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2013年勤学杯数学学科竞赛试题

发布时间:2013-11-26 08:45:37  

号学

题 答 名 姓要 不 内 线 封 : 级密班业专名院学 考试试卷

组卷教师:慕运动 适应范围: 在校各年级各专业所有学生

考试方式:闭 卷 本试卷考试分数占总评成绩的100 %

一、选择题(每小题3分)

密 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃1. 已知极限limx?arctanxx?0

x

k

?c,其中k,c为常数,且c?0,则( )

(A) k?2,c??12 (B) k?2,c?111

2 (C) k?3,c??3 (D) k?3,c?3

2. 曲面x2

?cos(xy)?yz?x?0在点(0,1,?1)处的切平面方程为( )

(A)x?y?z??2 (B)x?y?z?0 (C)x?2y?z??3 (D)x?y?z?0

3. 曲线y?2

x2?1

渐近线的条数( )

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃(A)0; (B)1; (C)2; (D)3。

4. 如果函数f(x,y)在(0,0)处连续,那么下列例题正确的是( )

(A)若极限(x,limf(x,y)

y)?(0,0)|x|?|y|

存在,则f(x,y)在(0,0)处可微;

(B)若极限(x,limf(x,y)

y)?(0,0)x2?y2

存在,则f(x,y)在(0,0)处可微;

线(C)若f(x,y)在(0,0)处可微,则极限f(x,y)

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃(x,limy)?(0,0)|x|?|y|

存在; (D)若f(x,y)在(0,0)处可微,则极限f(x,y)

(x,limy)?(0,0)x2?y2

存在。

5. 设A, B, C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则( ) (A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价; (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价; (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价;

(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价。

《数学竞赛》考试试卷 第1页 ( 共4页 )

?1a1??206. 矩阵??aba??与?0??0b0?

?相似的充分必要条件为( )

??1a1????000??

(A)a?0,b?2 (B)a?0,b 为任意常数 (C)a?2,b?0 (D)a?2,b 为任意常数

7.设X22

1,X2,X3是随机变量,且X1?N(0,,1)X2?N(0,2),X3?N(5,3),Pi?P??2?X1?2?(i?1,2,3),则( )

(A)P1?P2?P3 (B)P2?P1?P3 (C)P3?P2?P2 (D)P1?P3?P2 8. 将长度为1m的木棒随机的截成两段,则两段长度的相关系数为( ) (A)1; (B)1; (C)?1; (D)?1。

二、填空题(每小题3分)

9. 设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定,则limn[f(1n?0

n

)?1]=。

10. 已知y1=e3x –xe2x,y2=ex –xe2x,y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解y= 。 11. 求极限limn?

?1?n2?1?1n2?2

2?...?1?n??

n2?n2??=_____________。 12. 设z?f??lnx?1??

, 其中函数

f(u)可微,则x

?z?x?y2?z

?y

?________。 ?

y?

13. 设x为三维单位向量,E为阶单位矩阵,则矩阵E?xxT的秩为。

14.设A,B,C是随机事件,A,C互不相容,P(AB)?2,P(C

)?3

,则P()?。

三、计算题

15.(本题满分8分)已知函数f(x)?

1?xsinx?1

x,

,记a?limx?0f(x)

(1)求a的值;(2)若当x?0时,f(x)?a是xk

的同阶无穷小,求k.

《数学竞赛》考试试卷 第2页 ( 共4页 )

16.(本题满分10分)计算?

1

f(x)0

x

dx,其中f(x)=?

x

ln(t?1)

1

t

dt.

17. (本题满分10分) 设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:

(1)存在??(0,1),使得f?(?)?1. (2)存在??(?1,1),使得f??(?)?f(??)?1.

18. (本题满分10分) 设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点将L绕z轴旋转一周得到曲面?,?与平面z?0,z?2所围成的立体为?。(1)求曲面?的方程;(2)求?的形心坐标。

《数学竞赛》考试试卷 第3页 ( 共4页 )

x2?y219.(本题满分10分) 求f?x,y??xe?

2

的极值。

20.(本题满分10分) 计算二重积分??xyd?,其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成。

D

21.(本题满分10分)设A???1a??,B???01?

?1b?,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求

?10??

所有矩阵C。

?22.(本题满分10分)设随机变量X的概率密度为f(x)??1?ax2

,0?x?3,

令随机变量

??0,其他?2,

x?1,Y??

?x,1?x?2,(1)求Y的分布函数;(2)求概率P?X?Y?.

??

1,x?2

《数学竞赛》考试试卷 第4页 ( 共4页 )

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