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2013年数学竞赛讲义——李建泉

发布时间:2013-11-22 09:38:21  

李建泉老师数学讲义-竞赛代数

竞赛代数

1.证明若正实数a,b,c满足ab+bc+ca≤

1,则a+b+c+≥8abc?

11??1++?。 222

?a+1b+1c+1?

2.设x,y,z是正实数,证明

yzxyzx1

++≤。

z2+zx+x2+6y2y2+yz+z2+6x2x2+xy+y2+6z23

3.对于任意正实数x,y,z,证明

(

x+y(

y+z+(

z+x≥4(xy+yz+zx)。

4. 已知正实数x,y,z满足x+

y+z=

18xyz,证明

+

2x2+xy

2

≥1。

2y2+yz+x

2

5. 已知x,y,

z

是正实数,证明

(

y+

z

)(z+

)(x+

2z2+zx+y

)

2

≥1。

6.已知a,b,c,d是正实数,证明

a?bb?cc?dd?a

+++≥0。 b+cc+dd+aa+b

7.证明对于正整数n≥2和正实数x1,x2,??,xn,有

?x13?x23x23?x33xn3?x13?222

++??+4??≤(x1?x2)+(x2?x3)+??+(xn?x1)。 x2+x3xn+x1??x1+x2

8.设正整数n≥2,实数a1,a2,??,an满足a1+a2+??+an=n,证明

2

2

2

1n

。 ≤∑21≤i<j≤nn?aiaj

9.设实数a,b满足0<

a<b,证明

(1)≤

x+y+z(2)≤a+b,其中x,y,z∈

[a,b];

3

???x+y+z???。 +∈x,y,za,b[]??=?a+b?3????

10.设正实数a,b,c满足ab+bc+

ca

=

1

++。 bccaab

11.已知正整数n≥3,证明对于任意n个不全相同的实数对(x1,y1),(x2,y2),??,(xn,yn),有

∑(xy

i

i=1

n

i+1

?xi+1yi)

22

nxny??????jj

≤∑??xi?∑?+?yi?∑??。 i=1??j=1n?j=1n?????n

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李建泉老师数学讲义-竞赛代数

12.设x,y,z,w为正实数,实数α,β,γ,θ满足α+β+γ+θ=(2k+1)π,k∈??,证明

xsinα+ysinβ+zsinγ+wsinθ≤。 13.设x,y,z为正实数,A,B,C为Δ

ABC的三个内角,求证

xsinA+ysinB+zsinC≤1。 (xy+yz+zx2

14.设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1,点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证(ay1+by2+cy3+dy4)+(ax4+bx3+cx2+dx1)22?a2+b2c2+d2?≤2?+?。 abcd??

15.已知正实数x,y,z满足x+y+z

=

1,证明1<3≤。 2

16.已知正实数x,y,z满足x+y+z

=

1+≥。 17.已知x,y,z是正实数,证明xyyzzx3++≤。 2222222222x+y+z4x+y+2zx+2y+z

2218.已知正实数a,b,c满足a+b+c+abc=4,证明a+b+c≤3。 2

223?+的最大值。 222a+1b+1c+1

220.设正整数n>2,α1,α2,??,αn∈R,求∑cos(αi?αj)的最小值。 19.设a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,求

1≤i<j≤n

x(21.设x,y,z是正实数,且x+y+z=2012,求2+y2+z2)(x3+y3+z3)x4+y4+z4的最大值。

22.求最大的实数m,使得对于所有满足111++≤3的非零实数a,b,c,均有abc

(a2+4(b2+c2)b2+4(c2+a2)c2+4(a2+b2)≥m。

23.正实数a,b,c,d满足abcd=4,a+b+c+d=10,求ab+bc+cd+da的最大值。

24.已知n为正整数,解关于实数x的不等式xn+12222)()()≥∑(n?k)Cnk+1xk。

k=0n?1

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李建泉老师数学讲义-竞赛代数

25. 已知实数列x0=x1=1,对于正整数n≥

2,xn=任意正整数n,均有An<xn<An+1。

,问是否存在实数A,使得对于26.设Sr(n)=1+2+??+n,其中r是有理数,n是正整数,求所有三元数组(a,b,c),其中a,b

r

r

r

是正有理数,c是正整数,使得存在无穷多个正整数n,满足Sa(n)=Sb(n)。

27.已知实数列{xn} 满足x1=3,xn=的极限,并求出其极限值。

28.已知0<xi<π(i=1,2,??,n),x0=

n

()

