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初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑶

发布时间:2013-11-22 08:34:40  

初一数学竞赛讲座

第3讲 奇偶分析

我们知道,全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类,被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数,后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质,比如,奇数≠偶数,奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质,加上正确的分析推理,可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析,善于运用奇偶分析,往往有意想不到的效果。

例1 右表中有15个数,选出5个数,使它们

的和等于30,你能做到吗?为什么?

分析与解:如果一个一个去找、去试、去算,

那就太费事了。因为无论你选择哪5个数,它们的

和总不等于30,而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解,因为奇数个奇数之和仍是奇数,表中15个数全是奇数,所以要想从中找出5个使它们的和为偶数,是不可能的。

例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本,并依次将它的各面编号(即由第1面一直编到第192面)。小丽从该练习本中撕下其中25张纸,并将写在它们上面的50个编号相加。试问,小丽所加得的和数能否为2000?

解:不能。

由于每一张上的两数之和都为奇数,而25个奇数之和为奇数,故不可能为2000。 说明:“相邻两个自然数的和一定是奇数”,这条性质几乎是显然的,但在解题过程中,能有意识地运用它却不容易做到,这要靠同学们多练习、多总结。

例3 有98个孩子,每人胸前有一个号码,号码从1到98各不相同。试问:能否将这些孩子排成若干排,使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和?并说明理由。

解:不能。

如果可以按要求排成,每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和,那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍,是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数,但是这98个数的总和为

1+2+?+98=99×49,是个奇数,矛盾!所以不能按要求排成。

例4 如右图,把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

问:有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?

请说明理由。

解:不可能。

如果每条直线上的红圈数都是奇数,而五角星有五

条边,奇数个奇数之和为奇数,那么五条线上的红圈共

有奇数个(包括重复的)。从另一个角度看,由于每个 圆圈是两条直线的交点,则每个圆圈都要计算两次,因

此,每个红圈也都算了两次,总个数应为偶数,得出矛盾。所以,不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。

说明:上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量,而引出矛盾的。

1

例5 有20个1升的容器,分别盛有1,2,3,?,20厘米水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)。问:在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水? 解:不可能。

在倒水以后,含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以(偶,偶)(偶,奇)(奇,奇)来表示两个分别盛有偶数及偶数,偶数及奇数,奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下,在倒水后,(偶,偶)仍为(偶,偶);而(偶,奇)会成为(偶,奇)或(奇,偶);(奇,奇)却成为(偶,偶)。在任何情况下,盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。

因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水,所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。

例6 一个俱乐部里的成员只有两种人:一种是老实人, 永远说真话;一种是骗子,永远说假话。某天俱乐部的全 体成员围坐成一圈,每个老实人两旁都是骗子,每个骗子 两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三: “俱乐部里共有多少成员?”张三答:“共有45人。” 另一个成员李四说:“张三是老实人。”请判断李四是老

实人还是骗子?

分析与解:根据俱乐部的全体成员围坐一圈,每个老实人两旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人的条件,可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等,也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数,这说明张三是骗子,而李四说张三是老实人,说了假话,所以李四也是骗子。

说明:解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等,这里实质上利用了对应的思想。 类似的问题是:

围棋盘上有19×19个交叉点,现在放满了黑子与白子,且黑子与白子相间地放,并使黑子(或白子)的上、下、左、右的交叉点上放着白子(或黑子)。问:能否把黑子全移到原来的白子的位置上,而白子也全移到原来黑子的位置上? 提示:仿例6。答:不能。

例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛,竞赛题共30道,评分标准是基础分15分,答对一道加5分,不答记1分,答错一道倒扣1分。问:所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数?

解:对每个参赛同学来说,每题都答对共可得165分,是奇数。如答错一题,就要从165分中减去6分,不管错几道,6的倍数都是偶数,165减去偶数,差还是奇数。同样道理,如有一题不答,就要减去4分,并且不管有几道题不答,4的倍数都是偶数,因此,从总分中减去的仍是偶数,所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数,故99名同学得分总和一定是奇数。

例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果,最少要分成多少堆(每堆都有苹果、梨和桔子三种水果),才能保证找得到这样的两堆,把这两堆合并后这三种水 果的个数都是偶数。

分析与解:当每堆都含有三种水果时,三种水果的奇偶情况如下表:

3

2

可见,三种水果的奇偶情况共有8种可能,所以必须最少分成9堆,才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同,把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。

说明:这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来,使问题一目了然。

例9 有30枚2分硬币和8枚5分硬币,5角以内共有49种不同的币值,哪几种币值不能由上面38枚硬币组成?

解:当币值为偶数时,可以用若干枚2分硬币组成;

当币值为奇数时,除1分和3分这两种币值外,其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成,所以5角以下的不同币值,只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。

说明:将全体整数分为奇数与偶数两类,分而治之,逐一讨论,是解决整数问题的常用方法。

若偶数用2k表示,奇数用2k+1表示,则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下: 当币值为偶数时,2k说明可用若干枚2分硬币表示;

当币值为奇数时,2k+1=2(k-2)+5,

其中k≥2。当k=0,1时,2k+1=1,3。1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成,而其他币值均可由2分和5分硬币组成。

例10 设标有A,B,C,D,E,F,G的7盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个开关。现在A,C,D,G这4盏灯亮着,其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关,即从A到G,再从A开始顺次拉动开关,他这样拉动了999次开关后,哪些灯亮着,哪些灯没亮?

