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2013全国中考数学试题分类汇编----解直角三角形

发布时间:2013-11-24 08:06:36  

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(2013?郴州)我国为了维护队钓鱼岛P的主权,决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航.在一次巡航中,轮船和飞机的航向相同(AP∥BD),当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时,飞机在B处测得轮船的俯角是45°;当轮船航行到C处时,飞机在轮船正上方的E处,此时EC=5km.轮船到达钓鱼岛P时,测得D处的飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD(结果保留根号).

米,此时小方正好站在A处,并测得∠CBD=60°,牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面的高度(结果精确到个位)

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救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象. 已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30?和

45?,试确定生命所在点C的深度(精确到.0.1?1.41?1.73)

(2013?湘西州)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动,如图,一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上,航行半小时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.

(1)请在图中作出该船在点B处的位置;

(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)

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决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:AB=80.0米,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A,B为参照点,结果精确到0.1米)

(参考数据:sin38.5°=0.62,cos38.5°=0.78,tan38.5°=0.80,sin26.5°=0.45,cos26.5°=0.89,tan26.5°=0.50)

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探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米,探测线与地面的夹角分别为30°和60°,如图所示,试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1米,参考数据≈1.41,≈1.73)

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(2013,成都)如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长为______100____米.

(2013?达州)钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展

常态化监视监测。如图,E、F为钓鱼岛东西两端。某日,中国一艘海监船从A点向正北方向巡航,其航线距离钓鱼岛最近距离CF=

A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向(C

、F、E在同一直线上)。?1.41,?1.73,结果精确到0.1)

解析:

由题知,在Rt△ACF中,∠ACF=90°,

∠A=30°,CF=20公里.

∴cot30°=AC. 20解得,AC=60(公里).………………………(2分)

又∵E在B的东北方向,且∠ACF=90°

∴∠E=∠CBE=45°,

∴CE=CB.………………………………………………(4分)

又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里),

∴CE=38公里.………………………(5分)

EF=CE-CF=38-20≈3.4(公里)………………………(6分)

答:钓鱼岛东西两端的距离约为3.4公里.………………………(7分)

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(2013?广安)如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽2米,加固后,背水坡EF的坡比i=1:2.

(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长;

(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?

(2013?乐山)山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60o和45o,求山的高度BC.(结果保留根号)

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(2013凉山州)小亮和小红在公园放风筝,不小心让风筝挂在树梢上,风筝固定在A处(如图),为测量此时风筝的高度,他俩按如下步骤操作:第一步:小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE=β.

第二步:小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD=a. 第三步:量出测角仪的高度CD=b. 之后,他俩又将每个步骤都测量了三次,把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图.

请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题. (1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中:

(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB(参考数据:

,结果保留3个有效数字).

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考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;条形统计图;折线统计图.

分析:(1)根据图中的信息将数据填入表格,并求平均值即可;

(2)过C作CE⊥AB于E,可知四边形EBDC是矩形,可得CE=BD=a,BE=CD=b,在Rt△AEC中,根据β=30°,解直角三角形求出AE的长度,继而可求得树AB的高度,即风筝的高度.

解答:解:(1)填写表格如图:

(2)过C作CE⊥AB于E,

则四边形EBDC是矩形,

∴CE=BD=a,BE=CD=b,

在Rt△AEC中,

∵β=30°,a=15.81,

∴AE=BEtan30°=15.81×≈9.128(米),

则AB=AE+EB=9.128+1.32=10.448≈10.4(米).

答:风筝的高度AB为10.4米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,涉及了条形统计图和折线统计图的知识,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形,锻炼了同学们读图的能力

(2013?泸州)如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30,在A、C之间选择一点B (A、B、C三点在同一直线上),用测角仪测得塔顶D的仰角为75,且AB间距离为40m.

(1)求点B到AD的距离;

(2)求塔高CD(结果用根号表示)。

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??

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(2013?眉山)如图,某防洪指挥部发现长江边一处长600米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固。经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽2米,加固后背水坡EF的坡比i?1:。

⑴求加固后坝底增加的宽度AF;(结果保留根号) ⑵求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果取3?1.732)

F

(2013?绵阳)如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60o,又从A点测得D点的俯角β为30o,若旗杆底总G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )

A.20米 B

. C

. D

.米

A β

D

BGC

9题图

(2013?内江)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(侧倾器的高度忽略不计).

