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初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾

发布时间:2013-11-22 08:34:41  

初一数学竞赛讲座

第11讲 染色和赋值

染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言,染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题,一般地都可以用赋值方法来解,只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些,我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值,然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。

一、染色法

将问题中的对象适当进行染色,有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样,我们可以把被研究的对象染上不同的颜色,许多隐藏的关系会变得明朗,再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决,这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有:点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1 用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片(如下图所示),能否覆盖一个8×8的棋盘?

解:如下图,将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘,那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个,但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格,而1和3都是奇数,因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数;又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格,从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数,这与32是偶数矛盾,因此,用它们不能覆盖整个棋盘。

例2 如左下图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?

1

解:甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。显然,在27个小正方体中,14个是黑的,13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发,每走一步,方格就改变一种颜色。故它走27步,应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体,甲虫进去过两次。由此可见,如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次,那么甲虫不能走遍所有的小正方体。

例3 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由。

解:如下图,对8×8的棋盘染色,则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格,每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数,但图中的黑格数为32,是一个偶数,故这种剪法是不存在的。

例4 在平面上有一个27×27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被摆成一个9×9的正方形。按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这枚棋子取出来。问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 解:如下图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则,每走一步,有两部分中的棋子数各减少了一个,而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步,每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。

因为一开始时,81个棋子摆成一个9×9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,故每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。

如果在走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分的棋子数为奇数,这种结局是不可能的,即不存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。

例5 图1是由数字0,1交替构成的,图2是由图1中任

减1,如此反复

多次形成的。问:图2中的A格上的数字是多少?

2

解:如左下图所示,将8×8方格黑白交替地染色。

此题允许右上图所示的6个操作,这6个操作无论实行在哪个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和,与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等,都等于32,由(31+A)-32=32,得出A=33。

例6 有一批商品,每件都是长方体形状,尺寸是1×2×4。现在有一批现成的木箱,内空尺寸是6×6×6。问:能不能用这些商品将木箱填满?

解:我们用染色法来解决这个问题。先将6×6×6的木箱分成216个小正方体,这216个小正方体,可以组成27个棱长为2的正方体。我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色(如下图)。

容易计算出,有14个黑色的,有13个白色的。现在将商品放入木箱内,不管怎么放,每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间,而且其中黑、白色的必须各占据4个。现在白色的小正方体共有8×13=104(个),再配上104个黑色的小正方体,一共可以放26件商品,这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等,但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。

例7 6个人参加一个集会,每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明:存在两个“三人组”,在每一个“三人组”中的三个人,或者互相认识,或者互相不认识(这两个“三人组”可以有公共成员)。

3

证明:将每个人用一个点表示,如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段,否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。

设这六个点为A,B,C,D,E,F。我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A点引出的五条线段AB,AC,AD,AE,AF,其中必然有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB,AC,AD同为红色。再考虑△BCD的三边:若其中有一条是红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则存在一个蓝色三角形。

下面再来证明有两个同色三角形:不妨设△ABC的三条边都是红色的。若△DEF也是三边同为红色的,则显然就有两个同色三角形;若△DEF三边中有一条边为蓝色,设其为DE,再考虑DA,DB,DC三条线段:若其中有两条为红色,则显然有一个红色三角形;若其中有两条是蓝色的,则设其为DA,DB。此时在EA,EB中若有一边为蓝色,则存在一个蓝色三角形;而若两边都是红色,则又存在一个红色三角形。

故不论如何涂色,总可以找到两个同色的三角形。

二、赋值法

将问题中的某些对象用适当的数表示之后,再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式有:对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。

例8 一群旅游者,从A村走到B村,路线如下图所示。怎样走才能在最短时间内到达B村?图中的数字表示走这一段路程需要的时间(单位:分)。

解:我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边,从左到右,一一标注,如下图所示。

由此不难看出,按图中的粗黑线走就能在最短时间(60分钟)内从A村走到B村。

4

例9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问:有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由。

解:假设题中所设想的染色方案能够实现,那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线,把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来,得到的总和数仍应是一个奇数。但是,由观察可见,图中每个点都恰好同时位于两条直线上,在求上述总和数时,代表各点的数字都恰被加过两次,所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾,说明假设不成立,染色方案不能实现。

例10 平面上n(n≥2)个点A1,A2,?,An顺次排在同一条直线上,每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知A1和An涂上的颜色不同。证明:相邻两点间连接的线段中,其两端点不同色的线段的条数必为奇数。

