haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学竞赛精品标准教程及练习52:换元法

发布时间:2013-11-22 08:34:37  

初中数学竞赛精品标准教程及练习(52)

换元法一、内容提要

1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.

2. 换元的目的是化繁为简,化难为易,沟通已知和未知的联系.

例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.

3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验.

4. 解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换.

倒数方程的特点是:按未知数降幂排列后,与首、末等距离的项的系数相等.例如:一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.5.

11)+b(x+)+c=0.2xx11设x+=y, 那么x2+2= y2-2, xx两边都除以x2,得a(x2+

原方程可化为ay2+by+c-2=0.

对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, 必有一个根是-1.原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.

ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这是四次倒数方程.

形如 ax4-bx3+cx2+bx+a=0 的方程,其特点是:

与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等,奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x2, 可化为a(x2+ )11-b(x-)+c=0. x2x

=y2+2, 设x-11=y, 则x2+ 2xx原方程可化为 ay2-by+c+2=0.

二、例题

例1. 解方程x?1?

解:设x?1?x?1?x2?1=x.x?1=y, 那么y2=2x+2x2?1.

原方程化为: y-12y=0 .2

解得 y=0;或y=2.

当y=0时,

当y=2时, x?1?x?1=0 (无解) x?1?x?1=2, 1

解得,x=5. 检验(略).4

例2. 解方程:x4+(x-4)4=626.

解:(用平均值x?x?4 代换,可化为双二次方程.)2

设 y= x-2 ,则x=y+2.

原方程化为 (y+2)4+(y-2)4=626.

[((y+2)2-(y-2)2)2+2(y+2)2(y-2)2-626=0

整理,得 y4+24y2-297=0. (这是关于y的双二次方程).

(y2+33)(y2-9)=0.

当y2+33=0时, 无实根 ;

当y2-9=0时, y=±3.

即x-2=±3,

∴x=5;或x=-1.

例3. 解方程:2x4+3x3-16x2+3x+2=0 .

解:∵这是个倒数方程,且知x≠0,

11)+3(x+)-16=0. 2xx11 设x+=y, 则x2+2=y2-2. xx两边除以x2,并整理 得2(x2+

原方程化为 2y2+3y-20=0.

解得 y=-4;或y=5. 2

由y=-4得 x=-2+3;或x=-2-.

由y=2.5得 x=2;或x=1. 2

22??2x?5xy?2y?x?y?1?0例4 解方程组?2 2??x?4xy?y?12x?12y?10?0

解:(这个方程组的两个方程都是二元对称方程,可用基本对称式代换.) 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为:

2?u?????u?4?2u?u?v?1?0?3. 解得?; 或?. ?2??v??37?u?12u?2v?10?0?v?11

?9?2

2?x?y????x?y?4?3即? ; 或? . xy??3711??xy??9?

2

???1?23?1?2x???x??????x?2?41?x?2?4133解得:?;或?;或?;或?. ???y??1?23?y??1?2?y?2?41?y?2?41??33??

三、练习52

解下列方程和方程组:(1到15题): 1. x?x?7?2x(x?7)?35-2x.

2. (16x2-9)2+(16x2-9)(9x2-16)+(9x2-16)2=(25x2-25)2.

3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 . 4. (2x2-x-6)4+(2x2-x-8)4=16.

5. (2x?1?1)4+(2x?1?3)4=16.

6. x132?x?=. 7. 2x4-3x3-x2-3x+2=0. 2x2x?1

?11122?x?y?x?y?18?x?y?3?8. ?2 9. ?. 2??x2?y2?160?x?y?xy?19?

10. 743. ??x2?6x?4x2?6x?9x2?6x?5

11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.

?xy5????x?1?y?1?5?12. ?. 13. ?yx2. ??x?y?13?x?y?10?

?1?x??x?y?3?314. ?. 15 y

?2?y?2xy?8y?1?0x?11???x. xx

16. 分解因式: ①(x+y-2xy)(x+y-2)+(1-xy)2; ②a4+b4+(a+b)4 .

17. 已知:a+2=b-2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.

则a=___,b= ____,c=_____,d=____

18. [a]表示不大于a的最大整数,如[2]=1,[-2]=-2,

那么 方程 [3x+1]=2x-

练习52参考答案: 1 的所有根的和是_____. 2

3

29234531?211311. 2. ±± 3. - 4. 2,-, 5. ,-244322323212

?x?2?x?3?1?x??2???x??2?76. 1 7.,2 8.? ???2?y?3?y?2??y??2?7??y??2?7

?x?4?x?12??x??5???x??5?9. ? ???y?12y?4????y??5???y??5?55

10. 7,-1 11.-?x?8?x?3?x?8?x?225,- 12.? 13. ???y?5y?10y?2y?833????

?x?3?x?5?1?5?x?4???x?4?14. ? 15. x= ???2y?1y??1????y?3???y?3?16.①设x+y=a,xy=b ②设a2+b2=x,ab=y

17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x-

111=t, x=t+代入[3x+1] 224

4

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com