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高二数学竞赛试题数学竞赛题及答案

发布时间:2013-11-25 13:37:13  

高二数学竞赛试题

第一试 选择题(20?5=100分)

1.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )

A 4x?2y? 5B 4x?2y?5 C x?2y?5 D x?2y?5

2.直线xcos?+y+m=0的倾斜角范围是 ( )

??3?????????3????????3?? A. ?,? B. ?0,???,?? C. ?0,? D. ?,???,? ?4??44??4??4??42??24?

3.已知直线3和6互相平行,则它们之间的距离是( ) x?2y?3?0x?my?1?0

A. 4 B.257 C. D. 132626

24.如果函数f(x)?x?2(a?1)x?2在区间???,4?上单调递减,那么实数a取值范围是:

A、a??3 B、a??3 C、a?5 D、a?5

5

.方程y? )

A 一条射线 B 一个圆 C 两条射线 D 半个圆

6.如果直线x-my+2=0与圆x?(y?1)?1有两个不同的交点,则( )

A.m≥223 4B.m>3 4C.m<3 4D.m≤3 4

7.设a,b,c分别是△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·x+ay+c=0 与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是( )

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

?1?5?x

8.函数f(x)??x?5?1x?0x?0,则该函数为( )

A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数

C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

9.设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( )

2

2 2 2

3 1

1 正视图 侧视图 俯视图(圆和正方形)

A. 4+5?3?? B. 4+ C. 4+ D. 4+? 222

10.某程序框图如右图所示,现将输出(x,y)值依

次记为:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),?;若程序运行中

输出的一个数组是 (x,?10),则数组中的x?( )

A.64 B.32 C.16 D.8

11.已知??

[5?3?,] ) 42

A.2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos?

12.在平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1上恒有ax?2by?2,则动点??

P(a,b)所形成平面区域的面积为( )

A. 4 B.8 C. 16 D. 32

13. 已知a?[?1,1],则x?(a?4)x?4?2a?0的解为( )

A. x?3或x?2 B. x?2或x?1 C. x?3或x?1 D. 2

1?x?3

14.点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上使|AP|-|BP|最大,则P的坐标为( )

A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)

?2x?y?2?0?2215.如果点P在平面区域?x?2y?1?0上,点Q在曲线x?(y?2)?1上,那么PQ 的最小

?x?y?2?0?

值为( )

(A)5?1 (B)4

5?1 (C)22?1 (D)2?1

16.两平行直线分别过(1,5),(-2,1)两点,设两直线间的距离为d,则( )

A.d=3 B.d=4 C.3≤d≤4 D.0<d≤5

17.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )

A. x B. 2 C x D. 3 ?2y?5?0x?y?4?0?3y?7?0x?y?5?0

18.直线l1与l2关于直线x +y = 0对称,l1的方程为y = ax + b,则l2的方程为 ( )

A.y?xbxb? B.y?? aaaa

222C.y?x1? abD.y?2x?b a19.M(x0,y0)为圆x+y=a(a>0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a与该圆的位置关系是( )

A.相切 B.相交

20.已知函数f(x)?sin(2x?C.相离 D.相切或相交 ????)?m在?0,?上有两个零点,则m的取值范围为( ) 6?2?

A. ??1??1??1??1?, 1? B ?, 1? C. ?, 1? D. ?, 1? ?2??2??2??2?

第二试 填空题(20?5=100分)

21.已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N,且A?B?N?{1},则a?b?__________.

22.已知正项等比数列{an}的公比q?1,且a2,a4,a5成等差数列,则

23.已知数列{an}满足:a1为正整数,

?an?,an为偶数,an?1??2 ??3an?1,an为奇数,

如果a1?a2?a3?29,则a1?. a1?a4?a7? . a3?a6?a9

????

24. 向量a?(1,sin?),b?(cos?,??R,则a?b的取值范围为 。

25. 空间四点 A ,B ,C ,D两两间的距离均为1,点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动,则点 P 与点Q间的最小距离为____________; ??????????????????0?OP?OA?126.向量OA??1,0?,OB??1,1?,O为坐标原点,动点P?x,y?满足?,则点??????????0?OP?OB?2

Q?x?y,y?构成的图形的面积 为__________.

27. 设有非空集合A??1,2,3,4,5,6,7?且当a?A时,必有8?a?A,这样的集合A的个数是__________.

