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初中数学竞赛辅导资料—证明

发布时间:2013-11-21 12:46:34  

11初中数学竞赛辅导资料—型如1??的证明 abc

甲内容提要 型如111??的证明,通常是证明它的等价命题 abc

第一种 转化为线段的比例式

111cccb?ca?bb?????1(1)??(2)??(3) abcababac

(1) 可证mncb, 和两个同分母的分式分别相等,例如, ppaa

当m+n=p 时等式成立

(2)可证明 c,a,b-c,b 四条线段成比例,关鍵是作出b-c的差

(3)可证明 a+b,a,b,c四条线段成比例,关鍵是作出a+b的和

第二种 转化为线段的乘积式

111???bc+ac=ab(4) abc

(4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积

乙例题

例1. 已知:在梯形ABCD中,AB∥CD,O是AC和BD的交点,OE∥AB交BC

于有E 111 ??ABCDOE

111OEOE分析:????1 ?ABCDOEABCDOEOECEBE证明,分别和,相等即可(下略) ABCDBCBC求证:

例2.

求证:?B已知:在△ABC中,∠ACB=120,CD是角平分线 111 ??CACBCD

分析一: 111CA?CBCB ????CACBCDCACD

分析二:B延长AC到E,使CE=CB,可证△BCE为等边,BE∥CCD 111CDCB?

CD=???CACACBCDCB

DB在CB上截取CE=CD, 可证△CDE为等边三角形,DE∥CA

分析三:111???CA×CD+CB×CD=CA×CB CACBCD

可由S△CAD+S△CBD=S△CAB证得

证明:∵S△CAD+S△CBD=S△CAB

∴111CA×CDSin∠ACD+CB×CDSin∠BCD=CA;x CBSin∠ACB 222C

∵Sin120?=Sin60?,

∴CA×CD+CB×CD=CA×CB ∴111 ??CACBCD

例3.

求证:B已知:△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4 1?AB

1分析:?AB11 ?ACBC11BCBCBCAC?BC ???1???ACBCABACABAC

BCAD在AC上取CD=BC,证明 即可,要创造相似三角形,作角平分线CE,?ABAC

连结DE,得△ACE∽△ABC,再证CE=DE=AD

证明:在AC上取CD=BC,作角平分线CE,连结DE

显然△CDE≌△CBE,∠DCE=∠BCE

∠CDE=∠B=2α, ∵∠A=α,∴∠DEA=α

∴CE=ED=DA

∵△ACE∽△ABC, EB

CEACADACAC?CDAC,, ???BCABBCABBCAB

AC?BCAC, ?BCAB

AC?BCBCBCBC, 1 - ??ACABACAB

111∴ ??ABACBC∴

例4. 已知:点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比

即AC∶CB=AD∶DB=κ(称C,D调和分割AB)

112 ??ACADAB

112ABAB分析: ????2 ?ACADABACAD

ABAB ?1?1?? ACAD

AB?ACAD?AB ?? ACAD

CBDB ??ACAD

ACAD=κ ??CBDB 求证:CD

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