haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初一奥数练习(五套)及解答

发布时间:2013-11-24 12:35:39  

初一奥数练习题一

甲多开支

100元,三年后负债600元.求每人每年收入多少?

S的末四位数字的和

是多少?

4.一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程.

5.求和:

6.证明:质数p除以30所得的余数一定不是合数.

8.若两个整数x,y使x2+xy+y2能被9整除,证明:x和y能被3整除.

9.如图1-95所示.在四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点为M,N,MN的延长线与AB边交于P点.求证:△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半.

解答:

所以 x=5000(元).

所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24.

3.因为

a-b≥0,即a≥b.即当b

≥a>0或b≤a<0时,等式成立.

4.设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米.依题意则

由②有2x+y=20, ③

由①有y=12-x.将之代入③得 2x+12-x=20.

所以 x=8(千米),于是y=4(千米).

5.第n项为

所以

6.设p=30q+r,0≤r<30.因为p为质数,故r≠0,即0<r<30.假设r为合数,由于r<30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5.再由p=30q+r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾.所以,r一定不是合数.

7.设

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

(4-m)pq+1=2(p+q).

可知m<4.由①,m>0,且为整数,所以m=1,2,3.下面分别研究p,q.

(1)若m=1时,有

解得p=1,q=1,与已知不符,舍去.

(2)若m=2时,有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解.

(3)若m=3时,有

解之得

故 p+q=8.

22222222 8.因为x+xy+y=(x-y)+3xy.由题设,9|(x+xy+y),所以3|(x+xy+y),从而3|(x-y).因

2为3是质数,故3|(x-y).进而9|(x-y).由上式又可知,9|3xy,故3|xy.所以3|x或3|y.若3|

x,结合3(x-y),便得3|y;若3|y,同理可得,3|x.

9.连结AN,CN,如图1-103所示.因为N是BD的中点,所以

上述两式相加

另一方面,

S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

因此只需证明

S△AND=S△CNP+S△DNP.

由于M,N分别为AC,BD的中点,所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP.

又S△DNP=S△BNP,所以

S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.

初一奥数练习题二

1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值.

2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件.试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?最大利润是多少元?

3.如图1-96所示.已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°.求证:DA⊥AB.

4.已知方程组 的解应为

一个学生解题时把c抄错了,因此得到的解为

求a2+b2+c2的值.

5.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解.

6.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少?(一年期定期储蓄年利率为5.22%)

7.对k,m的哪些值,方程组 至少有一组解?

8.求不定方程3x+4y+13z=57的整数解.

9.小王用5元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为20分、8分、3分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?

解答:

221.原式=2x(3x-x)+3(3x-x)-2x+2000 =2x×1+3×1-2x+2000=2003.

2.原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利(4+x)元,但每天卖出为(100-10x)件.如果设每天获利为y元,则

222y =(4+x)(100-10x)=400+100x-40x-10x=-10(x-6x+9)+90+400=-10(x-3)+490.

所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大,为490元.

3.因为CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°(图1-104),所以

∠ADC+∠BCD=180°,

所以 AD∥BC.① 又因为 AB⊥BC,②

由①,② AB⊥AD.

4.依题意有

222 所以 a+b+c=34.

5.|x||y|-2|x|+|y|=4,即 |x|(|y|-2)+(|y|-2)=2,

所以(|x|+1)(|y|-2)=2.

因为|x|+1>0,且x,y都是整数,所以

所以有

6.设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则

因为 y=35000-x,

2 所以 x(1+0.0711×3)(1+0.0522)+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761,

所以 1.3433x+48755-1.393x=47761,

所以 0.0497x=994,

所以 x=20000(元),y=35000-20000=15000(元).

7.因为 (k-1)x=m-4, ①

m为一切实数时,方程组有唯一解.当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解. 当k=1,m≠4时,①无解.

所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解.

8.由题设方程得

z=3m-y.

x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m.

原方程的通解为 其中n,m取任意整数值.

9.设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则

消去y,得12x-5z=180.它的解是x=90-5t,z=180-12t.

代入原方程,得y=-230+17t.故x=90-5t,y=-230+17t,z=180-12t.

x=20,y=8,z=12.

因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.

初一奥数练习题三

1.解关于x的方程

2.解方程 其中a+b+c≠0.

