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六年级图形问题综合(奥数)含答案

发布时间:2013-11-24 08:05:04  

平面图形计算(一)

经典图形:

1. 任意三角形ABC中,CD=AC,EC=1

31313BC,则三角形CDE的面积占总面积的?=

4344

2. 任意平行四边形中任意一点,分别连接四个顶点,构成的四个三角形中,上下两个三角形面积之和

等于左右两个三角形面积之和。(为什么?)

3. 任意梯形,连接对角线,构成四个三角形。(1)腰上的两个三角形面积相等;(2)上下两个三角形

面积之积等于左右两个三角形面积之积。(为什么?)

4. 正方形的面积等于边长的平方,或者等于对角线的平方?2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方

?2,或者等于斜边的平方?4.(为什么?)

例题:

例1. 如右图,三角形ABC的面积是10,BE=2AB,CD=3BC,求三角形BDE的面积。

例2. 如图,已知三角形ABC的面积是1,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使CE=2BC,延

长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。

例3. 如图,三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AE=ED,EF=2BF,求AEF的面积。

例4. 如图,ABCD是个长方形,DEFG是个平行四边形,E点在BC边上,FG过A点,已知,三角形

AKF与三角形ADG面积之和等于5平方厘米,DC=CE=3厘米。求三角形BEK的面积。

D

例5. 如图,三角形ABC的AB和AC两条边分别被分成5等分。三角形ABC面积是500,求图中阴影部分

的面积?

例6. 如图,设正方形ABCD的面积为120,E、F分别为边AB、AD的中点,FC=3GC,则阴影部分的

面积是多少?

AD

E

BC

例7. 在如图所示的三角形AGH中,三角形ABC,BCD,CDE,DEF,EFG,FGH的面积分别是1,2,3,4,5,

6平方厘米,那么三角形EFH的面积是多少平方厘米?

CG

例8. 如图,在平行四边形ABCD中,AC为对角线,EF平行于AC,如果三角形AED的面积为12平方厘米,,

求三角形DCF的面积。

C

F

AB

练习:

1. 已知正方形ABCD的边长是5cm,又EF=FG,FD=DG,求三角形ECG的面积。

G

F

2. 正三角形ABC的边长为12厘米,BD,DE,EF,FG四条线段把它的面积5等分,求AF,FD,

DC,AG,GE,EB的长。 C

GEB

3. 如图所示是某个六边形公园ABCDEF,M为AB中点,N为CD中点,,P为DE中点,Q为FA中

点,其中游览区APEQ与BNDM的面积之和为900平方米。中间的湖泊面积为361平方米,其余的部分是草地,问草地面积共有多少平方米?

E

P

D

4. 如图,AE=EC,BD=2DC,AF=3BF,若三角形ABC的面积为270平方厘米,求图中阴影部分的面

积。

5. 如下图,正方形ABCD的边长为12, P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD

上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是

______.

6. 如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽

DE是______厘米

.

7. 如图,CE=4EA, BD=3CD,AF=5BF。若三角形ABC的面积为120平方厘米,求图中四个小三角

形的面积。

8. DF与平行四边形ABCD的BC交于E点,与AB交于F点。若三角形ABE的面积是97平方厘米,

求三角形CEF的面积。

9. 梯形ABCD,AB,CD分别是梯形的上,下底。已知阴影部分的总面积为8平方厘米,三角形COD

的面积是16平方厘米,则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?

图形与面积(一)

一、填空题

1. 如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC延长2倍到E,得到一个较大

的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的______倍.

2. 如下图,在三角形ABC中, BC=8厘米, AD=6厘米,E、F分别为AB和AC的中点.那么三角

形EBF的面积是______平方厘米.

3. 如下图,BE?11BC,CD?AC,那么,三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.

4. 下图中,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的长的2倍,那么三角形

CDE的面积是______平方厘米.

5. 5. 现有一个5×5的方格表(如下图)每个小方格的边长都是1,那么图中阴影部分的面积总和等于

______.

6. 下图正方形ABCD边长是10厘米,长方形EFGH的长为8厘米,宽为5厘米.阴影部分甲与阴影部分乙

的面积差是______平方厘米.

227. 如图所示,一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形.现知A的面积是2cm,B的面积是4cm,C的面积

2是6cm.那么原矩形的面积是______平方厘米.

08. 有一个等腰梯形,底角为45,上底为8厘米,下底为12厘米,这个梯形的面积应是______平方厘米.

9. 已知三角形ABC的面积为56平方厘米、是平行四边形DEFC的2倍,那么阴影部分的面积是______

平方厘米.

10. 下图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是

______.

二、解答题

11. 已知正方形的面积是50平方厘米,三角形ABC两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形ABC的

面积.

12. 如图,长方形ABCD中, AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点,F、G分别是AB、CD的四等分点,

H为AD上任意一点,求阴影部分面积.

13. 有两张正方形纸,它们的边长都是整厘米数,大的一张的面积比小的一张多44平方厘米.大、小正方形

纸的边长分别是多少?