A B

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监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B,B船在A船的正东方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向,B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C,求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)

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(2013宜宾)宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是标志性建筑之一(如图①).喜爱数学实践活动的小伟查资料得知:大观楼始建于明代(一说是唐代韦皋所建),后毁于兵火,乾隆乙酉年(1765年)重建,它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一.小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度.如图②,他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12米到达A处,在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度.(测角仪高度忽略不计,≈1.7,结果保留整

数).

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

专题:应用题.

分析:设大观楼的高OP=x,在Rt△POB中表示出OB,在Rt△POA中表示出OA,再由AB=12米,可得出方程,解出即可得出答案.

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解答:解:设大观楼的高OP=x,

在Rt△POB中,∠OBP=45°,

则OB=OP=x,

在Rt△POA中,∠OAP=60°,

则OA=OPcot∠OAP=x,

x=12, 由题意得,AB=OB﹣OA=12m,即x﹣

解得:x=18+6,

故大观楼的高度OP=18+6≈28米.

答:大观楼的高度约为28米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形,注意方程思想的运用.

(2013?资阳)钓鱼岛历来是中国领土,以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区,不允许它国船支进入.如图7,今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方向距岛60海里的B处海域巡逻,值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船,正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛,中方立即向日本渔船发出警告,并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截,其间多次发出警告,2小时后海监船到达D处,与此同时日本渔船到达E处,此时海监船再次发出严重警告.

(1)当日本渔船收到严重警告信号后,必须沿北偏东转向多少

度航行,才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区?(4分)

(2)当日本渔船不听严重警告信号,仍按原速度、原方向继续

前进,那么海监船必须尽快到达距岛12海里,且位于线段AC上的F

处强制拦截渔船,问海监船能否比日本渔船先到达F处?(5分)

(注:① 中国海监船的最大航速为18节,1节=1海里/时;②参

考数据:sin26.3°≈0.44,sin20.5°≈0.35,sin18.1°≈0.31

1.4,

?1.7)

(1) 过点E作⊙A的切线EG,连结AG,

AE=AC-CE=52-18=34,AG=12, ···························································································································· 2分 sin∠GEA=图

7 AG≈0.35, ········································································································································ 3分 AE

∴转向的角度至少应为北偏东69.5度; ··········································································································· 4分

(2) 过点D作DH⊥AB于H,

由题意知,BD=24,∴DH=12,BH

····································································································· 5分 易求四边形FDHA为矩形,∴FD=AH

···························································································· 7分 ∴ 海监船到达F处的时间为(

÷18≈ 2.2时, ··············································································· 8分 日本渔船到达F处的时间为(34-12)÷9≈2.4时,

∴海监船比日本船先到达F处. ··························································································································· 9分 (2013?自贡)在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距km的C处.

(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);

(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由. 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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(2013鞍山)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为 30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、

B、C在同一水平地面上.

求:改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(参考数据:=1.414,=1.732,=2.449)

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

分析:在Rt△ABC中,根据AB=5米,∠ABC=45°,求出AC的长度,然后在Rt△ADC中,解直角三角形求AD的长度,用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度.

解答:解:在Rt△ABC中,

∵AB=5,∠ABC=45°, ∴AC=ABsin45°=5×=,

在Rt△ADC中,∠ADC=30°,

∴AD==5=5×1.414=7.07,

AD﹣AB=7.07﹣5=2.07(米).

答:改善后滑滑板会加长2.07米.

点评:本题主要考查了解直角三角形的应用,利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键.

(2013?大连)如图,为了测量河的宽度AB,测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角45°,测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上),则河的宽度AB约为 m(精确到0.1m)。(参考数据:≈1.41, ≈1.73)

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(2013?沈阳)身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝,风筝不小心挂在了树上,在如图所示的平面图形中,矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前点B处,风筝挂在建筑物上方的树枝点G处(点G在FE的延长线上),经测量,兵兵与建筑物的距离BC=5米,建筑物底部宽FC=7米,风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上,点A据地面的高度AB=1.4米,风筝线与水平线夹角为37°。

(1)求风筝据地面的告诉GF;

(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN,梯脚M在距离3米处固定摆放,通过计算说明;若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝?