3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和.

4.液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72%,求桶的容量.

5.满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个?这里[x]表示不超过x的最大整数,例如[-5.6]=-6,[3]=3.

6.设P是△ABC内一点.求:P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围.

7.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离.

8.黑板上写着三个数,任意擦去其中一个,将它改写成其他两数的和减1,这样继续下去,最后得到19,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,2?

9.设有n个实数x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1就是-1,且

求证:n是4的倍数.

解答:

1.化简得6(a-1)x=3-6b+4ab,当a≠1时,

2.将原方程变形为

由此可解得x=a+b+c.

32

3.当x=1时,(8-6+4-7)(2-1)=1.即所求展开式中各项系数之和为1.

依题意得

去分母、化简得7x-300x+800=0,即7x-20)(x-40)=0,

2

5.若n为整数,有[n+x]=n+[x],所以[-1.77x]=[-2x+0.23x]=-2x+[0.23x]. 由已知[-1.77x]=-2x,所以-2x=-2x+[0.23x], 所以 [0.23x]=0.

又因为x为自然数,所以0≤0.23x<1,经试验,可知x可取1,2,3,4,共4个. 6.如图1-105所示.在△PBC中有BC<PB+PC, ① 延长BP交AC于D.易证PB+PC<AB+AC. ② 由①,② BC<PB+PC<AB+AC, ③ 同理 AC<PA+PC<AC+BC, ④

AB<PA+PB<AC+AB. ⑤

③+④+⑤得AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA).

所以

7.设甲步行速度为x千米/小时,乙步行速度为y千米/小时,则所求距离为(9x+16y)千

米.依题意得

22

由①得16y=9x, ③

由②得16y=24+9x,将之代入③得

22

即 (24+9x)=(12x).解之得

于是

所以两站距离为9×8+16×6=168(千米).

8.答案是否定的.对于2,2,2,首先变为2,2,3,其中两个偶数,一个奇数.以后无论改变多少次,总是两个偶数,一个奇数(数值可以改变,但奇偶性不变),所以,不可能变为19,1997,1999这三个奇数.

所以,k是偶数,从而n是4的倍数.

又因为

初一奥数练习题四

1.已知a,b,c,d都是正数,并且a+d<a,c+d<b.

求证:ac+bd<ab.

2.已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍.因市场变化,乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍.调价后,甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2%,求乙种商品提价的百分数.

3.在锐角三角形ABC中,三个内角都是质数.求三角形的三个内角.

4.某工厂三年计划中,每年产量递增相同,若第三年比原计划多生产1000台,那么每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半,求原计划每年各生产多少台?

z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|, 求z的最大值与最小值.

8.从1到500的自然数中,有多少个数出现1或5?

9.从19,20,21,…,98这80个数中,选取两个不同的数,使它们的和为偶数的选法有多少种?

解答:

1.由对称性,不妨设b≤a,则ac+bd≤ac+ad=a(c+d)<ab.

2.设乙种商品原单价为x元,则甲种商品的原单价为1.5x元.设甲商品降价y%,则乙商品提价2y%.依题意有1.5x(1-y%)+x(1+2y%)=(1.5x+x)(1+2%),

化简得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02. 所以y=0.1=10%,

所以甲种商品降价10%,乙种商品提价20%.

3.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A,∠B,∠C中必有偶数.唯一的偶质数为2,所以∠C=2°.所以∠A+∠B=178°.由于需∠A,∠B为奇质数,这样的解不唯一,如

4.设每年增产d千台,则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d,a,a+d依题意有

解之得

所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台.

5.

7.由|x|≤1,|y|≤1得 -1≤x≤1,-1≤y≤1.

所以y+1≥0,x-2y+4≥-1-2×1+4=1>0.

所以z=|x+y|+(y+1)+(x-2y+4)=|x+y|+x-y+5.

(1)当x+y+≤0时,z=-(x+y)+x-y+5=5-2y.

由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7,所以这时,z的最小值为3、最大值为7.

(2)当x+y>0时,z=(x+y)+(x-y+5)=2x+5.

由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7,所以这时z的最小值为3、最大值为7.

由(1),(2)知,z的最小值为3,最大值为7.

