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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试题

发布时间:2013-11-24 13:43:47  

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第 2005年4月17日 上午8∶30至10∶30

一、选择题:(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母

填在每题后面的圆括号内。)

1.如果(a?b)2?(a?b)2?4,则一定成立的是( )

(A)a是b的相反数 (B)a是?b的相反数 (C)a是b的倒数 (D)a是?b的倒数 2试题

72时,式子(x?2)?2(2?2x)?(1?x)(1?x)的值等于( ) 12

234923(A)? (B) (C)1 (D) 7272722.当x??

3.从不同的方向看同一物体时,可能看到不同的图形,其中,从正面看到的图叫主视图,从左面看到的图叫左视图,从上面看到的图叫俯视图。由若干个(大于8个)大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图1所示,则这个几何体的左视图不可能是( )

主视图

俯视图

图 1

(A)

(B)

(C)

(D)

4.如图2所示,在矩形ABCD中,AE?BG?BF?

在同一条直线上,则阴影部分的面积等于( )

(A)8 (B)12 (C)16 (D)

20 11AD?AB?2,E、H、G23AF

B图 2C

5.In a triangle,if measures of three angles are x,2x and 3x respectively,then the measure of the largest angle is ( )

(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°

(英汉词典 triangle:三角形。measure:量度。the largest angle:最大角)

6.If we have a<0,a?b<0 and a?b<0,then the points in real number axis, given b

by a and b, can be represented as ( ) (A)a ob (B)a ob (C)

boa (D)ba

7.方程x?2?x?3?6的解的个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3338.如果a?b??a?b,那么下列不等式中成立的是( ) 3

(A)a>b (B)a<b (C)a≥b (D)a≤b

9.如图3,两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )

(A)630° (B)720° (C)800° (D)900°

A13F4G5H2BC图 36D

10.若大于1的整数n可以表示成若干个质数的乘积,则这些质数称为n的质因数,则下面四个命题中正确的是( )

(A)n的相反数等于n的所有质因数的相反数之积

(B)n的倒数等于n的所有质因数的倒数之积

(C)n的倒数的相反数等于n的所有质因数的倒数的相反数之积

(D)n的相反数的倒数等于n的所有质因数的相反数的倒数之积

二、填空题

11.若x?0.7是方程ax?15?的解,则a=_________。 23

12.张师傅加工一批同样类型的零件,他用A车床加工了这批零件的二分之一后,再用B车床加工余下的零件,共用了4小时。已知用B车床比用A车床每小时可以多加工8个零件,后两个小时比前两个小时多加工了12个零件。张师傅加工零件的总数是________个。

43213.如果x?2x?3,那么x?7x?8x?13x?15?__________。 2

14.两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则xy?3xy?1?_______。

15.If two rational numbers x,y satisfy x?y?3 and xy?x?0,then x =_________。 (英汉词典 rational number:有理数)

16.小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯各若干袋,用了340元。葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元和42元。小明的妈妈至少买了_____袋果脯,其中苹果果脯是________袋。

17.地球陆地总面积相当于海洋总面积的41%,北半球的陆地面积相当于其海洋面积的65%,那么,南半球的陆地面积相当于其海洋面积的_________%(精确到个位数)。 222

18.在公路上汽车A、B、C分别以每小时80、70、50公里的速度匀速行驶,A从甲站开往乙站,同时,B、C从乙站开往甲站。A在与B相遇后两小时又与C相遇,则甲、乙两站相距__________公里。

19.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如3|12表示3整除12,那么满足x|(y?1)与y|(x?1)的正整数组(x,y)共有________组。

20.用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺设广场,中间的正六边形瓷砖记为A,定义为第一组,在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖,定义为第二组,在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满,定义为第三组,?,按这种方式铺下去,用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组,此时还剩余__________块瓷砖。

图 4

三、解答题:(要求:写出推算过程)

21.请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图(经过平移或旋转后能够重合的,算作一种)。

22.已知非负实数x,y,z满足

大值与最小值。

x?12?yz?3,记W?3x?4y?5z,求W的最??234

23.如图6(a)是一个3?3的网格,其中放了“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字块,但是放错了顺序。问:

是否可以移动网格中的字块,将图6(a)中所示的八个字块校正成图6(b)中所示的八个字块。如果能,请写出操作过程;如果不能,请说明理由。

要求:在每次移动网格中的字块时,只能将字块滑动到相邻的空的网格中。

希望杯学数竞赛题(a)图 6希望杯数(b)学竞赛题

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中一年级 第2试

一、选择题(每小题5分)

二、填空题(每小题5分,含两个空的,前空3分,后空2分)

三、解答题

21.答案不惟一. (每做对一图得2分)

22、设

x?12?yz?3

???k,则x?2k?1,y??3k?2,z?4k?3.(3分) 234

因为 x,y,z均为非负实数。

?2k?1?0,?所以??3k?2?0,

?4k?3?0?

12解得:??k?(5分)23

于是:W?3x?4y?5z

?3(2k?1)?4(3k?2)?5(4k?3)

?14k?26(5分)

12所以??14?26?14k?26??14?26,(7分)23

所以W的最小值是19,最大值是35

23.不能.

理由如下: 1 (10分) 3

(1)将“希、望、杯、数、学、竟、赛、题”八个字编号,分另q是1.2、3、4、5、6、7、8,则图6(8)变为图(c),调整汉字就是调整这些数字. (1分)

(2)将3×3网格中的数字从左至右、从上往下排成一个八位数,则图(c)对应的八位数是 12354678,其中,数字5排在了4的左端,则称这

个八位数有一个逆序。一个网格所对应的八位

数的逆序的总数称为这个网格的“逆序量”.例

如:图(c)的“逆序量”是1;图(d)对应的八位数

是12357468,其中,5的右端有1个数字4比5

小,7的右端有2个比7小的数字4和6,所以图

(d)的“逆序量”是3. (3分)

(3)两个相邻数字交换位置,逆序的改变量只能是1或一1. (5分)

(4)在同一行中,按照要求调整数字时,数字只能左右移动,移动前后的网格所对应的八位数完全相同,“逆序量”不发生变化,或称“逆序量”的改变是0. (6分)

如果按照要求,将数字移动到相邻的行中,相当于在网格所对应的八位数中,将某个数字向左(或向右)跳过了两个数字,既然两个相邻数字交换位置,逆序的改变量只能是l或一1,那么,交换两个数字逆序的改变量只能是2或者是0或者是一2. (8分)

如由图(c)到图(d)。相应的八位数由12354678调整为12357468,相应的“逆序量”由1改变为3.改变量是2.

(5)按照要求移动汉字时,逆序的改变量是偶数,不会改变网格的“逆序量”的奇偶性·

(9分) 但是,图6(a)的“逆序量”是奇数,图6(b)的“逆序量”是偶数,所以 不能按要求将图6(a)调整为图6(b)。

(10分)

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