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全国初中数学竞赛试题及答案(2005年)

发布时间:2013-11-26 08:45:41  

2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题:(每题7分,共42分)

1

的结果是__。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

3、设r≥4,a=1-1,b

, rr+1c

=,则下列各式一定成立的是__。 A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外

公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。

A

、 B

、 C

D

5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,

记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q大小关系不能确定 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005

22222+x2+x3+x4+x5-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则x1的未位数字是__。

A、1 B、3 C、5 D、7

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。

2,则x=___。

3、若实数x、y满足x+y=1,x+y=1,则x+y=__。 33+4333+6353+4353+63

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-

B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。

三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数,ac<0

,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于3而小于1的根。 4

2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题:(每题7分,共42分)

1

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

??? 15???14 所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为

__。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

解:由题意得:

2222 5+14-2×5×14×cosα=10+11-2×10×11×cos(180°

-α)

∴221-140cosα=221+220 cosα

∴cosα=0

∴α=90°

∴四边形的面积为:5×7+5×11=90

∴选C

3、设r≥4,a=-1

r1,b

=,c

,则下列各式一定成r+1立的是__。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

解法1:用特值法,取r=4,则有

25?1.0361111??? a=-?,b

= , 4520?521.18c

???∴c>b>a,选D

解法2:a=-?1

r1?1,

r?1rr?1

b

??

c

?

r?4,?r?r??1

?

?

r

?

r

?r?r?1??

  ?

r11?1??1

?

?

故r,??r

ar

b

r?

??r0

D

r

故b?c,综上所述:?a?b选 

,c

<1

解法3:∵r≥4

∴a???b

c

???b

∴a<b<c,选D

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。

A BC

D

2

解:由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积 ∴??1?2AB,?

AB?

?

2

垂径定

?2??

42 ∴选D

2

5、已知二次函数f(x)=ax+bx+c的图象如图所示, 记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p>q B、p=q C、p<q D、p

、q大小关系不能确定

解:由题意得:a<0,b>0,c=0

∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b| 又?

b

?1,??b?2a,?2a?b?0,从而a?b??a?0 2a

∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a, q=|a+b|+|2a-b|= a+b+b-2a=2b-a

∴p<q,选C 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=24,则x1+x2+x3+x4+x5的未位数字是__。

A、1 B、3 C、5 D、7

解:因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数

22

而将24分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式:24=2·(-2)·4·6·(-6)

所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)

22 2222

所以(2005-x1)+(2005-x2)+(2005-x3)+(2005-x4) +(2005-x5) =2+(-2)222 2

+4+6+(-6)=96

展开得:5?2005-4010x1+x2+x3+x4+x5+x1+x2+x3+x4+x5?96

22222?x1+x2+x3+x24+x5=96-5?2005+4010?x1+x2+x3+x4+x5?         ?1?mod10?,选 A

2

2

22222

???

22222

?

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。

解:(3×1+3×2+……3×33)+(5×1+5×2+……5×20)-(15×1+15×2+……15×6)=1683+1050-315=2418

2

,则x=___。

∵x≠0,

?2

两边平方化简得:7x?2? ,

12或x??4(舍去) 73

yyxx3、若实数x、y满足33+33=1,33+33=1,则x+y=__。

3+43+65+45+6

再平方化简得:21x?8x?48=0,解之得x?

2

解法1:假设x+y=a,则y=a-x

33

??33?6?x+?3?

即?6?4?x??3?

3

3

33??53?6?x+?5?

3

3

3

即?6?4?x??5?

3

a?x???-?4

a???3??4

a?x???-?4

a???5??4

33

2

33

2

32

?33??63??3?

3

3

3?3

3

43,

3

3

4??3?6  ?4?5?3

3

3

3

63

1

?53??63??5?

3

43,

3

3

3

4??5?6  ?4?