证明:赋予黑点以整数值1,白点以整数值2,点Ai以整数

值为ai,当Ai为黑点时,ai=1,当Ai为白点时,ai=2。再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1,则两端同色的线段具有的整数值为2或4,两端异色的线段具有的整数值为3。

所有线段对应的整数值的总和为

(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+?+(an-1+an)

=a1+an+2(a2+a3+?+an-1)

=2+1+2(a2+a3+?+an-1)=奇数。

设具有整数值2,3,4的线段的条数依次为l,m,n,则

2l+m+4n=奇数。

由上式推知,m必为奇数,证明完毕。

例11 下面的表1是一个电子显示盘,每一次操作可以使某一行四个字母同时改变,或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序,每个英文字母变成它的下一个字母(即A变成B,B变成C??Z变成A)。问:能否经过若干次操作,使表1变为表2?如果能,请写出变化过程,如果不能,请说明理由。

S O B R K B D S

T Z F P H E X G

H O C N R T B S

A D V X C F Y A

表1 表2

解:不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替(即A用1,B用2??Z用26代替)。这样表1和表2就分别变成了表3和表4。

每一次操作中字母的置换相当于下面的置换:

1→2,2→3,?,25→26,26→1。

19 15 2 18

20 26 6 16

5

8 15 3 14

1 4 22 24

表3

11 2 4 19

8 5 24 7

18 20 2 19

3 6 25 1

表4

容易看出,每次操作使四个数字改变了奇偶性,而16个数字的和的奇偶性没有改变。因为表3中16个数字的和为213,表4中16个数字的和为174,它们的奇偶性不同,所以表3不能变成表4,即表1不能变成表2。

例12 如图(1)~(6)所示的六种图形拼成右下图,如果图(1)必须放在右下图的中间一列,应如何拼?

解:把右上图黑、白相间染色(见上图)。其中有11个白格和10个黑格,当图形拼成后,图形(2)(4)(5)(6)一定是黑、白各2格,而图形(3)必须有3格是同一种颜色,另一种颜色1格。因为前四种图形,黑、白已各占2×4=8(格),而黑格总共只有10格,所以图形(3)只能是3白1黑。由此知道图(1)一定在中间一列的黑格,而上面的黑格不可能,所以图(1)在中间一列下面的黑格中。

那么其它图形如何拼呢?为了说明方便,给每一格编一个数码(见左下图)。

因为图(3)是3白1黑,所以为使角上不空出一格,它只能放在(1,3,4,

5)或(7,12,13,17)或(11,15,16,21)这三个位置上。

若放在(1,3,4,5)位置上,则图(6)只能放在(7,12,13,18)或(15,16,19,20)或(2,7,8,13)这三个位置,但是前两个位置是明显不行的,否则角上会空出一格。若放在(2,7,8,13)上,则图(2)只能放在(12,17,18,19)位置上,此时不能同时放下图(4)和图(5)。

若把图(3)放在(7,12,13,17)位置上,则方格1这一格只能由图(2)或图(6)来占据。如果图(2)放在(1,2,3,4),那么图(6)无论放在何 6

处都要出现孤立空格;如果把图(6)放在(1,4,5,10),那么2,3这两格放哪一图形都不合适。

因此,图形(3)只能放在(11,15,16,21)。其余图的拼法如右上图。

练习11

1.中国象棋盘的任意位置有一只马,它跳了若干步正好回到原来的位置。问:马所跳的步数是奇数还是偶数?

2.右图是某展览大厅的平面图,每相邻两展览室之间都有门相通。今有人想从进口进去,从出口出来,每间展览厅都要走到,既不能重复也不能遗漏,应如何走法?

3.能否用下图中各种形状的纸片(不能剪开)拼成一个边长为99的正方形(图中每个小方格的边长为1)?请说明理由。

4.用15个1×4的长方形和1个2×2的正方形,能否覆盖8×8的棋盘?

5.平面上不共线的五点,每两点连一条线段,并将每条线段染成红色或蓝色。如果在这个图形中没有出现三边同色的三角形,那么这个图形一定可以找到一红一蓝两个“圈”(即封闭回路),每个圈恰好由五条线段组成。

6.将正方形ABCD分割成n个相等的小正方格,把相对的顶点A,C染成红色,B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一。试说明:恰有三个顶点同色的小方格的数目是偶数。

7.已知△ABC内有n个点,连同A,B,C三点一共(n+3)个点。以这些点为顶点将△ABC分成若干个互不重叠的小三角形。将A,B,C三点分别染成红色、蓝色和黄色。而三角形内的n个点,每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一。问:三个顶点颜色都不同的三角形的个数是奇数还是偶数?

