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初中数学竞赛辅导资料—识图

发布时间:2013-11-21 08:03:40  

初中数学竞赛辅导资料—识图

一、内容提要

1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像

点:只表示位置,没有大小,不可再分。

线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。

面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。

4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。

二、例题

例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形?

E

解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。

乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC

丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O)

△AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个:

边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15

顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10

边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10

顶点在下▼的个数有 1+2=3

边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6

边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3

边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1

以上要注意数一数的规律

例2.设平面内有6个点A1,A2,A3,A4,A5,A6,其中任意3个点都不在同一直线上,如果每

两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。

(2008年全国初中数学联赛题)

解:从点A1与其他5点连线有5条,从点A2与其他4点(A1除外)连线有4条,从A3与其他3点连线有3条(A1,A2除外)……以此类推,6个点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2(因重复计算)。

要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线,共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A1A4,A2A5,A3A6 A5 A4

A3

A1 A2

例3.如图水平线与铅垂线相交于O,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速前进,当甲在O点时,乙离点O为500米,2分钟后,甲、乙离点O相等;又过8分钟,甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。

解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2

乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y

米,根据题意得

?2x?500?2y ?10x?10y?500?

解得12x=8y

∴x∶y=2∶3 1

乙0 答甲和乙的速度比是2比3。

例4.在三角形内(不在边上)有3个点,连同原三角形三个顶点,共6个点,以这6个点为顶点,作出所有不重迭的三角形共有几个?

(2008年全国初中数学联赛题)

解:如图△ABC中一个点D,与A,B,C各点连结可得3个不重迭的三角形;再增加1个点E,这时可连结不重迭的三角形共5个,再增加1个点F,又可增加2个不重迭的三角形,共有7个。

一般规律是每增加1个点,可增加不重迭的三角形2个

B D

B C B C

三、练习27

1. 数一数:甲图中有直角三角形__个,乙图中有等腰直角三角__个,丙图中有全等三

角形__对。

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