(2013?铁岭)如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)

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(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110,到达B处,测得“香顶”N的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:,).

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测量人员选择山脚C处为一测量点,测得塔顶仰角为45°,然后顺山坡向上行走100米到达E处,再测得塔顶仰角为60°,求塔高AB.(结果保留整数?1.732?1.41)

22题图

(2013?

黄石)高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音。如图,点A是某市一高考

考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队。在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶。试问:

消防车是否需要改道行驶?说明理由.取1.732)

解析:

解:过点A作AH?CF交CF于H点,由图可知

∵?ACH?750?150?600 ······················································································· (3分) ∴AH?AC?sin600?1251.732······························ (3分) ?125??108.25(m) ·2

∵AH?100米

∴不需要改道行驶 ········································································································ (2分)

(2013?荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE= .

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位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tanα=1.627,tanβ=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路.问连接AB高速公路是否穿过风景区,请说明理由.

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(2013?荆州)如图,在高度是21米的小山A处没得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为何45°,

则这个建筑物的高度CD+21 米(结果可保留根号)

(2013?潜江)某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1:1.8改为

1:2.4(如图). 增加部分

BC的长.

如果改动后电梯的坡面长为13米,求改动后电梯水平宽度

(2013?十堰)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750 米.

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的C处测得旗杆低端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m,则旗杆的高度是多少?(结果保留根号)

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测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为 12 m(结果不作近似计算).

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化立体巡航,如图1.在一次巡航过程中,巡航飞机飞行高度为 2001米,在点A测得高华峰顶F点的俯角为30,保持方向不变前进 1200 米到达B点后测得F点俯角为45,如图2,请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度.(结果保留整数,参考数值:3?

1.732,2?1.414) 00

图1

解:设CF?x米,则BC?x米,则AC?x?1200米 ????1分

在Rt?AFC中,tan30??CFx ???????3分 ?AC1200?x

即:3x? ??????????4分 31200?x

(1200?x)?3x ??????????5分

x?1939 ????????????6分

∴ FD?CD?CF?2001?1639?362 (米) ??7分

答:钓鱼岛的最高海拔高度约为362米.

(2013?三明)如图,已知墙高AB为6.5米,将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面,梯子与地面所成的角∠BCD=55°,此时梯子的顶端与墙顶的距离AD为多少米?(结果精确到0.1米)(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)

解析:在Rt△BCD中,根据∠BCD=55°,CD=6米,解直角三角形求出BD的长度,继而可求得AD=AB﹣BD的长度.

在Rt△BCD中,

∵∠DBC=90°,∠BCD=55°,CD=6米,

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∴BD=CD×sin∠BCD=6×sin55°≈6×0.82=4.92(米),

∴AD=AB﹣BD≈6.5﹣4.92=1.58≈1.6(米).

答:梯子的顶端与墙顶的距离AD为1.6米.

(2013?漳州)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小辉和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A处,离胜利西路的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.

(1)求B、C两点的距离;

(2)请判断此车是否超过了胜利西路60千米/小时的限制速度?

(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732

,1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)

(2013?长春)如图,岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米,桥墩顶部点C距水面的高

度CD为23.17米.从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°,求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离.(结果精确到0.1米)

【参考数据:sin26°=0.44,cos26°=0.90,tan26°=0.49】

(第19题)

由题意知,DE=AB=2.17,

∴CE=CD?DE=12.17?2.17=10.

在Rt△CAE中,∠CAE=26?,

CE, AC

CE1010∴AC===?22.7(米) . sin?CAEsin26?0.44

答: 岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米

(2013?吉林省)某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中,设计了以下两种方案: sin?CAE=

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请你选择其中的一种方法,求教学楼的高度(结果保留整数). ..

(2013?白银)某市在地铁施工期间,交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF(如图所示),已知立杆AB的高度是3米,从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况警示牌宽BC的值.

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平线,∠ABC=120°,BC的长是50m,则水库大坝的高度h是( )

(2013?苏州)如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.

(1)求点P到海岸线l的距离;

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到达点C处.此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.