14. 用面积为1,2,3,4的四张长方形纸片拼成如图所示的一个长方形.问:图中阴影部分面积是多少?

图形与面积(二)

一、填空题

1. 下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是

______厘米.

2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1.

那么7,2,1三个数字所占的面积之和是______.

3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是______平方厘米.

4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是______平方厘米.

5. 在?ABC中,BD?2DC,AE?BE,已知?ABC的面积是18平方厘米,则四边形AEDC的面积等

于______平方厘米.

6. 下图是边长为4厘米的正方形,AE=5厘米、OB是______厘米.

7. 如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽

DE是______厘米.

8. 如图,一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是

______.

9.

10. 如下图,正方形ABCD的边长为12, P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD

上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是______.

11. 下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形ABCD的

面积是______平方厘米.

二、解答题

12. 图中正六边形ABCDEF的面积是54.AP?2PF,CQ?2BQ,求阴影四边形CEPQ的面积.

13. 如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.

14. 一个周长是56厘米的大长方形,按图35中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长

方形面积的比是: A:B?1:2,B:C?1:2.而在(2)中相应的比例是A?:B??1:3,B?:C??1:3.又知,长方形D?的宽减去D的宽所得到的差,与D?的长减去在D的长所得到的差之比为1:3.求大长方形的面积.

15. 如图,已知CD?5,DE?7,EF?15,FG?6.直线AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,

右边部分面积是65.那么三角形ADG面积是______.

(一)答案:

1. 6.如下图,连接BE,因为CE?2AC,所以,S?BCE?2S?ABC,即S?ABE?3S?ABC.又因为

AB?BD,所以,S?ABE?S?BDE,这样以来,S?ADE?6S?ABC.

2. 6.已知E、F分别是AB和AC的中点,因此?ABF的面积是?ABC的面积 的1111,?EBF的面积又是?ABF的面积的.又因为S?ABC?BC?AD??8?6?24 2211??24?6(平方厘米). 22

111233. .由BE?BC,CD?AC,可知EC?BC,AD?AC.因为?ABC与?AEC是同一个顶点,2(平方厘米), 所以S?EBF?

底边在同一条线段,所以这两个三角形等高,则三角形面积与底边成正比例关系,因此S?AEC?S?ABC.同理可知S?AED?S?AEC.这样以来,?AED的面积是?ABC的的,即是?ABC的面积的.

所以,?AED的面积是?ABC的1. 21223342334

4. 5.因为D是BC的中点,所以三角形ADC和三角形ABD面积相等(等底、等高的三角形等积),从而三

角形ADC的面积等于三角形ABC面积的一半,即30÷2=15(平方厘米).在?CDE与?ADC中,DE?111DA,高相等,所以?CDE的面积是?ADC面积的.即?CDE的面积是?15?5(平方333

厘米)

5. 10三个阴影三角形的高分别为3,2,2,底依次为2,4,3,所以阴影部分面积总和等于

111?3?2??2?4??2?3?10. 6. 60设正方形ABCD的面积为a,长方形EFGH的面积为b,重叠部分EFNM的面

积为c,则阴影部分的面积差是:(a?c)?(b?c)?a?b.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关,应等于正方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积之差.所求答案:10×10-8×5=60(平方厘米).

7. 24图中的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的,矩形的面积等于一组邻边的乘积.从横的方向看,

两个相邻矩形的倍比关系是一致的,B是A的2倍,那么D也应是C的2倍,所以D的面积是2×6=12cm2,从而原矩形的面积是2+4+6+12=24cm2.

8. 20如下图,从上底的两个端点分别作底边的垂线,则BCFE是矩形, AB?CD?(12?8)?2?2(厘

米).

因为?A?450,所以?ABE是等腰直角三角形,则BE?AB?2(厘米).根据梯形的

求积公式得:S梯形??8?12??2?20(平方厘米). 9. 14由已知条件,平行四边形DEFC的面积是:56÷2=28(平方厘米)如下图,连接

1EC,EC

DEFC

的对角线,

由平行四边形的性质如,S?DEC?SDEFC 1 ??28?14(平方厘米).在?AED与?CED中,ED为公共底边,DE平行于AC,从而ED边上的高相等,所以,S?AED?S?CED?14(平方厘米).

10. 97因为长方形的面积等于?ABC与?ECD的面积和,所以?ABC与?ECD

重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和,即S阴影?49?35?13?97.

11. 画两条辅助线如下图,根据条件可知,正方形面积是长方形ABCD面积的2.5倍.从而

ABCD的面积是50÷2.5=20(平方厘米).所以?ABC的面积是20÷2=10(平方厘米).