63

2

?2?-?1?得:

?3?a??5???3???53?33??43??53?33??63 

?a?33?43?53?63=432

3

3

32

?5

解法2:易知33、53是关于t的方程

2

xy

??1的两根 33

t?4t?6

3

化简得:t?x?y?4?6t?6x?4y?4?6

?

3

??

3333

??0

由韦达定理得:33?53?x?y?43?63    ?x?y?3?4?5?6?432

3

3

3

3

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以

及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。

解:? ??min?A?B,B?C,90??A?

?  ??A?B,??B?C?,??  6??2?A?B???B?C??    ?27?0??A?B?C??

?  ??15?

9??0A

?3?9?0A?

?90

另一方面,当A?B?B?C?90??A?15?时,有A?75?,B?60?,C?45?满足题设条件,故

?可取得最大值15?

三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数,ac<0

,证明:一元二次方程ax+bx+c

2

=0有大于

3而小于1的根。 4

2

解:设f?x??ax?bx?c

?3则f?

?4

3??9

?f1?ab?????164??1

       ??9a?12b?

16

?c??

a?

??b

c

1c6a?b????c

+?5c

??9a?1b2?  ??

?

c1a?b?c?? a??4??

6

?

?5?

?4c15?a6??c???a?33??

?

a?

a

?c

??c?????

?

  ?c2?

?

???0

??? ∴f?

?3?

??f?1?<0 ?4?

2

∴一元二次方程ax+bx+c=0有大于

3而小于1的根. 2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE 与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线。

证法1:设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由射影定理得: 22

CE=CN·CB,BD=BM·BC

CNCE2∴ ?

BMBD2

又Rt△CNG ∽Rt△DCB,Rt△BMF ∽Rt△BEC, ∴GN?∴

BDCE

?CN,FM??BM CDBE

GNBD?BECNBD?BECE2BE?CE

??????1? FMCD?CEBMCD?CEBD2BD?CD

在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由面积关系得:BE·CE=EN·BC,BD·CD=DM·BC ∴由

BE?CEENTN

???2?

BD?CDDMTM

(1)(2)

GNTN

?,又GN?FM,?F、G、T三点共线. FMTM

证法2:设CD、BE相交于点H,则H为△ABC

记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R

∵DM∥AR∥EN

DFAHEG∴ ??FMHRGN

由合比定理得:

DMENGNENTN

?,???,故F、G、T三点共线. FMGNFMDMTM

证法3:在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得:

BTCEAD

???1    (1) TCEADB

设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,

∵DF⊥BC、EG⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴

CECGADHFBTCGHF

?,?,代入?1?得??EAGHDB

FBTCGHFB

由梅涅劳斯定理的逆定理得:F、G、T三点共线

证法4:连结FT交EN于G为了证明F、G、T可

1

BD?BFsin?ABEDFS?BDF??FMS?BMFBM?BFsin?CBEBMsin?CBE

EGS?CEGCEsin?ACDCE?CGsin?ACD??1?? GNS?CMGCN?CGsin?BCDCNsin?BCD

BDBCCEBC

?,?

BMBDCNCE

DFBCsin?ABEEGBCsin?ACD∴?,?  ?1? FMBDsin?CBEGNCEsin?BCD

∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆 ∴∠ABE=∠ACD (2)

BDCE

?BC?,?BDsin?CBE?CEsin?BCD (3)

sin?BCDsin?CBE

DFEG

将(2) (3)代入(1)得:,故F、G、T三点共线. ?

FMGN

3、设a、b、c为正整数,且a+b=c,求c的最小值。

223

解:显然c>1.由题设得:(c-a)(c+a)=b

2

3

4

?c2?a?bb?b?1?2

,则c? 若取?2 2

2c?a?b?

由大到小考察b,使

b?b?1?2

为完全平方数,易知当b=8时,c=36,则c=6,从

2

而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下:

显然,表中c-x的值均不是完全平方数。故c的最小值为6

??参考答案:一、1、D 原式??142、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角

3、D

4、D 5、C 6、A

二、1、2418 2、12 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15° 7

三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。

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