(上述2小题的结果都保留根号)

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(2013?宿迁)某景区为方便游客参观,在每个景点均设置两条通道,即楼梯和无障碍通道.如图,已知在某景点P处,供游客上下的楼梯倾斜角为30(即?PBA?30),长度为4m(即PB?4m),无障碍通道PA的倾斜角为15(即?PAB?15).求无障碍通道的长度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin15?0.21,cos15?0.98)

?????? A C 第21题图 B

(2013?南京)已知不等臂跷跷板AB长4m。如图?,当AB的一端碰到地面时,AB与地面的夹角为?;如图?,当AB的另一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为?。求跷跷板AB的支 撑点O到地面的高度OH。(用含?、?的式子表示)

(2013?苏州)如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.

(1)求点P到海岸线l的距离;

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)

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(2013?泰州)如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52'.已知山高BE为56 m,楼的底部D与山脚在同一水平面上,求该铁塔的的高AE.

(参考数据:sin 36°52'≈0.60,tan36°52'≈0.75)

解:设该铁塔的的高AE= x m

作CF⊥AB,垂足为点F,则四边形BDCF是矩形.

∴CD=BF=27 m CF=BD

在Rt△ADB中∠ADB=45°

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∴AB=BD=x+56

在Rt△ACF中∠ACF=36°52',CF=BD=x+56,AF= x+56-27= x+29 ∵tan36?52??x?29?0.75 x?56

∴x?52

答:铁塔的的高AE=52m.

(2013?南通)光明中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走,在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上,20min后他走到B处,测得建筑物C在北偏西45°方向上,求建筑物C到公路AB的距离.

?1.732)

(第23题) (2013?钦州)如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)

(1)求点B距水平面AE的高度BH;

(2)求广告牌CD的高度.

(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:1.414,1.732)

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(2013?包头)如图,一根长6米的木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A′时,B端沿地面向右滑行至点B′.

(1)求OB的长;

(2)当AA′=1米时,求

BB′的长.

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(2013?呼和浩特)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10千米,∠A=30°,∠B=45°.则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果保留根号)

如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高。(精确到0.1?1.732)

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解:∵ 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°。

∴ ∠DBC = 60°,∠EBC= 30°

∴ ∠DBE = ∠DBC -∠EBC=60°- 30°= 30°

又∵ ∠BCD=90°

∴ ∠BDC = 90°-∠DBC = 90°-60°= 30°

即 ∠BDE = 30°

∴ ∠BDE =∠DBE ,BE=DE.

22 设EC=x,则BE=2EC=2x,BC=BE?EC?2x?2?x2?3x

DE=BE=2x,DC=EC+DE=x+2x=3x

又∵ 在A处测得塔尖D的仰角为45°,AB=73.2

∴ △ACD为等腰Rt△,即AC=DC=3x,BC=AC-AB=3x-73.2

∴ x=3x-73.2,即1.732x=3x-73.2,2.268x=73.2,x≈32.3(米)

(2013?遵义)我市某中学在创建“特色校园”的活动中,将本校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处,用1米高的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学楼正方向走了4米到达点F处,又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米,且点A,B,M在同一直线上,求宣传牌AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.81,tan37

°≈0.75).

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图,他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°,再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB=112m,根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD(tan36°≈0.73,结果保留整数).

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(2013? 东营)某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60?,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30?,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为 9 米.

(2013济宁)钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土(如图1),A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图2),点C在点A的北偏东47°方向,点B在点

A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留小数点后两位)?(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan47°≈1.07,tan36°≈0.73,tan11°≈0.19)

考点:解直角三角形的应用-方向角问题.

分析:过点B作BD⊥AC交AC于点D,根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数,然后在Rt△ABD和Rt△BCD中,分别解直角三角形求出AD、CD的长度,然后根据时间=路程÷速度即可求出需要的时间.

解答:解:过点B作BD⊥AC交AC于点D,

由题意得,∠DAB=180°﹣47°﹣79°=54°,

∠DCB=47°﹣36°=11°,

在Rt△ABD中,

∵AB=5.5,∠DAB=54°,

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=cos54°,=sin54°,

∴AD=5.5×0.59=3.245,BD=4.445,

在Rt△BCD中,

∵BD=4.445,∠DCB=11°, ∴=tan11°,

=23.394, ∴CD=

∴AC=AD+CD=3.245+23.394≈26.64(km),

则时间t=26.64÷30≈0.90(h).