12. 连结BH,?BEH的面积为?(36?2)?24?216(cm2).把?BHF和?DHG结合起来考虑,这两

个三角形的底BF、DG相等,且都等于长方形宽的11,它们的高AH与DH之和正好是长方形的长,2所以这两个三角形的面积之和是:1?BF?AH?1?DG?DH?1?BF?(AH?DH)

22

2111??BF?AD???24?36?108(cm2).于是,图中阴影部分的面积为216+108=324(cm). 13. 把两张正方形纸重叠在一起,且把右边多出的一块拼到上面,成为一个长方形,如图:

这个长方形的面积是44平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是

两个正方形的边长的差.因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶,而44又只能分解成下面的三种形式: 44=1×44=2×22=4×11.所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2.于是,两个正方形的边长是(22+2)÷2=12(厘米),12-2=10(厘米).

14. 如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长RA交底边于Q,延长SB交底边于P.矩形ABPR面 积是上部阴影三角形面积的2倍.矩形ABSQ是下部阴影三角形面积的2倍.所以矩形RQSP的面

13312CD , CB?CD?AB?CB?CA?CD?CD?CD因377321

21110此矩形RQSP的面积是大矩形面积的,阴影部分面积是大矩形面积的.阴影部分面积=×10=. 21212121积是阴影部分面积的两倍.知CA?

(二)答案:

1. 170.每个小正方形的面积为400÷16=25平方厘米,所以每个小正方形的边长为5cm,因此它的周长是

34×5=170厘米.

2. 25. 7,2,1所占面积分别为7.5,10和7.5 .

3. 6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正

方形3个,面积为1的三角形5个,面积为1.5的三角形一个,因此围成面积是4×4-3-5-1.5=6.5(平方厘米).

4. 24仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面

积.42?82?[8?8?4?(4?8)]=16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米) 5. 12如下图,连接AD,因为BD?2DC,所以S?ABD?2S?ADC;又S?ABD?S?ADC?S?ABC?18,

所以S?ABD?12.因为AE?BE,所以S?BDE?S?ADE?S?ABD?6;因此2

SAEDC1?S?ABC?S?BDE?18?6?12(平方厘米).

6. 3.2如下图,连接BE,则S?ABE?S正方形??4?4?8(平方厘米).从另一角度22

看,S?ABE?1111?5?OB,于是?5?OB?8.?OB?8?2?5=3.2(厘米

) 22

7. 3.2如下图,连接AG,则?AGD的面积是正方形ABCD面积的1,也是长方形 1DEFG的面积的,于是长方形DEFG的面积等于正方形ABCD的面积4×4=16(平方 厘米).?DE?16?5?3.2(厘米).

8. 243我们用A

,长是相同的.

因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比.这样就有:20:16=A:36,

20?3616?2516?30?45;20:16=25:B,B??20;20:16=30:C,C??24; 20:16=D:12, 162020

20?12D??15.因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243 16

9. 60 如下图,连接PD,则阴影部分就是由四个三角形: ?PDH,?PGD,?PEF和?PMN组成.

1?PGD和?PEF的底都有3,高为12,所以S?PGD?S?PEF??3?12?18.?PDH和?PMN的底都2

11是4,两条高分别为PA和PB则:S?PDH?S?PMN??4?PA??4?PB 22A?

=2(PA+PB)=2×12=24所以,阴影部分的面积是: S?PGD?S?PEF?S?PDH?S?PMN=18+18+24=60

10. 4长方形EFGH的面积是6×4=24(平方厘米)?S?AEF?S?AHG?SEFGH?12(平方厘米) 21

?S?EBA?S?ADH?S?AEF?S?AHG?S阴影总面积=12-10=2(平方厘米)

又S?ECH?11SEFGH??24?6(平方厘米)所以,四边形ABCD的面积等于: 44

?ADHS?ECH?(S?EBA?S)=6-2=4(平方厘米) 11. 如图,将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积.

采用数小三角形的办法来计算面积.?PEF面积=3;?CDE面积=9;四边形ABQP面积=11.上述三块面积之和为3+9+11=23,因此,阴影四边形CEPQ面积为54-23=31. 12. 如图,涂阴影部分小正六角星形可分成12个与三角形OPN全等(能完全重叠地放在一起)的小三角

164?平方厘米.正三角形OPM面积是由三个与三角形OPN全等的三角123

4形组成.所以正三角形OPM的面积等于?3?4(平方厘米). 由于大正方六角星形由12个与正三3形.三形OPN的面积是

角形

OPM全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是4×12=48(平方厘米)

13. 设大长方形的宽为x,则长为28-x.因为,D宽?

D长?49???28?x?,D长

??D长?28?x?,D长510

28?xx287x?,于是?, x?8.大长方形的长=28-8=20,从而大长方形的面积为8×20=160平方厘10410202x3??x, 所以,D宽??D?. x,D宽宽12341x28?x??28?x?.由

设可知, ?1:3 或 :101012

米.

14. 三角形AEG面积是三角形AED面积的(15+6)÷7=3(倍),三角形BEF面积是三角形BEC面积的

15÷(5+7)=555(倍).所以65-38×等于三角形AEG面积与三角形AED面积的之差,因此三角形55AED的面积是(65-38×)÷(3-)=10.三角形ADG面积是10×(3+1)=40.

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