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小学奥林匹克数学竞赛辅导——估算技巧和运用

发布时间:2013-11-25 13:39:15  

估算技巧和运用

在我们的日常生活与工作学习中,有时要对很多情况做个大概的估计,比如说判断某人的身高或年龄,考试结束后估计一下成绩等等。同样,在处理数学问题时,我们也会遇到不必求出精确答案,或者说有时根本无法求解的情况,这时,只要我们根据所学的知识,估算出一个相对精确或符合要求的值就可以了。但即使是这样,仍不是一件很容易的事,所以我们应当学习一点估算的技巧,掌握一些估算运用的方法。这一课主要来讲一些估算技巧和运用方面的知识。

【例1】框算一下(不用笔算):0.495×20.1+

号里填整数)

[分析]0.495×20.1≈0.5×20=10

1×10.0l的结果在( )左右。(括21×10.01≈1×10=5

22

10+5=15

[解]原式的结果在15左右。

点评:有时在要求很快得到算式的结果,或者检验计算结果是否正确时,我们经常采用省略尾数取近似值的方法来进行估算。

【例2】老师在黑板上写了13个自然数,让小明计算它们的平均数,(得数保留两位小数),小明算出的答案是12.43,老师说:“最后一位数字错了,其它数字都对。”正确的答案是什么?

[分析]根据老师说的话和小明算出的答数,可以估计出正确答案在12.40与12.49之间,从而进一步估计原来13个数的总和在161.2(12.40×13)与162.37(12.49×13)之间,由于原来13个数都是自然数,所以它们的总和应该是整数162。

[解]正确的答案是162÷13≈12.46

点评:可以通过确定最小值和最大值之间的范围从而找到准确值。在估算时,往往要根据题意进行分析,推理,估计出大致的取值范围,以便进一步找出答案。

【例3】学校组织学生参加夏令营,先乘车,每个人都要有座位,这样需要每辆有60个座位的汽车4辆,而后乘船,需要定员为70人的船的至少3条,到达营地后分组活动,分的组数跟每组的人数恰好相等,这个学校参加夏令营的人有多少?

[分析]由“每辆有60个座位的汽车4辆”,可知,参加夏令营的人数在(60×3+1)181~(60×4)240人之间;由“需要定员为70人的船至少3条”,可知,参加夏令营的人数在(70×2+1)141~(70×3)210人之间,由于参加夏令营的人数前后不变,因此综合以上两个人数范围,夏令营的人数应在181~210人之间,又由“分的组数跟每组的人数恰

好相等”可知,参加夏令营的人数一定是个完全平方数,而181~210之间只有196是完全

222平方数(13=169,14=196,15=225)符合条件。

[解]答:这个学校参加夏令营的人有196人。

点评:解答的关键也是估计取值的范围,我们必须综合多种情况来估算出符合条件的范围。

【例4】求出1357902468÷8642097531的商精确到小数点后3位数的近似值。

[分析]真正要计算出这个算式的商,再取近似值,就太复杂了。由于题目要求精确到小数点后三位数,所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。

[解]被除数和除数各取前两位:14÷86≈0.1628>原式>13÷87≈0.1494,无法确定原式小数后三位的近似值必须缩小范围。

136÷864≈0.1574>原式>135÷865≈0.1561, 被除数和除数各取前三位:仍无法确定,

再缩小范围。

被除数和除数各取前四位:1358÷8642≈0.1571>原式>1357÷8643≈0.1570,因此,所求商的近似值是0.157。

答:商精确到小数点后3位数的近似值是0.157。

点评:若被除数缩小,除数扩大,则商变小;若被除数扩大,除数缩小,则商变大。利用这一点,使用放缩法能估算出除法商的范围,有时还需要合理调整取值范围。

【例5】求1110+1210+1310+??+2110的整数部分。

100102103110

[分析]从条件可知,这11个带分数的和,可以先把每个分数拆成一个整数和一个真分数,然后把11个整数和11个分数分别相加后,再相加,因11+12+13??+21=176,要求它的整数部分是多少,只要求出

道了。

[解]先放大:因为10+10+10+??+10的整数部分就可以知10010210311010<10,10<10,??10<10,

101100102100101100

10+10+10+??+10 100102103110 所以

101010 ++?+10×11+1.1<2 100100 <100?????????=1001011个100

再缩小:因为10>10,10>10,?10>10,?

100110101110102100

10+10+10+??+10 100102103110 所以

101010+ +?+ 10×11=1 110110 >100?????????=1101011个110

由此可知1<10+10+10+??+10<2

100102103110

从而10+10+10+??+10的整数部分是1

100102103110

所以原式的整数部分是177。

小结:估算是运用各种运算技巧所进行的快速近似计算,估算常用的方法和技巧是: (1)用省略尾数取近似值的方法进行估算。

(2)用“放缩法”来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。

[练习]

(1)五名选手在一次数学竞赛中共得404分,每人得分互不相等,并且其中得分最高的选手得90分,那么得分最低的选手至少得多少分?(每位选手的得分都是整数)

(2)有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数,那么第19个数的整数部分是几?

(3)8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?

(4)一个四位数6□□6能被134整除,求这个四位数除以134的商。

11111 (5)求++++的整数部分。

34567

1

(6)已知S=1111,求S的整数部分。 ????1980198119821991

(7)计算12345678910111213÷31211101987654321,它的小数点后前三位数字是多少? (8)一本书的中间一张被撕掉了,余下的页数的和正好等于1000。

求(1)这本书有多少页? (2)撕掉的是哪一张?

111,1中,选出若干个数,使得它们的和大于3,至少要 (9)在1,,??,2399100

选几个数?

(10)在方框里分别填入两个相邻的整数,使下面不等式成立:

□<(10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)×5<□。

11121314151617181920

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