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2013年数学竞赛讲义(几何)——叶中豪

发布时间:2013-11-22 09:38:23  

2013年高中平面几何

高中平面几何

(叶中豪)

知识要点:

(一)四点共圆及其应用

(二)垂足三角形与等角共轭

例题和习题:

1.已知:自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD,自C作PA的平行线,分别交AB、AD于E、F。求证:CE=EF。

2.A为圆O上一点,B为圆外一点,BC、BD分别与圆O相切于C、D,DE⊥AO于E,DE分别交AB、AC于F、G。求证:DF=FG。

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2013年高中平面几何

3.P为圆外一点,PA、PD为切线,PCE为割线。过D作PA的平行线,分别与AC延长线及线段AE交于

B、F。求证:D为BF中点。

B

4.在△ABC中,AB ≠ AC,I是内心,直线AI与△ABC的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P,△ABC的B-旁切圆切AC于E,C-旁切圆切AB于F。求证:EF∥PI。

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2013年高中平面几何

5.设KL、KN是圆O的切线,M是KN延长线上一点,过K、L、M三点的圆与圆O交于P,作NQ⊥LM于Q。求证:∠MPQ=2∠NMQ。(98年伊朗竞赛)

6.已知Rt△ABD∽Rt△ADC,M是BC中点,AD与BC交于E,自C作AM垂线交AD于F。求证:DE=EF。

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2013年高中平面几何

7.在△ABC中,已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E,点A关于点D、E的对称点分别为F、G,△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证:AP∥BC。

8.△ABC中,E、F是AC、AB边上任意两点,圆ABE和圆ACF交于D点,M、N分别是BC、EF中点,MN延长交AB于L。求证:∠BLM=∠CAD。

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2013年高中平面几何

9.已知P、Q是等腰△ABC(AB=AC)内两点,满足∠ABP=∠QCB,∠ACP=∠QBC。求证:A、P、Q三点共线。

10.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高,BB'⊥EF于B',CC'⊥EF于C'。

求证:B'C'=DE+DF。

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2013年高中平面几何

11.一点P在△ABC三边BC、CA、AB上射影分别为S1、S2、S3,在三条高AD、BE、CF上射影分别为T1、T2、T3。求证:S1T1、S2T2、S3T3三线共点。

1

12.设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。又设D

、E分别是△APB及△APC的内心。求证:AP、BD、CE共点。(第37届IMO)

B

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2013年高中平面几何

13.已知,D是△ABC底边BC上任意一点,P是形内一点,满足∠1=∠2,∠3=∠4。求证:PBAB。

=PCAC

C

14.已知:P是四边形ABCD内的一点,满足∠1=∠2,∠3=∠4。

求证:PB=PD的充要条件是ABCD内接于圆。

D

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2013年高中平面几何

15.已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点,M是EF的中点,自E分别作BC、AD的垂线,垂足记为P、Q。求证:MP=MQ。

16.如图,△ABC中,M为BC的中点,以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点,圆在E、F两点的切线交于点D。求证:DM⊥BC。

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2013年高中平面几何

17.AD为△ABC内角平分线,I1、I2为△ABD、△ACD的内心,以I1I2为底向BC边作等腰△EI1I2,使得∠I1EI2=1∠BAC。求证:DE⊥BC。

2

18.已知:D是△ABC的BC中垂线上一点,I1、I2是△ABD、△ACD的内心,E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证:A、E、I1、I2四点共圆。

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2013年高中平面几何

19.平面上有四个点A1,A2,A3,A4,其中任意三个点都不在一条直线上。并且它们满足A1A2×A3A4=A1A3×A2A4=A1A4×A2A3。 对于任意{i,j,k,l}={1,2,3,4},设Oi为△AjAkAl的外心。若对于1≤i≤4均有Ai≠Oi,求证:四条直线AiOi平行或共点。

2

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