答:需要0.90h到达.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,难度适中,解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形,

(2013山东莱芜,20,9分)如图,有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障,急需抢修,调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测,从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处,B岛在南偏东66°方向,从B岛测得渔船在正西方向,已知两个小岛间的距离是72海里,A岛上维修船的速度为每小时20海里,B岛上维修船的速度为每小时28.8海里,为及时赶到维修,问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船?

(参考数据:cos37°≈0.8,sin37°≈0.6,sin66°≈0.9,cos66°≈0.4)

解:作AD⊥BC的延长线于点D,在Rt△ADB中,

AD=AB·cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8(海里)

BD=AB·sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8(海里)

.

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在Rt△ADC中,AC?AD28.828.8???36(海里). cos?DACcos37?0.8

CD=AC·sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6(海里).

BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2(海里).

AC36??1.8(小时). 2020

BC43.2B岛上维修船需要时间tB???1.5(小时). 28.828.8A岛上维修船需要时间tA?

∵tA<tB,∴调度中心应该派遣B岛上的维修船.

(2013聊城)河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:

的长为( )

,则AB

A.12 B.4米 C.5米 D.6

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

分析:根据迎水坡AB的坡比为1:勾股定理求得AB的长度.

解答:解:Rt△ABC中,BC=6米,

∴则AC=BC×∴AB=

=6=, =12. =1:,可得米 =1:,即可求得AC的长度,然后根据,

故选A.

点评:此题主要考查解直角三角形的应用,构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键.

(2013聊城)如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米.

(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?

(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)?

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考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

专题:应用题.

分析:(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,可知∠DFG=90°﹣53°=37°,在△DFG中,已知DF的长度,求出DG的长度,若DG>3,则看不见老鼠,若DG<3,则可以看见老鼠;

(2)根据(1)求出的DG长度,求出AG的长度,然后在Rt△CAG中,根据

即可求出CG的长度.

解答:解:(1)能看到;

由题意得,∠DFG=90°﹣53°=37°, 则=tan∠DFG, =sin∠C=sin37°,

∵DF=4米,

∴DG=4×tan37°=4×0.75=3(米),

故能看到这只老鼠;

(2)由(1)得,AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米), 又=sin∠C=sin37°,

==9.5(米). 则CG=答:要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞9.5米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形,利用三角函数求解相关线段,难度一般.

(2013?青岛)如图,马路的两边CF、DE互相平行,线段CD为人行横道,马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行,且都与马路两边垂直,马路宽20米,A,B相距62米,∠A=67°,∠B=37°

(1)求CD与AB之间的距离;

(2)某人从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他

沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米 12512,cos67??,tan67??, 13135

343 sin37??,sin37??,tan37??) 554(参考数据:sin67??

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解析:

(2013泰安)如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西

45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,

望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50海里/小时,则A,B之间的距离为 (取,结果精确到0.1海里).

考点:解直角三角形的应用-方向角问题.

专题:应用题.

分析:过点D作DE⊥AB于点E,设DE=x,在Rt△CDE中表示出CE,在Rt△BDE中表

示出BE,再由CB=25海里,可得出关于x的方程,解出后即可计算AB的长度.

解答:解:∵∠DBA=∠DAB=45°,

∴△DAB是等腰直角三角形,

过点D作DE⊥AB于点E,则DE=AB,

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设DE=x,则AB=2x,

在Rt△CDE中,∠DCE=30°,

则CE=DE=x,

在Rt△BDE中,∠DAE=45°,

则DE=BE=x,

由题意得,CB=CE﹣BE=x﹣x=25,

解得:x=,

故AB=25(+1)=67.5海里.

故答案为:67.5.

点评:本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识求解相关线段的长度,难度一般.

2013?威海)要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.

(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x;

(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示:小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同)

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(2013? 潍坊)一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为( ).

A.10海里/小时

B. 30海里/小时

C.20海里/小时

D.30海里/小时

(2013? 枣庄)交通安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使?CAD?30°,?CBD?60°.

.?1.41)(1)求AB的长(精确到0.1?173;

(2)已知本路段对汽车限速为40千米/小时,若测得某辆汽车从A到B用时为2秒,这辆汽车是否超速?说明理由.