8.从10个英文字母A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z中任意选5个字母(字母允许重复)组成一个“词”,将所有可能的“词”按“字典顺序”(即英汉辞典中英语词汇排列的顺序)排列,得到一个“词表”:

AAAAA,AAAAB,?,AAAAZ,

AAABA,AAABB,?,ZZZZY,ZZZZZ。

设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间(这两个词除外)的“词”的个数是k,试写出“词表”中的第k个“词”。

练习11答案:

1.偶数。

解:把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色(图略)。马如从黑点出发,一步只能跳到白点,下一步再从白点跳到黑点,因此,从原始位置起相继经过:白、黑、白、黑??要想回到黑点,必须黑、白成对,即经过偶数步,回到原来的位置。

2.不能。 2

7

解:用白、黑相间的方法对方格进行染色(如图)。若满足题设要求的走法存在,必定从白色的展室走到黑色的展室,再从黑色的展室走到白色的展室,如此循环往复。现共有36间展室,从白色展室开始,最后应该是黑色展室。但右图中出口处的展室是白色的,矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。

3.不能。

解:我们将 99×99的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色,使每两个相邻的方格颜色不同,由于 99×99为奇数,两种颜色的方格数相差为1。而每一种纸片中,两种颜色的方格数相差数为0或3,如果它们能拼成一个大正方形,那么其中两种颜色之差必为3的倍数。矛盾!

4.不能。

解:如图,给8×8的方格棋盘涂上4种不同的颜色(用数字1,2,3,4表示)。显然标有1,2,3,4的小方格各有16个。每个1×4的长方形恰好盖住标有1,2,3,4的小方格各一个,但一个2×2的正方形只能盖住有三种数字的方格,故无法将每个方格盖住,即不可能有题目要求的覆盖。

5.证:设五点为A,B,C,D,E。考虑从A点引出的四条线段:如果其中有三条是同色的,如AB,AC,AD同为红色,那么△BCD的三边中,若有一条是红色,则有一个三边同为红色的三角形;若三边都不是红色,则存在一个三边同为蓝色的三角形。这与已知条件是矛盾的。

所以,从A点出发的四条线段,有两条是红色的,也有两条是蓝色的。当然,从其余四点引出的四条线段也恰有两条红色、两条蓝色,整个图中恰有五条红色线段和五条蓝色线段。

下面只看红色线段,设从A点出发的两条是AB,AE。再考虑从B点出发的另一条红色线段,它不应是BE,否则就有一个三边同为红色的三角形。不妨设其为BD。再考虑从D点出发的另一条红色线段,它不应是DE,否则从C引 8

出的两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形,故它是DC。最后一条红色线段显然是CE。这样就得到了一个红色的“圈”:

A→B→D→C→E→A。

同理,五条蓝线也构成一个“圈”。

6.证:将红点赋值为0,蓝点赋值为1。再将小方格四顶点上的数的和称为这个小方格的值。若恰有三顶点同色,则该小方格的值为奇数,否则为偶数。在计算所有n2个小方格之值的和时,除A,B,C,D只计算一次外,其余各点都被计算了两次或四次。因为A,B,C,D四个点上的数之和是偶数,所以n2个小方格之值的和是偶数,从而这n2个值中有偶数个奇数。

7.奇数。

解:先对所有的小三角形的边赋值:边的两端点同色,该线段赋值为0,边的两端点不同色,该线段赋值为1。

然后计算每个小三角形的三边赋值之和,有如下三种情况:

(1)三个顶点都不同色的三角形,赋值和为3;

(2)三个顶点中恰有两个顶点同色的三角形,赋值和为2;

(3)三个顶点同色的三角形,赋值和为0。

设所有三角形的边赋值总和为S,又设(1)(2)(3)三类小三角形的个数分别为a,b,c,于是有

S=3a+2b+0c=3a+2b。(*)

注意到在所有三角形的边赋值总和中,除了AB,BC,CA三条边外,都被计算了两次,故它们的赋值和是这些边赋值和的2倍,再加上△ABC的三边赋值和3,从而S是一个奇数,由(*)式知a是一个奇数,即三个顶点颜色都不同的三角形的个数是一个奇数。

8.EFFGY。

解:将A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z分别赋值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,则

CYZGB=28961,_XEFDA=74530。

在28961与74530之间共有74530-28961-1=45568(个)数,词表中第45568个词是EFFGY。

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