28.用不等式组表示以点(-3,-1)、(1,3)、(3,-3)为顶点的三角形内部,该不等式组为 __________.

?x?1?y?1?29. 已知M,N是?所围成的区域内的不同两点,则|MN|的最大值是__________. ..x?y?1?0???x?y?6

?x?y?2?0y?30.已知变量x,y满足约束条件?x?1,则的取值范围是__________. x?x?y?7?0?

31.已知点P?2,?3?,Q?3,2?,直线ax+3y+2=0与线段PQ相交,则实数a的取值范围

是 __________.

32.若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为 .

33.若点N(a,b)满足方程关系式a+b-4a-14b+45=0,则u?

为__________.

22b?3的最大值 a?2

34.设P(x,y)为圆x+(y-1)=1上任一点,要使不等式x+y+m≥0恒成立,则m的取值范

围是__________.

2235.圆x+y+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=__________.

36.两直线(m?2)x?y?m?0,x?y?0与x轴相交且能构成三角形,则m满足的条件是 .

37.已知点A(-5,4)和B(3,2),则过点C(-1,2)且与A,B的距离相等的直线方程为__________.

38.已知关于x的方程lg?kx??2lg?x?1?仅有一个实数解,则实数k的取值范围是__________.

39.在△ABC中,角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b,且C?2A,则sinA?__________.

40.在△ABC中,AB?BC?2,AC?3.设O是△ABC的内心,若AO?pAB?qAC,则为__________.

p的值q22

数学竞赛答案

一.选择题 1~5 BBDAD

6~10 BCA AB

11~15 DACBA

16~20 DABCC

二、填空题

21. 1

22.3? 2

23. 5 24. [1,3] 25. 2 26. 2 2

?y?x?2?0?27. 15 28.?y?3x?6?0

?3y?x?6?0?

29. ?87? 30. [9 ,6] 31.?, 5???32?

32. x+y-5=0 或x-y+1=0 33. 2 + 3 34. [-1,+∞) 35. 2

36. m≠0且m≠-2且m≠-3 37. x=-1或x+4y-7=0

38. (-∞,0] ∪{4} 39.

73 40. 24

1.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( B )

A 4x?2y? 5B 4x?2y?5 C x?2y?5 D x?2y?5

2.直线xcos?+y+m=0的倾斜角范围是 ( B )

??3?????????3????????3?? A. ?,? B. ?0,???,?? C. ?0,? D. ?,???,? 444444224????????????

3.已知直线3和6互相平行,则它们之间的距离是( D ) x?2y?3?0x?my?1?0

A. 4 B.

2257 C. D. 1326264.如果函数f(x)?x?2(a?1)x?2在区间???,4?上单调递减,那么实数a取值范围是:

A、a≤?3 B、a≥?3 C、a≤5 D、a≥5 A

5

.方程y? D )

A 一条射线 B 一个圆 C 两条射线 D 半个圆

6.如果直线x-my+2=0与圆x?(y?1)?1有两个不同的交点,则(B )

A.m≥223 4B.m>3 4C.m<3 4D.m≤3 4

7.设a,b,c分别是△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是( C )

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

?1?5?x

8.函数f(x)??x?5?1x?0x?0,则该函数为( A )

B. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数

C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。

9.设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )

2

2 2 2

3 1

1

正视图 侧视图 俯视图(圆和正方形)

A. 4+5?3?? B. 4+ C. 4+ D. 4+? 222

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(

为2?2?1?3???),所以该几何体的体积2?

2?4?5?。正确答案为A。 2

10.某程序框图如右图所示,现将输出(x,y)值依

次记为:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),?;若程序运行中

输出的一个数组是 (x,?10),则数组中的x?( B )

A.64 B.32 C.16 D.8

答案 经计算x?32。正确答案为 B。

11.已知??[

A.2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos?

解答:因为5?3?,],则42可化简为( D ??[5?3?,]42,所以

cos??sin??cos??sin?

