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2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛试题(高一)

发布时间:2013-11-24 08:06:37  

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高一试卷

考生注意事项:

1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.

2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.

一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)

1、设全集U?R,A?xx?x?3??0,B?xx??1,则右图中阴影部分表示的集合为( )

A、x?3?x??1 B、x?3?x?0

C、xx?0 ??????????D、xx??1 ??

1?x212.若f(x)?1?2x,g[f(x)]?(x?0),则g()的值为 ( 22x

)

A.1

3.函数B.3 C.15 D.30 ( ) y?3log3x的图象是

A. B. C. D.

4.若函数f(x)=lg(x2-ax-3)在(-∞,-1)上是减函数,则a的取值范围是( ) A. a>2 B. a<2 C.a≥2 D. a≥-2

2x5. 函数f(x)=x+ ( ) 4-1

A. 是偶函数但不是奇函数

C. 既是奇函数又是偶函数 B. 是奇函数但不是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数

6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?2),当x?1时,f(x)单调递减,如果1?x1x2?x1?x2?2,则f(x1)?f(x2)的值 ( )

A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为0 D.可正可负

7.函数f(x)?9?9x?x?2(3x?3?x)的最小值是 ( )

(A)1 (B)2 (C)?3 (D)?

2

8.设函数f(x)?(x2?20x?c1)(x2?20x?c2)?(x2?20x?c10),集合M?

,则c1?c10?( ) {x|f(x)?0}?{x1,x2,?,x19}?N*,设c1?c2???c10

A.83 B.85 C.79 D. 81

二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)

9、若x?4?x?3?a的解集为空集,则a的取值范围为

10、已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x = _____________ 。

??且M,N都是集合13?11、 设数集M??x0?x?1的?xm?x?m??,N??xn??x?n?,34??????

子集,如果把b?a叫做集合xa?x?b的“长度” ,那么集合M?N的“长度”的最小值是 . ??

?(3a?1)x?4a(x?1)12、已知函数f(x)=?在R不是单调函数,则实数a的取值范围是 ......logx(x?1)a?

.

13在平面直角坐标系中,若点A,B同时满足:①点A,B都在函数y?f(x)图象上;

②点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数y?f(x)的一个“兄弟点对”(规定点对(A,B)与点对(B,A)是同一个“兄弟点对”).当函数g(x)?a?x?a有“兄弟点对”时,a的取值范围是______________.

14、已知二次函数f?x??x2?2mx?1,若对于?0,1?上的任意三个实数a,b,c,函数值f?a?,f?b?,f?c?都能构成一个三角形的三边长,则满足条件的m的值的取值范围是 x。

三、 解答题(本大题共3小题,满分32分.要求写出必要的解答过程)

15.(本题满分10分)已知x?ax?3的解集为?4,b?,求实数a,b的值. 2

16.(本题满分10分)对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f (x)与g (x),如果对任意x

∈[m,n]均有| f (x) – g (x) |≤1,则称f (x)与g (x)在[m,n]上是接近的,否则称f (x)与g (x)在

[m,n]上是非接近的,现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga1(a > 0,a≠1),x?a

给定区间[a + 2,a + 3].

(1)若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上都有意义,求a的取值范围;

(2)讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是否是接近的?

17.(满分12分)已知函数f?x??1,对于n?N?,定义f1?x??f?x?,fn?1?x??f?,fn?x????1?x偶函数g?x?的定义域为?xx?0?,当x?0时,g?x??f2009?x?。

(1)求g?x?;

(2)若存在实数a,b?a?b?使得该函数在?a,b?上的最大值为ma,最小值为mb,求非零实数m的取值范围。

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高一答题卷

一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案)

二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分. 请将正确的答案填在横线上)

9.________________________ 10._____________________________

11._______________________ 12._____________________________

13._______________________ 14._____________________________

三、解答题(本大题共3小题,满分32分.要求写出必要的解答过程)

15.(本题满分10分)已知

x?ax?3的解集为?4,b?,求实数a,b的值. 2

16.(本题满分10分)对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f (x)与g (x),如果对任意x∈[m,n]均有| f (x) – g (x) |≤1,则称f (x)与g (x)在[m,n]上是接近的,否则称f (x)与g (x)在[m,n]上是非接近的,现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与 f 2 (x) = loga1(a > 0,a≠1),给定区间[a + 2,a + 3]. x?a

(1)若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上都有意义,求a的取值范围;

(2)讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是否是接近的?

