2)如果某一组(科 E)代表 1983,相邻一组(学 F)代表 1984, ?,问 2 002对应的一组是什么?

3. 有一串数1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、?中第一个与第二个数都

是1,从第3个数开始,每个数都是它前面两个数的和.那么,在这串数中,第 2 002个数被 3除后,所得的余数是几?

4. 求证:对大于1的自然数m,m1985?m1949是10的倍数.

5. 1985年元旦是星期二,问19852天后的那一天是星期几?

a6. 真分数化为小数后,如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和7

是 1992.那么,a是几?

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