?2co?s。正确答案为D。

12.在平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1上恒有ax?2by?2,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为( A )

A. 4 B.8 C. 16 D. 32

解答:平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满足ax?2by?2,即有 ????

a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2

由此计算动点P(a,b)所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。

13. 已知a?[?1,1],则x?(a?4)x?4?2a?0的解为( C ) 2

A. x?3或x?2 B. x?2或x?1 C. x?3或x?1 D. 1?x?3

解答:不等式的左端看成a的一次函数,f(a)?(x?2)a?(x?4x?4)

由f(?1)?x?5x?6?0,f(1)?x?3x?2?0?x?1或x?3。

正确答案为C。

14.点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上使|AP|-|BP|最大,则P的坐标为( B )

A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 222

?2x?y?2?0?2215.如果点P在平面区域?x?2y?1?0上,点Q在曲线x?(y?2)?1上,那么PQ 的最小

?x?y?2?0?

值为( A )

(A)5?1 (B)4

5?1 (C)22?1 (D)2?1

( ) 16.两平行直线分别过(1,5),(-2,1)两点,设两直线间的距离为d,则

A.d=3 B.d=4 C.3≤d≤4 D.0<d≤5

17.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )

A. x B. 2 C x D. 3 ?2y?5?0x?y?4?0?3y?7?0x?y?5?0

18.直线l1与l2关于直线x +y = 0对称,l1的方程为y = ax + b,则l2的方程为 ( B )

A.y?xbxb? B.y?? aaaaC.y?x1? abD.y?x?b a

19.M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( C )

A.相切

20.已知函数f(x)?sin(2x?B.相交 C.相离 D.相切或相交 ????)?m在?0,?上有两个零点,则m的取值范围为( C ) 6?2?

A. ??1??1??1??1?, 1? B ?, 1? C. ?, 1? D. ?, 1? ?2??2??2??2?

解答:问题等价于函数f(x)?sin(2x?????)与直线y?m在?0,?上有两个交点,所以m的取值6?2?

范围为?, 1?。正确答案为C。

21.已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N,且A?B?N?{1},则a?b?

22.已知正项等比数列{an}的公比q?1,且a2,a4,a5成等差数列,则

23.已知数列{an}满足:a1为正整数, ?1?2??3?a1?a

4?a7?. a3?a6?a92

an?1?an?,an为偶数, ??2??3an?1,an为奇数,

如果a1?a2?a3?29,则a1?

????

24. 向量a?(1,sin?),b?(cos?,??R,则a?b的取值范围为 [1,3] 。[来源:学,

科,网]

??解答:a?b??

,其最大值为3,最小值为1,取值范围为[1,3]。

25. 空间四点 A ,B ,C ,D两两间的距离均为1,点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动,则点 P 与点Q间的最小距离为______

??????????????????0?OP?OA?126.向量OA??1,0?,OB??1,1?,O为坐标原点,动点P?x,y?满足?,则点??????????0?OP?OB?2

Q?x?y,y?构成的图形的面积 为 2

27. 设有非空集合A??1,2,3,4,5,6,7?且当a?A时,必有8?a?A,这样的集合A的个数是_______15______;

28.用不等式组表示以点(-3,-1)、(1,3)、(3,-3)为顶点的三角形内部,该不等式组为 2______; 2y?x?2?0

y?3x?6?03y?x?6?0

?x?1?y?1?29. 已知M,N是?所围成的区域内的不同两点,则|MN

|..?x?y?1?0

??x?y?6?x?y?2?0y?30.已知变量x,y满足约束条件?x?1,则的取值范围是_[9/5,6]_____. x?x?y?7?0?

31.已知点P?2,?3?,Q?3,2?,直线ax+3y+2=0与线段PQ相交,则实数a的取值范围 是_???41?,?___; ?32?

32.若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为

33.若点N(a,b)满足方程关系式a2+b2-4a-14b+45=0,则u?

为2?b?3的最大值 a?23.

34.设P(x,y)为圆x2+(y-1)2=1上任一点,要使不等式x+y+m≥0恒成立,则m的取值范 围是[2?1,??) .

35.圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k

36.两直线(m?2)x?y?m?0,x?y?0与x轴相交且能构成三角形,则m满足的条件是

37.已知点A(-5,4)和B(3,2),则过点C(-1,2)且与A,B的距离相等的直线方程为或4y+x-7=0

gx?38.已知关于x的方程lg?kx??2l??1仅有一个实数解,则实数k的取值范围是

???,0???4?.