解:一盏灯的开关被拉动奇数次后,将改变原来的状态,即亮的变成熄的,熄的变成亮的;而一盏灯的开关被拉动偶数次后,不改变原来的状态。由于999=7×142+5,

因此,灯A,B,C,D,E各被拉动143次开关,灯F,G各被拉动142次开关。所以,当小华拉动999次后B,E,G亮,而A,C,D,F熄。

例11 桌上放有77枚正面朝下的硬币,第1次翻动77枚,第2次翻动其中的76枚,第3次翻动其中的75枚??第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬币,能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上?说明你的理由。

分析:对每一枚硬币来说,只要翻动奇数次,就可使原先朝下的一面朝上。这一事实,对我们解决这个问题起着关键性作用。

解:按规定的翻动,共翻动1+2+?+77=77×39次,平均每枚硬币翻动了39次,这是奇数。因此,对每一枚硬币来说,都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到:

77×39=77+(76+1)+(75+2)+?+(39+38),

根据规定,可以设计如下的翻动方法:

第1次翻动77枚,可以将每枚硬币都翻动一次;第2次与第77次共翻动77枚,又可将每枚硬币都翻动一次;同理,第3次与第76次,第4次与第75次??第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了39次,都由正面朝下变为正面朝上。

说明:(1)此题也可从简单情形入手(如9枚硬币的情形),按规定的翻法翻动硬币,从中获得启发。

(2)对有关正、反,开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。

例12 在8×8的棋盘的左下角放有9枚棋子,组成一个3×3的正方形(如左下图)。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格,即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动,可以横跳、竖跳或沿着斜线跳(如右下图的1号棋子可以跳到2,3,4号位置)。问:这些棋子能否跳到棋盘的右上角(另一个3×3的正方形)?

3

解:自左下角起,每一个方格可以用一组数(行标、列标)来表示,(自下而上)第i行、(自左而右)第j列的方格记为(i,j)。问题的关键是考虑9枚棋子(所在方格)的列标的和S。

一方面,每跳一次,S增加0或偶数,因而S的奇偶性不变。另一方面,右上角9个方格的列标的和比左下角9个方格的列标之和大

3×(6+7+8)-3×(1+2+3)=45,

这是一个奇数。

综合以上两方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那个3×3的正方形里。

奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法,在数学中有广泛的应用,是处理存在性问题的有力工具,本讲所举例题大多属于这类问题。这种方法具有很强的技巧性,尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了,只须依据奇偶数的性质,分析这个量的奇偶特征,问题便迎刃而解;选不好,事倍功半。同学们应认真领会本讲所举例题,以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。

练习3

1.下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?

□+□=□ □-□=□

□×□=□ □÷□=□

2.任意取出1234个连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数?

3.一串数排成一行,它们的规律是:前两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和。如右所示:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,?

试问:这串数的前100个数(包括第100个数)中,有多少个偶数?

4.能不能将1010写成10个连续自然数之和?如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。

5.能否将1至25这25个自然数分成若干组,使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?

6.在象棋比赛中,胜者得1分,败者扣1分,若为平局,则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛,每两人都赛一局。现知,其中有一位学生共得7分,另一位学生共得20分,试说明,在比赛过程中至少有过一次平局。

7.在黑板上写上1,2,?,909,只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a,b,并写上a-b(其中a≥b)。问:最后黑板上剩下的是奇数还是偶数?

8.设a1,a2,?,a64是自然数1,2,?,64的任一排列,令b1=a1-a2,b2=a3-a4,?,b32=a63-a64;

c1=b1-b2,c2=b3-b4,?,c16=b31-b32;

d1=c1-c2,d2=c3-c4,?,d8=c15-c16;

??

这样一直做下去,最后得到的一个整数是奇数还是偶数?

练习3答案:

4

1.至少有6个偶数。

2.奇数。解:1234÷2=617,所以在任取的1234个连续自然数中,奇数的个数是奇数,奇数个奇数之和是奇数,所以它们的总和是奇数。

3.33。提示:这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环。

4.不能。

如果1010能表示成10个连续自然数之和,那么中间2个数的和应当是1010÷5=202。但中间 2个数是连续自然数,它们的和应是奇数,不能等于偶数202。所以,1010不能写成10个连续自然数之和。

5.不能。提示:仿例3。

6.证:设得7分的学生胜了x1局,败了y1局,得 20分的学生胜了x2局,败了y2局。由得分情况知:

x1-y1=7,x2-y2=20。

如果比赛过程中无平局出现,那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2,即x1+y1+x2+y2是偶数。另一方面,由x1-y1=7知x1+y2为奇数,由x2-y2=20知x2+y2为偶数,推知x1+y1+x2+y2为奇数。这便出现矛盾,所以比赛过程中至少有一次平局。

7.奇数。解:黑板上所有数的和S=1+2+?+909是一个奇数,每操作一次,总和S减少了a+b-(a-b)=2b,这是一个偶数,说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数,因此终止时S仍是一个奇数。

8.偶数。

解:我们知道,对于整数a与b,a+b与a-b的奇偶性相同,由此可知,上述计算的第二步中,32个数

a1-a2, a3-a4,?,a63-a64,

分别与下列32个数

a1+a2, a3+a4,?,a63+a64,

有相同的奇偶性,这就是说,在只考虑奇偶性时,可以用“和”代替“差”,这样可以把原来的计算过程改为

第一步:a1,a2,a3,a4,?,a61,a62,a63,a64;

第一步:a1+a2,a3+a4,?,a61+a62,a63+a64;

第三步:a1+a2+a3+a4,?,a61+a62+a63+a64;

??

最后一步所得到的数是a1+a2+?+a63+a64。由于a1,a2,?,a64是1,2,?,64的一个排列,因此它们的总和为1+2+?+64是一个偶数,故最后一个整数是偶数。

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