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初中数学竞赛辅导资料—三点共线

发布时间:2013-11-21 08:03:42  

初中数学竞赛辅导资料—三点共线

甲内容提要

1. 要证明A,B,C三点在同一直线上。

常用方法有:①连结AB,BC证明∠ABC是平角

②连结AB,AC证明AB,AC重合

③连结AB,BC,AC证明 AB+BC=AC

④连结并延长AB证明延长线经过点C

2. 证明三点共线常用的定理有:

① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半

⑤ 两圆相切,切点在连心线上

⑥ 轴对称图形中,若对应线段(或延长线)相交,则交点在对称轴上

乙例题

例1.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,点P是形内的任一点,PM⊥AB, PN⊥CD

求证:M,N,P三点在同一直线上 证明:过点P作EF∥AB, ∵AB∥CD,∴EF∥CD ∠1+∠2=180,∠3+∠4=180

∵PM⊥AB,PN⊥CD

∴∠1=90,∠3=90

∴∠1+∠3=180 ∴ M,N,P三点在同一直线上

例2.求证:平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点,三点在同一直线上 已知:平行四边形ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点,O是AC和BD的交点 求证:M,O,N三点在同一直线上

证明一:连结MO,NO

∵MO,NO分别是△DAB和△CAB的中位线 ∴MO∥AB,NO∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴ M,O,N三点在同一直线上

, 证明二:连结MO并延长交BC于N

∵MO是△DAB的中位线

,∴MO∥AB

在△CAB中

,∵AO=OC,ON∥AB

,,,∴BN=NC,即N是BC的中点

∵N也是BC的中点, ?????

∴点N和点N重合

∴ M,O,N三点在同一直线上

例3.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90?,M,N分别是AB和CD的中点,

BC,AD的延长线相交于P

求证:M,N,P三点在同一直线上

证明:∵∠A+∠B=90?,

∠APB=Rt∠

连结PM,PN 根据直角三角形斜边中线性质

PM=MA=MB,PN=DN=DC

∴∠MPB=∠B,∠NPC=∠B

∴PM和PN重合

∴M,N,P三点在同一直线上

例4.在平面直角坐标系中,点A关于横轴的对称点为B,关于纵轴的对称点是C,求证B

和C是关于原点O的对称点 Y

解:连结,OC

∵A,B关于X轴对称, A

∴OA=OB,∠BOX

同理OC=OA=∠COY

∴∠COY+∠BOX=90?, X

∴B,O,C 三点在同一直线上

∵OB=OC

∴ B和C是关于原点O的对称点 B

例5.已知:⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E,F。

求证:AE,AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例

证明:作⊙O1和⊙O2的直径AM,AN,连结AB,BM,BN

∵AM,AN分别是⊙O1和⊙O2的直径

∴∠ABM=Rt∠,∠ABN=Rt∠

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