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初中数学竞赛辅导资料—线段、角的和差倍分

发布时间:2013-11-21 10:36:47  

初中数学竞赛辅导资料—线段、角的和差倍分 甲内容提要

证明线段、角的和,差,倍,分,常用两种方法:一是转化为证明线段或角的相等关系;一是用代数恒等式的证明方法。

一. 转化为证明相等的一般方法

㈠通过作图转化

1. 要证明一线段(角)等于两线段(角)的和(用截长补短法)

⑴分解法――把大量分成两部分,证它们分别等于两个小量

⑵合成法――作出两个小量的和,证它与大量相等

2. 要证明一线段(角)等于另一线段(角)的2倍

⑴折半法――作出大量的一半,证它与小量相等

⑵加倍法――作出小量的2倍,证它与大量相等

㈡应用有关定理转化

1. 三角形中位线等于第三边的一半,梯形中位线等于两底和的一半

2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半

3. 直角三角形中,含30度的角所对的直角边等于斜边的一半

4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍

6. 三角形的重心(各中线的交点)分中线为2∶1

7. 有关比例线段定理

二. 用代数恒等式的证明

1. 由左证到右或由右证到左

2. 左右两边分别化简为同一个第三式

3. 证明左边减去右边的差为零

4. 由已知的等式出发,通过恒等变形,到达求证的结论

乙例题

例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高

求证:DC=AB+BD

分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。

∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C

辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。

分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。

仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。

为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得

∠ABD=2∠F=2∠C。

A

C

DBBDFC

例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于

O,垂足是M,N

求证:AH=2MO, BH=2NO 证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)

连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG

则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO ∴四边形AGBH是平行四边形,

∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO

证明二:(折半法――作出AH,BH

分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN

1

则FG=MN=AB,FG∥MN∥AB

2

又∵OM∥AD,

∴∠OMN

=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等) 同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……

例3. 已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点 求证:∠

DCE=2∠BCF

分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。

我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG

)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。

辅助线如图,证明(略)自己完成

G

例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,

求证:∠BIC=90+

?

1

∠A 2

?

证明一:(由左到右)

∠BIC=180-(∠1+∠2)=180-

1

(∠ABC+∠ACB) 2

11?

=180-(∠ABC+∠ACB+∠A)+∠A

22

1?

=90+∠A

2

?

证明二:(左边-右边=0) 1?

∠BIC-(90+∠A)

2

=180-

?

11?

(∠ABC+∠ACB)-90-∠A 22

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