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初中数学竞赛辅导资料—数的整除(二)

发布时间:2013-11-21 08:03:40  

初中数学竞赛辅导资料—数的整除(二)

甲内容提要

第一讲介绍了能被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25整除的自然数的特征,本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.

几个常用的定理,公式,法则:

⑴ n个连续正整数的积能被n!整除.(n的阶乘:n!=1×2×3×…×n).

例如:a为整数时,2

⑵ 若ab  且aa(a+1), 6(b?c).

c , 则ab

c, 则ac . c, bc. a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3), …… c, 则 ac, b⑶ 若a, b互质,且a反过来也成立:a, b互质, ab

例如:8和15互质,8|a, 15|a, 则120|a.

反过来也成立: 若120|a. 则 8|a, 15|a.

⑷由乘法公式(n为正整数)推得:

由(a-b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an-bn . 得 (a-b)|(an-bn).

--(a+b)(a2n-a2n1b+……ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a2n+1+b2n+1).

----(a+b)(a2n1-a2n2b+……+ab2n2-b2n1)=a2n-b2n . (a+b)|(a2n-b2n).

概括起来:齐偶数次幂的差式a2n-b2n含有因式a+b和a-b.

齐奇数次幂的和或差式a2n+1+b2n+1或a2n+1-b2n+1只分别含有因式a+b或a-b.

例如(a+b)| (a6-b6), (a-b)| (a8-b8);

(a+b)|(a5+b5), (a-b)|(a5-b5).

乙例题

例1. 已知:整数n>2. 求证:n5-5n3+4n能被120整除..

证明:n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2).

∵(n-2) (n-1)n(n+1) (n+2)是五个连续整数,能被n!整除,

∴ 120|n5-5n3+4n.

例2. 已知:n为正整数. 求证:n3+321n+n是3的倍数. 22

3211n+n=n(2n2+3n+1) 222

1=n(n+1)(2n+1) 2

1 =n(n+1)(n+2+n-1) 2

11= n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n-1). 22证明:n3+

∵ 3!|n(n+1)(n+2), 且3!|n(n+1)(n-1)..

11n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n-1). 22

31即n3+n2+n是3的倍数. 22∴ 3|

(上两例关鍵在于创造连续整数)

例3. 求证:⑴ 33|255+1; ⑵ 2007|(20082008-20062006).

×证明:⑴ 255+1=2511+111=3211+111.

∵(32+1)|(3211+111 ) , 即33|255+1.

⑵ 20082008-20062006=20082008-20062008+20062008-20062006.(添两项)

∵(2008+2006)|(20082008-20062008).

即2007×2|(20082008-20062008).

∵ 20062008-20062006=20062006(20062-1)

=20062006(2006+1)(2006-1).

即 20082008-20062006=2007×2N+2007×20062006×2006. (N是整数)

∴ 2007|20082008-20062006.

例4 设n是正整数, 求证:7|(32n+1+2n+2).

证明:32n+1+2n+2=3×32n+4×2n=3×9 n+4×2 n+3×2n-3×2n (添两项)

=(4×2 n+3×2n)+(3×9 n-3×2n)

=(4+3)+3(9 n-2n)

=7×2 n+3(9-2)N . (N是整数)

∴7|(32n+1+2n+2)

(例3,4是设法利用乘法公式)

例5. 已知19xy87能被33整除,求x, y的值.

解:∵33=3×11,

∴1+9+x+y+8+7其和是3的倍数, 即x+y=3K-25 (k为整数).

又(1+x+8)-(9+y+7)其差是11的倍数,即x-y=11h+7(h是整数).

∵0≤x≤9, 0≤y≤9,

∴0≤x+y≤18,9≤x-y≤9,x+y>x-y, 且 x+y和x-y同是奇数或偶数.

符合条件的有??x?11?x?14?x?8或?或? . y?7y??4y??4???

?x?9?x?5?x?2或 或?解得?. ?y?2y?9y?6???

例6.设N=2x78,且17|N, 求 x..

解:N=2078+100x=17×122+4+17×6x-2x

=17×(122+6x)+4-2x.

∵ 17|N,

∴17|4-2x ,

当 4-2x=0.

∴ x=2.

丙练习44

1. 要使2n+1能被3整除,整数n应取___,若6|(5 n-1), 则整数n应取___.

2. 求证:

① 4!|(n4+2n3-n2-2n); ② 24|n(n2-1)(3n+2);

③ 6|(n3+11n); ④ 30|(n 5-n).

3. 求证:

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