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2012年普通高等学校招生全国统一考试四川卷(数学文)解析版

发布时间:2013-11-20 09:39:03  

2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学(供文科考生使用)

参考公式:

如果事件互斥,那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) S=4pR2

如果事件相互独立,那么 其中R表示球的半径

P(A?B)P(A)?P(B) 球的体积公式

43pR 3

在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 V=

kkPn(k)=Cnp(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

第一部分 (选择题 共60分)

注意事项:

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。

一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、设集合A?{a,b},B?{b,c,d},则A?B?( )

A、{b} B、{b,c,d} C、{a,c,d} D、{a,b,c,d}

[答案]D

[解析]集合A中包含a,b两个元素,集合B中包含b,c,d三个元素,共有a,b,c,d四个元素,所以A?B?{a、b、c、d}

[点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌握好课本的基础知识.

2、(1?x)的展开式中x的系数是( )

A、21 B、28 C、35 D、42

[答案]A

[解析]二项式(1?x)展开式的通项公式为Tk?1=C7x,令k=2,则T3?C7x

2?x2的系数为C7?21 727kk2、2

[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,

其次需要强化考生的计算能力.

3、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )

A、101 B、808 C、1212 D、2012

[答案]B

[解析]N=96?21?969696?25??43??808 121212

[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体.

4、函数y?a?a(a?0,a?1)的图象可能是( ) x

[答案]C

[解析]采用特殊值验证法. 函数y?a?a(a?0,a?1)恒过(1,0),只有C选项符合.

[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.

5、如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE?1,连接EC、ED则sin?CED?( )

A

[答案]B x B C D

[解析]?AE?1,正方形的边长也为1?ED?

2EC?EA??CB?52AE?AD?222CD?1

?cos?CED?ED?EC-CD

2ED?EC222 ?310

sin?CED??cos2?CED?10

[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.

6、下列命题正确的是( )

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

[答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

????ab7、设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使?成立的充分条件是( ) |a||b|

??????????A、|a|?|b|且a//b B、a??b C、a//b D、a?2b

[答案]D

??ab[解析]若使?成立,则a与b方向相同,选项中只有D能保证,故选D. |a||b|

[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意.

?x?y??3,?x?2y?12,??8、若变量x,y满足约束条件?2x?y?12,则z?3x?4y的最大值是( )

?x?0???y?0

A、12 B、26 C、28 D、33

[答案]C

[解析]目标函数z?3x?4y可以变形为

3z3y??x?,做函数y??x的平行线, 444

当其经过点B(4,4)时截距最大时,

即z有最大值为z?3x?4y=3?4?4?4?28.

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:

一列(列出约束条件)、

二画(画出可行域)、

三作(作目标函数变形式的平行线)、

四求(求出最优解).

9、已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,

并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|?( )

A、 B、 C、4 D、[答案]B

[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(pp,准线方程为x=?, ,0)22

?M在抛物线上,

?M到焦点的距离等于到准线的距离,即

p2p22?2-)?y0?2?)?322

解得:p?1,y0?22

?点M(2,22),根据两点距离公式有:

?|OM|?22?(22)2?2[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).

10、如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面?内,过点O作

平面?的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面?成45?角的平面与半球面相交,所得交线上到平面?的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足?BOP?60,则A、P两点间的球

面距离为( )

A、R??R?R B、 C、R D、 43

[答案]A

[解析]以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,则

?2 ?COS?AOP??2R4

A(2213R,0,R),P(R,R,0) 2222

2??AOP?arccos4

?2?AP?R?arccos4

[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.

11、方程ay?bx?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )

A、28条 B、32条 C、36条 D、48条

[答案]B

2[解析]方程ay?bx?c变形得x?2222ac,若表示抛物线,则a?0,b?0 y?22bb

?a??2,c?0,或1,或3??a?1,c??2,或0,或3

?a?3,c??2,或0,或1?所以,分b=-2,1,2,3四种情况: ?a?1,c?0,或2,或3?(1)若b=-2,?a?2,c?0,或1,或3 ; (2)若b=2, ?a?3,c?0,或1,或2?