(2013杭州)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于( )

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A. B. C. D.

考点:解直角三角形.

专题:计算题.

分析:在直角三角形ABC中,由AB与sinA的值,求出BC的长,根据勾股定理求出AC的长,根据面积法求出CD的长,即为斜边上的高.

解答:解:根据题意画出图形,如图所示,

在Rt△ABC中,AB=4,sinA=,

∴BC=ABsinA=2.4,

根据勾股定理得:AC=

∵S△ABC=AC?BC=AB?CD,

∴CD=

故选

B =. =3.2,

点评:此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:锐角三角函数定义,勾股定理,以及三角形的面积求法,熟练掌握定理及法则是解本题的关键.

(2013? 嘉兴)某学校的校门是伸缩门(如图1),伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱

形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60o(如图2);校门打开时,每个菱形的锐角度数从60o缩小为10o(如图3).问:校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin5o≈0.0872,cos5o≈0.9962,sin10o≈0.1736,cos10o≈0.9848).

(2013? 丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时,AB=3m,已知木

(图1) ? B

1? 120个 (图2)

20个 (图3)

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箱高BE=3m,斜面坡角为30°,求木箱端点E距地面AC的高度EF。

(2013?宁波)天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹.如

图,从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A,B的

俯角分别为45°和60°,若此观测点离地面的高度为51米,

A,B两点在CD的两侧,且点A,D,B在同一水平直线

上,求A,B之间的距离(结果保留根号)

(2013? 衢州)如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30?,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60?,已知小敏同学身高(AB)为

1.6m,则这棵树的高度为( ▲ )(结果精确到0.1m3≈1.73).

A. 3.5m B. 3.6 m C. 4.3m D. 5.1m

A 第8题

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(2013?绍兴)如图,伞不论张开还是收紧,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC,当伞收紧时,结点D与点M重合,且点A、E、D在同一条直线上,已知部分

(2)当∠BAC=104°时,求AD的长(精确到1cm).

备用数据:sin52°=0.788,cos52°=0.6157,tan52°=1.2799.

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(2013?佛山)如图,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)( ) A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m

(2013?广东)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=___

第7题图

C B

4

_____. 5

(2013?广州)如图10, 在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船,均收到已触礁搁浅的船P的求救信号,已知船P在船A的北偏东58°方向,船P在船B的北偏西35°方向,AP的距离为30海里.

(1) 求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里);

(2) 若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同

时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达船P处.

(2013?深圳)如图2,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的

树高。下午课外活动时她测得一根长为1m的竹杆的影长 是0.8m。但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落 在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)。 他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长 为2.6m,请你帮她算一下,树高是

A、3.25m B、4.25m C、4.45m D、4.75m

P

M

图10

N

图2

(2013?珠海)一测量爱好者,在海边测量位于正东方向的小岛高度AC,如图所示,他先在点B测得山顶点A的仰角为30°,然后向正东方向前行62米,到达D点,在测得山顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上,且测量仪的高度忽略不计).求小岛高度AC(结果精确的1米,参考数值:

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求BC的长.

(2013?河南)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体

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的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米. 参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50,3≈1.73).

(2013兰州)如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M仰角为45°;小红眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度.

(参考数据:,,结果保留整数.)

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

分析:过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,则EF=0.2m.由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME,设AE=ME=xm,则MF=(x+0.2)m,FC=(28﹣x)m.在Rt△MFC中,由tan∠

MCF=,得出=,解方程求出x的值,则MN=ME+EN.

解答:解:过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,

则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2(m),

在Rt△AEM中,∵∠AEM=90°,∠MAE=45°,

∴AE=ME.

设AE=ME=xm,则MF=(x+0.2)m,FC=(28﹣x)m.

在Rt△MFC中,∵∠MFC=90°,∠MCF=30°,

∴MF=CF?tan∠MCF,

∴x+0.2=(28﹣x),

解得x≈10.0,

∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米.

答:旗杆MN的高度约为12米.

点评:本题考查了解直角三角形的问题.该题是一个比较常规的解直角三角形问题,建立模

型比较简单,但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些.

