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初中数学竞赛辅导资料—线段的比、积、幂

发布时间:2013-11-21 10:36:46  

初中数学竞赛辅导资料—线段的比、积、幂 甲内容提要

一.有关线段的比、积、幂的主要定理

1. 比例的基本性质:ac??ad?bc 合比,等比定理(略) bd

2.

E

D

CDE∥BC?ADAE

?DBEC

BCOB?AB???AB?1

1B1C1

OB1 a∥b?

?OA?OB

??OA1OB1CBA3. 相似多边形性质:对应线段成比例,面积比等于相似比的平方

4. 直角三角形中成比例线段定理(射影定理)

?CD2=AD?BD??ACB=Rt???AC2=AD?AB ???2CD?AB??BC=BD?

ABB?

AB?CD=AC?BC?

5. 三角形内(外)角平分线性质 在△ABC中 ∠1=∠2?BDAB ?DCAC6. 若ABCD四点共圆, AB、CD交于P, B

则PA×PB=PC×PD

=PT2 (PT切圆于T)

7. 三角形、平行四边形面积公式(略)

8.正弦定理:在△ABC中,abc ??SinASinBSinC

二.要运用相似三角形证明线段的积、幂,一般应把积、幂先化为比例式,然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。

乙例题

例1. 过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线,分别与边BC,AD及AB的

延长线交于E,F,G求证:GO2=GEGF

证明:设DC,AB的延长线相交于H,

∵FG∥DH, GEHC从过点B的线束被平行线截得

?GOHD

GOHC从过点A的线束被平行线截得 ?GFHD

GEGO∴ 即GO2=

GEGF ?GOGF例2.已知:CD是Rt△ABC斜边上的高,角平分线AE交CD于F 求证:CE2=DF×BE

分析:要CE2=DF×BE成立,应证BE

CE ?CEDF

可证CE=CF(等角对等边)根据角平分线性质可得 BBEABCFAC, ??CEACDFAD

只要AC2=ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理

证明 (略)

例3.已知:△ABC中最大角A是最小角C的2倍,三边长是连续整数 求:△ABC的各边长

解:设AC为x, 则AB是x-1,BC为x+1 延长CA到D使AD=AB,连结BD,BA 则∠D=∠1 ∵∠BAC=∠1+∠D=2∠D, ∵∠BAC=2∠C, ∴∠1=∠D=∠C

∴等腰△ABD∽等腰△BCD

ABBDx?1x?1,,解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6 =?BCCDx?1x?x?1

( 本题也可作∠BAC的平分线AE,证明△EAB∽△ACB)

例4. 已知:⊙O和⊙O1相交于P,外公切线AB,A,B是切点,AP交⊙O于C,BP交⊙O1于D,CE和⊙O1切于点E

求证:CE=CB 证明:过点P作两圆公切线PQ交AB于Q 由切线长定理,得QP=QA=QB ∴△APB是Rt△,∠APB=Rt∠ ∴BC是⊙O的直径,BC⊥AB

根据射影定理,得BC2=CP×CA

∵CE切⊙O1于E,

D根据圆幂定理,得CE2=CP×CA

∴CE=CB

例5.正方形OPQR内接于△ABC,已知△AOR,△BOP,△CRQ面积是 S1=1,S2=3,S3=1。那么正方形OPQR的边长是( )

(A)2 (B)3 (C)2 (D)3 (2008年全国初中数学联赛题)

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