以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;

同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条.

综上,共有14+9+9=32种

[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

12、设函数f(x)?(x?3)?x?1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14,则3

a1?a2??a7?( )

A、0 B、7 C、14 D、21

[答案]D

[解析]∵{an}是公差不为0的等差数列,且f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14

∴[(a1?3)3?a1?1]?[(a2?3)3?a2?1]???[(a7?3)3?a7?1]?14

∴(a1?a2??a7)?7?14

∴a1?a2??a7?21

[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.

第二部分 (非选择题 共90分)

注意事项:

(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 (2)本部分共10个小题,共90分。

二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。) 13、函数f(x)?

____________。(用区间表示) [答案](-?)

[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(-?).

[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义. 14、如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是____________。 [答案]90o

[解析]方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以,DN⊥平面A1MD1,

又A1M?平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90o

方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)

AN1

1

2

12

标系

(0,2,1),MA1?(2,?1,2)故,DN?

MA1??所以,cos<??MA1

= 0,故DN⊥D1M,所以夹角为90o

|DN||MA1|

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.

x2y2

?1(a为定值,15、椭圆2?且a?的的左焦点为F,直线x?m与椭圆相交于点A、B,?FAB

a5

的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______。 [答案]

2 3

2

2

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又?a?c?5

?c?2,?e?

c2? a3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、设a,b为正实数,现有下列命题:

①若a?b?1,则a?b?1; ②若

2

2

11

??1,则a?b?1; ba

③若?1,则|a?b|?1;

④若|a?b|?1,则|a?b|?1。

其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)

[答案] ①④

若a,b中至少有一个大于等于1, 则a+b>1,

由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确.

对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,

若a,b中至少又一个大于等于1,则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1

若a,b都小于1,则|a-b|<1,所以④正确.

综上,真命题有 ① ④ .

[点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.

三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)

17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统[解析]若a,b都小于1,则a-b<1 33B在任意时刻发生故障的概率分别为1和p。 10

49,求p的值; 50(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么

1-P(C)=1-1491P= ,解得P=………………………………6 分 51050

(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为

事件D,

那么P(D)=C32111972243 ?(1?)2?(1?)3??1010101000250

243. ………………12分. 250答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

18、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?cos

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域; 2xxx1?sincos?。 2222

,求sin2?的值。 10

xx12x[解析](1)由已知,f(x)=cos?sincos? 2222

111 ?1?cosx)?sinx? 222(Ⅱ)若f(?)?

?2?cos(x?) 24

?2,2??。…………………6分 所以f(x)的最小正周期为2?,值域为??22???

(2)由(1)知,f(?)=

所以cos(??2?32 cos(??)?,2410?

4?3)。 5

所以sin2???cos( )4

?1872 ?1?2cos,…………………12分 (??)?1??42525?2?2?)??cos(2???

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.

19、(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P?ABC中,?APB?90?,?PAB?60?,AB?BC?CA,点P在平

内的射影O在AB上。

(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;

(Ⅱ)求二面角B?AP?C的大小。 面ABC[解析](1)连接OC. 由已知,?OCP为直线PC与平面ABC所成的角

设AB的中点为D,连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CD?AB.

因为?APB?90?,?PAB?60?,所以?PAD为等边三角形,

不妨设PA=2,则OD=1,OP=3, AB=4.

所以CD=23,OC=OD?CD??12?.

在Rt?OCP中,tan?OPC?22OP39??.…………………………6分 OC13 (2)过D作DE?AP于E,连接CE.

由已知可得,CD?平面PAB.

据三垂线定理可知,CE⊥PA,

所以,?CED为二面角B—AP—C的平面角.