8.百位上数字只是1的数有100,101,…,199共100个数;十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有2×3×10=60(个).个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有2×3×8=48(个).再加上500这个数,所以,满足题意的数共有

100+60+48+1=209(个).

9.从19到98共计80个不同的整数,其中有40个奇数,40个偶数.第一个数可以任选,有80种选法.第一个数如果是偶数,第二个数只能在其他的39个偶数中选取,有39种选法.同理,第一个数如果是奇数,第二个数也有39种选法,但第一个数为a,第二个为b与第一个为b,第二个为a是同一种选法,所以总的选法应该折半,即共有

种选法.

初一奥数练习题五

1.一项任务,若每天超额2件,可提前计划3天完工,若每天超额4件,可提前5天完工,试求工作的件数和原计划完工所用的时间.

2.已知两列数

2,5,8,11,14,17,…,2+(200-1)×3,

5,9,13,17,21,25,…,5+(200-1)×4,

它们都有200项,问这两列数中相同的项数有多少项?

3.求x3-3px+2q能被x2+2ax+a2整除的条件.

4.证明不等式

5.若两个三角形有一个角对应相等.求证:这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比.

6.已知(x-1)2除多项式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1,试求a,b的值.

7.今有长度分别为1,2,3,…,9的线段各一条,可用多少种不同方法,从中选用若干条,使它们能围成一个正方形?

8.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的.问:这10条直线最多能把平面分成多少部分?

9.边长为整数,周长为15的三角形有多少个?

解答:

1.设每天计划完成x件,计划完工用的时间为y天,则总件数为xy件.依题意得

解之得

总件数xy=8×15=120(件),即计划用15天完工,工作的件数为120件.

2.第一列数中第n项表示为2+(n-1)×3,第二列数中第m项表示为5+(m-1)×4.要使2+(n-1)×3=5+(m-1)×4.

所以

因为1≤n≤200,所以

所以 m=1,4,7,10,…,148共50项.

3.

32223x-3px+2q被x+2ax+a除的余式为3(a-p)x+2(q+a),

所以所求的条件应为

4.令

因为

所以

5.如图1-106(a),(b)所示.△ABC与△FDE中,

∠A=∠D.现将△DEF移至△ABC中,使∠A与∠D重合,DE=AE',DF=AF',连结F'B.此时,△

AE'F'的面积等于三角形DEF的面积.

①×②得 2 6.不妨设商式为x+α·x+β.由已知有 432 x+ax-3x+bx+3 22 =(x-1)(x+α·x+β)+(x+1) 22 =(x-2x+1)(x+α· x+β)+x+1 432 =x+(α-2)x+(1-2α+β)x+(1+α-2β)x+β+1. 比较等号两端同次项的系数,应该有

只须解出

所以a=1,b=0即为所求.

7.因为

所以正方形的边长≤11.

下面按正方形边的长度分类枚举:

(1)边长为11:9+2=8+3=7+4=6+5,

可得1种选法.

(2)边长为10:9+1=8+2=7+3=6+4,

可得1种选法.

(3)边长为9:9=8+1=7+2=6+3=5+4,

可得5种选法.

(4)边长为8:8=7+1=6+2=5+3,

可得1种选法.

(5)边长为7:7=6+1=5+2=4+3,

可得1种选法.

(6)边长≤6时,无法选择.

综上所述,共有1+1+5+1+1=9

种选法组成正方形.

8.先看6条不平行的直线,它们最多将平面分成

2+2+3+4+5+6=22个部分.

现在加入平行线.加入第1条平行线,它与前面的6条直线最多有6个交点,它被分成7段,每一段将原来的部分一分为二,故增加了7个部分.加入第2,第3和第4条平行线也是如此,即每加入一条平行线,最多增加7个部分.因此,这些直最多将平面分成

22+7×4=50

个部分.

9.不妨设三角形的三边长a,b,c满足a≥b≥c.由b+c>a,a+b+c=15,a≥b≥c可得,15=a+(b+c)>2a,所以a≤7.又15=a+b+c≤3a,故a≥5.于是a=5,6,7.当a=5时,b+c=10,故b=c=5;当a=b时,b+c=9.于是b=6,c=3,或b=5,c=4;当a=7时,b+c=8,于是b=7,c=1,或b=6,c=2,或b=5,c=3,或b=4,c=4.

所以,满足题意的三角形共有7个.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com