c

n+2

(xn?1+2),n≥2 ,证明数列{xn}当n→+∞ 时有有限3n

1

(x1+x2+??+xn),证明 n

sinxn?sinx0?sinx1sinx2

i??i≤??。 x1x2xnx?0?

29.设{an}是实数列,且满足a1=t,an+1=4an(1?an),n≥1,要使a1998=0,问t有多少个不同的取值。

30. 设Pn(x)=Pn?1(x),n=2,3,??,证明对任意正整数n,方程Pn(x)=x的根1(x)=x?2,P1P

2

()

全是相异实根。

31.已知实数列a1,a2,??,对于每个正整数n,定义mn是从a1到an的算术平均。若存在实数C,使得对于任意两两不同的三元正整数组(i,j,k),均有(i?j)mk+(j?k)mi+(k?i)mj=C,证明a1,a2,??是等差数列。

32.已知{an},{bn}均为等差数列,整数m>2,多项式Pk(x)=x+akx+bk,k=1,2,??,m,若

2

P1(x),Pm(x)均没有实根,证明所有Pk(x)(k=1,2,??,m)均没有实根。

33.设整数p1,q1满足方程x+p1x+q1=0有两个整根,对于所有正整数n,定义

2

pn+1=pn+1,qn+1=qn+

1

pn,证明存在无穷多个正整数n,使得方程x2+pnx+qn=0有两个整根。 2

2

34.若整系数二次三项式x+px+q有无理根α1,α2,则称其是无理的,对于所有的无理的二次三项式,求1+

α2的最小值。

35.是否存在不全为0的2000个实数(不必不同),使得我们用任意1000个数作为一个首一的1000次多项式的根,且这个多项式的系数(除了x

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1000

的系数)是剩下的1000个数的一个排列。

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36.设P(x)是一个二次多项式,且至少有一个系数不是整数,若对于任意整数n,均有P(n)也是一个整数,证明多项式Q(x)=P(x)?

1

x(x+1)的所有系数都是整数。 2

37.求所有非零实系数多项式P(x),Q(x),满足对于所有实数x,有

P(x2)+Q(x)=P(x)+x5Q(x),且P(x),Q(x)的次数最小。

38.设集合M=z∈??z=1,Rez∈??,证明复平面上存在无穷多个正三角形,且每个正三角形的顶点均属于M。

39.已知复数a,b,c满足a+b+c=0,a=b=c=1,证明对于任意复数z,z≤1,均有

{}

3≤z?a+z?b+z?c≤4。

xn?12+xn?22

40.设大于1的正整数a,b互素,定义数列x1=a,x2=b,xn=,n≥3,证明对于n≥3,xn

xn?1+xn?2

不是整数。

41.求所有正整数数列{an},使得an+an+1=an+2an+3?200。

42.已知集合Sn={a1,a2,??,an},Tm={0,1,2,??,m?1},其中m,n为正整数,且m≥3, P(Sn)为

Sn的所有子集构成的集合,映射f:P(Sn)→Tm满足下列性质:对于P(Sn)的任意两个元素X1,X2,都

有f(X1∪X2)+f(X1∩X2)=f(X1)+f(X2),试求(1)当f(2)当f

(φ)=0时,所有这样的映射f的个数;

(φ)=1时,所有这样的映射f的个数。

43.设A={1,2,??,2012},B={1,2,??,19},S是A的所有子集构成的集合,求函数f:S→B的个数,使得对于所有的A1,A2∈S,均有f(A1∩A2)=minf(A1),f(A2)。

{}

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