17.(满分12分)已知函数f?x??1,对于n?N?,定义f1?x??f?x?,fn?1?x??f?,fn?x????1?x偶函数g?x?的定义域为?xx?0?,当x?0时,g?x??f2009?x?。

(1)求g?x?;

(2)若存在实数a,b?a?b?使得该函数在?a,b?上的最大值为ma,最小值为mb,求非零实数m的取值范围。

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高一参考答案

一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案)

二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分. 请将正确的答案填在横线上)

9. a??1 10. 60 11. 1/12 12. (0,)?[,1)?(1,??)

1713

13. a ≥1 14. ?0,

???2?? 2??

三、 解答题(本大题共3小题,满分32分.要求写出必要的解

答过程)

15.法一:如图,在同一直角坐标系中,作出yx (x≥0)

3

及y=ax+ 的大致图像,

2

3

设y=ax+ 与Y轴及y=x 分别交于A、B、C点

23

由条件及图像可知A(0,),B(4,2),

2

31

则4a??2 得a?

28

令C(b )(b>0) 由kAB?kBC

3

?b?2 ?a?1,b?36 得 a?

84?0b?4

233

法二:x?ax??ax?x??0

22

2?

?

依题意,上式等价于a

x?2

x?b?0

?

?a2??1

?3?

∴?2ab?

2?

a?0??

??

1?

?a?∴?8 ??b?36

16.解:(1)要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义,则有 ?x?3a?0??x?3a ?x?a?0

?a?0且a?1?

要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上有意义,

等价于真数的最小值大于0 ?1?a?3?a?0

?即?a?2?3a?0?0?a?1

?a?0且a?1??

(2)f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是接近的

?| f 1 (x) – f 2 (x)|≤1 1≤1 ?loga(x?3a)?logax?a

?|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1

1?a≤(x – 2a)2 – a2≤ a

对于任意x∈[a + 2,a + 3]恒成立

设h(x) = (x – 2a)2 – a2,x∈[a + 2,a + 3]

且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2,a + 3]的左边 ?a ?a ≤ hmin(x)≤ h(a?2)?? ??1??1h(a?3)h(x)≥ ≥ max?a??a?

4?a ?≤ 4?4a≤ ??a ??1??5 9?6a≥ ??≥ 0?a?6a2?9a?1

4?a ≤ ?5? ??9?579??a 或a ≥ ≤?1212?

?0?a ≤ 9? 12

当0?a ≤

9?57时f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是接近的 129?< a < 1时,f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是非接近的. 12

17.解:(1)因为

f1?x??f?x??11x?11,f2?x??f?f1?x????,f3?x??f?fx??x ???2??1x?11?xx1?1?1?xxf4?x??f?f3?x???1,所以迭代函数以3为周期,f1?x

?x?11???xx2009?x??f2?x?

?x?1… 设x?0,则?x?0,g?x??g??x??

?1??x,x?0?所以g?x???… 1??,x?0?x?

图象如右:

(2)因为a?b,ma?mb?0?m?0,a?b?0;

又因为mb?0,所以?1?[a,b](否则m?0,,矛盾)

?11??ma?1?a当a?b??1,则f?x??1?在(??,?1]上是减函数?由题意? 1x?1??mb??b

111所以a,b是方程1??mx的两不同实根,?x2?x??0在???,?1?有两个不同实根, xmm

14?????0?m2m?111?g?1?1???0???m?0?????15分? ???mm4??1?2m??1?

1??1??mb?1?a当?1?a?b?0时,则f?x???1?在(?1,0)上是增函数,由题意?x??1?1?ma

?b?

?a?b不合.

1综上所述??m?0。---------------- 4

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