由(1)知,DE=3

在Rt△CDE中,tan?CED?CD2??2 DE3

故二面角B—AP—C的大小为arctan2 …………………………………12分

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若

没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).

20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,常数??0,且?a1an?S1?Sn对一切正整数n都成立。

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设a1?0,??100,当n为何值时,数列{lg

[解析]取n=1,得?a1?2s1?2a1,a1(?a1?2)?0

若a1=0,则s1=0, 当n?2时,an?sn?sn?1?0,所以an?0

若a1?0,则a1?1的前n项和最大? an?222当n?2时,2an??sn,2an?1??sn?1, , ??

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上,若a1 = 0, 则an?0

若a1?0,则an?2n

? …………………………………………7分

(2)当a1>0,且??100时,令bn?lg1,所以,bn?2?nlg2 an

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)

100100?lg?lg1?0 6642

100100当n≥7时,bn≤b7=lg7?lg?lg1?0 1282则 b1>b2>b3>…>b6=lg

故数列{lg1}的前6项的和最大. …………………………12分 an

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

21、(本小题满分12分) 如图,动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)

,且直线MA、MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为A

(Ⅰ)求轨迹C的方程;

(Ⅱ)设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P,与轨迹C相交?M构成C。 |PR|的取值范围。 Q、R,且|PQ|?|PR|,求|PQ|

[解析](1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率

在;当x=1时,直线MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为

由题意,有于点不存yy,MB的斜率为. X?1x?1yy=4 X?1x?1

化简可得,4x2-y2-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)…………………………4分

1. 由??y?x?m

?4x?y?4?022消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)

对于方程(﹡),其判别式?=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0

而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.

结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1

设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根. 因为PQ?PR,所以XQ?X

2R,XQ?m?232?3,XP?m?232?3 所以PR?PQX

22?PR3?2??1?1?2?2332?1m32。 m?1此时?3

m?1,且?m?2 所以1?1?2

2?3?3,且1?

222?3m

R

P?1PRPQm?2?15? 3所以1?PRPQ?X?3,且?XRP5 3

综上所述,55的取值范围是(1)?(,3) …………………………12分 PQ33PR

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。

an

22、(本小题满分14分) 已知a为正实数,n为自然数,抛物线y??x?与x轴正半轴相交于点A,2

设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。 2

(Ⅰ)用a和n表示f(n);

(Ⅱ)求对所有n都有f(n)?1n?成立的a的最小值; f(n)?1n?1

111??????与 f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)(Ⅲ)当0?a?1时,比较

6?f(1)?f(n?1)的大小,并说明理由。 f(0)?f(1)

??[解析](1)由已知得,交点A的坐标为???

则抛物线在点A处的切线方程为: ?'1n2?,0,对y??x?a求导得y??2x 2?2??ny??2a(x?nn

2),即y??2ax?a.则f(n)?a ………………4分

nnnn1. 由(1)知f(n)=a,则f(n)?1nn?成立的充要条件是a?2n?1 f(n)?1n?1

即知,an?2n?1对于所有的n成立,

n特别地,当n=1时,得到a≥3 当a=3,n≥1时,an?3?(1?2)?1?Cn.2???2n?1 n1

当n=0时,anf(n)?1n?

=2n+1.故a=3时f(n)?1n?1对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分

2. 由(1)知f(k)=a 下面证明:k111f(1)?f(n?1) ?????6.f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)f(0)?f(1)

1

x?x2首先证明0<x<1时,?6x

设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则g'(x)?18x(x?). 2

3

22时,g'(x)<0; 当?x?1时,g'(x)?0 33

21故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)?g()??0 min39当0?x?

所以,当0<x<1时,g(x)>0,即得1

x?x2?6x

1由0<a<1知0?a?1(k?N),因此k*

ak?a2k?6ak,从而

111????f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)

111 ????a?a2a2?a4an?a2n

?6(a?a???a)?6?2na?n?1

1?n?6?f(1)?f(n?1)??????14分f(0)?f(1)

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

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