haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学竞赛辅导资料—线段、角的相等关系

发布时间:2013-11-21 10:36:44  

初中数学竞赛辅导资料—线段、角的相等关系 甲内容提要

证明线段、角的相等,在直线形中,最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形,若没有现成的,则要引辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形,要充分利用已知条件中的对应相等关系,添引辅助线要有利于增加对应相等的元素,要注意总结辅助线的规律,观察两个三角形全等时的一般位置特点(如翻转、旋转、平移等)

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中,证明等角对等边。

2. 在两个三角形中,证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理

4.运用比例式证明相等:若xyxy? 则x=y;若?则x=y aayx

5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中,证明等边对等角。

2. 在两个三角形中,证明全等或相似。

3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等,内错角相等

③ 边分别互相平行(或垂直)的两个锐角(或两个钝角)相等

④ 角(或等角)的余角(或补角)相等

⑤ 用等量代换、等式性质

乙例题

例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”

已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠B

求证:AD=BC

下面提供三种基本证法:

1. 把BC、AD集中到同一个三角形,证它等腰三角形。

辅助线是:过点D作DE∥BC,我们称它为“平移”

∵BCDE是平行四边形,可证△DAE为等腰三角形

2. 以BC、AD为对应边,构造两个全等三角形,为增加对应相等的元素,辅助线为:作两条高CM和DN,根据夹在平行线间的平行线段相等,可用角角边证全等。

3. 由∠A=∠B,可造等腰三角形,运用比例式性质证明,辅助线是:分别延长AD和BC交于P。 P C

A E B A N M B A B

例2.已知:在梯形ABCD中,AB∥CD,AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P 求证:PO平分AB

证明:设PO延长线交AB于E,交CD于F

∵AB∥CD

DFPFCFCFCODF ∴ ==① ==② AEPEBEAEAOBE

DF?CFCF?DF?①×②得 AE2BE2E

∴AE2=BE2∵AE>0,BE>0

∴AE=BE,即PO平分AB 例3.已知:△ABC中,AC=3AB,AF是∠A的平分线,

过点C作CD⊥AF,D是垂足

求证:AD被BC平分

证明:以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE B

那么DE=DC,AE=AC=3AB,BE=2AB 取BE的中点G,连结DG E C

则DG∥BC,∵AB=BG D

∴AF=FD,即AD被BC平分

例4.已知:在△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM,和CAN,P是

边BC的中点

求证:PM=PN (2008年泉州市初二数学双基赛题)

证明:取AB中点Q,AC中点R 连结PQ,PR,MQ,NR

PQ∥AC,PQ=1AC=NR 2PR∥AB,PR=MQ

∠PQM=∠PRN(两边分别垂直) ∴△PQM≌△NRP, PM=PN

例5.已知:四边形ABCD中AD=BC,E,F分别是AB、CD的中点,

延长AD,BC和EF的延长线分别交于G,H

求证:∠AGE=∠BHE 证明:连结AC,取AC的中点P,连结PE,∵PE是△ABC的中位线,

1BC, 2

1同理PF∥AD,PF=AD 2∴PE∥BC,PE=

∴∠PEF=∠BHE,∠PFE=∠AGE

∵AD=BC,∴PE=PF,∠PEF=∠PFE

∴ ∠AGE=∠BHE B

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com