(2013?乌鲁木齐)九(1)数学兴趣小组为了测量河对岸的古塔A、B的距离,他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20m的C、D两点,测得∠ACB=15°,∠BCD=120°,∠ADC=30°,如图所示,求古塔A、B的距离.

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2013,河北)如图1,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,

它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到

达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的

距离为

A.40海里

C.70海里

(2013,河北)一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些

液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α

(∠CBE = α,如图17-1所示).

探究 如图17-1,液面刚好过棱CD,并与棱BB′ 交于

点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如

图17-2所示.解决问题:

(1)CQ与BE的位置关系是___________,BQ的长是____________dm;

(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB)

(3)求α的度数.(注:sin49°=cos41°=4tan37°=4)

拓展 在图17-1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P,设PC = x,BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式,并写出相应的α的范围.

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延伸 在图17-4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图17-5,隔板高NM = 1 dm,BM = CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α = 60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

(2013?安徽)某风景管理区,为提高游客到某景点的安全性,决定将到达该景点的步行台阶进行改善,把倾角由45°减至30°,已知原台阶坡面AB的长为5m(BC所在地面为水平面).

(1)改善后的台阶坡面会加长多少?

(2)改善后的台阶多占多长一段水平地面?(结果精确到0.1m

?

1.41,?1.73)

解:(1)如图,在Rt△ABC中,

A45o C 30o 45o B

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,……4分

?AD?AB?7.05?5≈2.1m. ………………………………5分

即改善后的台阶坡面会加长2.1 m.

(2)如图,在Rt△ABC中,

即改善后的台阶多占2.6.长的一段水平地面.

(2013?上海)某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF升起后的位置如图7-2所示,其示意图如图7-3所示,其中AB⊥BC,

EF∥BC,?EAB?1430,AB?AE?1.2米,求当车辆经过时,栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离).

(结果精确到0.1米,栏杆宽度忽略不计参考数据:sin 37° ≈ 0.60,cos 37° ≈ 0.80,tan 37° ≈ 0.75.)

F E F E

E F A A A

B C 图7-3 图7-1 图7-2

(2013?毕节地区)如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高.(精确到0.1米,≈1.732)

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(2013?昆明)如图,为了缓解交通拥堵,方便行人,在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥,若天桥斜坡AB的坡角?BAD为35゜,斜坡CD的坡度为i=1:1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比),上底BC=10m,天桥高度CE=5m,求天桥下底AD的长度?(结果精确到0.1m,参考数据:sin35゜≈ 0.57,cos 35゜≈ 0.82,tan35゜≈ 0.70)

(2013?铜仁)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,则sinB的值等于 .

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(2013?铜仁)为了测量旗杆AB的高度.甲同学画出了示意图1,并把测量结果记录如下,BA⊥EA于A,DC⊥EA于C,CD=a,CA=b,CE=c;乙同学画出了示意图2,并把测量结果记录如下,DE⊥AE于E,BA⊥AE于A,BA⊥CD于C,DE=m,AE=n,∠BDC=α.

(1)请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度(用含a、b、c的式子表示);

(2)请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度(用含m、n、α的式子表示)

.

解:(1)∵DC⊥AE,BA⊥AE ∴△ECD∽△EAB????????2

分 ∴

分 ∴AB?

(2)∵AE⊥AB,DC⊥AB,DE⊥AE

∴DC=AE=n,AC=DE=m??????????????????7分

在Rt△DBC中,BC/CD=tanα,

∴BC=n·tanα????????????????9分

∴AB=BC+AC=n·tanα+m????????????10分

(2013?红河)如图,某山顶上建有手机信号中转塔AB,在地面D处测得塔尖的仰角

?ADC?60?,塔底的仰角?BDC?45?,点D距塔AB的距离DC为100米,求手机信号CECEac???????????????4?,即?ABAEABc?ba(c?b)ab?????????????????5?a?cc中转塔AB的高度(结果保留根号).

解:由题意可知,△ACD与△BCD都是直角三角形.

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在Rt△BCD中,

∵∠BDC = 45°,

∴BC = CD = 100.

在Rt△ACD中,

∵∠ADC = 60°,CD = 100,

∴tan60??

即AC, CDAC? 100

∴AC? ??????????4分 ∴AB?AC?BC?1). ??????????5分 答:手机信号中转塔的高度为1)米.

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