39.在△ABC中,角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b,且C?2A,则sinA

?. p的值q40.在△ABC中,AB?BC?2,AC?3.设O是△ABC的内心,若AO?pAB?qAC,则

为3. 2

三、解答题

20、(12分)过点P(4,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B,当?AOB(O

为原点)的面积S最小时,求直线l的方程,并求出S的最小值

解: 设a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线l的方程为:xy??1,又?P(4,1)在直线l上,ab

?414141,?ab?16,?S?ab?8,等号当且仅当??1,又?1???2abab2ab

411??,即a?8,b?2时成立,∴直线l的方程为:x+4y-8=0, Smin = 8 ab2

21.光线从Q?2,0?发出射到直线l:x+y=4上的E点,经l反射到y轴上F点,再经y轴反射又回到Q点,求直线EF的方程。

解:设Q关于y轴的对称点为Q1,则Q1的坐标为?-2,0?

设Q关于l的对称点为Q2?m,n?,则QQ2中点为G(m?2n,),G在l上 22

m?2nn??4, ① 又QQ2?l,??1 ② 由①②得Q2(4,2) 22m?2

1由物理学知识可知,Q1、Q2在直线EF上,?kEF?kQ1Q2? 3

1 ?直线EF方程为:y?(x?2),即x?3y?2?0 3?

2216:直线l经过点P(5,5),且与圆C:x?y?

25相交,截得弦长为l的方程

解:由题意可知直线的斜率存在,可设l的方程为:

y?5?k(x?5) 即:kx?y?5?5k?0

22 又由圆C:x?y?25截直线l

的弦长为 则圆心到直线l

? 解得k?2或k?1 代入所设l的方程化简为:2x?y?5?0或x?2y?5?0 2

17.一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,

被x轴反射到⊙C:x2+y2-4x-4y+7=0上.

(1)求反射线通过圆心C时,光线l的方程;

(2)求在x轴上,反射点M的范围.

解: ⊙C:(x-2)2+(y-2)2=1

(Ⅰ)C关于x轴的对称点C′(2,-2),过A,C′的方程:x+y=0为光线l的方程.

(Ⅱ)A关于x轴的对称点A′(-3,-3),设过A′的直线为y+3=k(x+3),当该直线与⊙C相 切时,有2k?2?3k?3

?k2?1?k?34或k? 43

∴过A′,⊙C的两条切线为y?3?

x1??43(x?3),y?3?(x?3) 令y=0,得 343,x2?1 ∴反射点M在x轴上的活动范围是??3,1? ?4?4??

20.如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是关于x的方程

2x-14x+4(|AB|+2)=0的两个根(|OA|<|OB|),P为直线l上异于A、B两点之间的一动点. 且PQ∥OB交OA于点Q.

(1)求直线lAB斜率的大小;

(2)若S?PAQ?1S四OQPB时,请你确定P点在AB上的位置,并求出线段PQ的长; 3

(3)在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标; 若不存在,说明理由.

解: (1)由

?OA?OB?14?AB2?8AB?180?0?AB?10? ?OA?OB?4(AB?2)

?OA?644进而得??tan?BAO?.??BAO?arct33?OB?8.

(2) ?S?APQ?S?PAQ11AP21AP1S四OQPB?S?PAQ?S?AOB??()??? 34S?AOBAB4AB2

即P为AB的中点, ∴PQ=1BO=4 . 2

(3)由已知得l方程为4x+3y=24 (*)

①当∠PQM=90°时,由PQ∥OB 且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合,设Q(a,0)则P(a,a)

有(a,a)代入(*)得a=24. 7

7

124②当∠MPQ=90°,由PQ∥OB 且|MP|=|PQ|设Q(a,0)则M0, a), P(a,a)进而得a= 2

③当∠PMQ=90°,由PQ∥OB,|PM|=|MQ| 且|OM|=|OQ|= |PQ|

设Q(a,0)则M(0,a)点P坐标为(a,2a)代入(*)得a=

综上所述,y轴上有三个点M1(0,0),M2(0, 12. 52412)和M3(0,)满足使△PMQ为等腰直角三角形. 75

9.已知数列?an?满足an?1?an?1?n?n?N*?,且a2?6。[来源:Zxxk.Com] an?1?an?1

(1)求数列?an?的通项公式;

(2)设bn?ann?N*?,c为非零常数,若数列?bn?是等差数列,记?n?c

cn?bn,Sn?c1?c2???cn,求S

n. n2

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