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2006年“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题(含详细答案word)

发布时间:2013-11-26 08:45:42  

第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛

初一 第2试

2006年4月16日 上午8:30至10:30 得分_________

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题: ①a?22?a的相反数是; b2?4b2?4

②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差;

③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;

④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.

其中真命题有( )

(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.

2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是

( )

3.在代数式xy中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了( )

(A)50%. (B)75% (C)23727 (D). 6464

4.若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )

(A)a+b+c+d一定是正数. (B)d+c-a-b可能是负数.

(C)d-c-b-a一定是正数. (D)-d-b-a一定是正数.

5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是( )

(A)10. (B)20. (C)30. (D)40.

6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )

(A)m一定是奇数. (B)m一定是偶数.

(C)仅当a,b,c同奇或同偶时,m是偶数. (D)m的奇偶性不能确定.

7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是( )

(A)30. (B)31. (C)32. (D)33.

8.如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩形

有( )

(A)40个. (B)38个. (C)36个. (D)34个.

9.设a是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=-1,[0]=0,[-1.2] =-2,则在以下四个结论中,正确的是

( )

1

10.On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,and the distance between A and B is less than 10.Let m=5-2b。

then the range of the value of m is( )

(英汉词典:number axis数轴;point点;corresponding to对应于?;respectively分别地;distance距离;1ess than小于;value值、数值;range范围)

二、填空题(每小题4分,共40分.

)

13.图3是一个小区的街道图,A、B、C、?、X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设______个岗哨.

=_________.

16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余下的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有 ______个.

17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁.

18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有______人.

的末位数字是___________.

20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations(a-2b)x=1,(b-3c)y=1,

(c-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________.

(英汉词典:to assume假设;integer整数;equation方程;solution(方程的)解;positive正的;respectively分别地;minimum最小值)

2

三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程.

21.(本小题满分10分)

(1)证明:奇数的平方被8除余1.

(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

22.(本小题满分15分)

如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO,并延长交BC于D,连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积.

3

23.(本小题满分15分)

老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度为25千米/小时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.

4

详细解答

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题: a?22?a①2的相反数是2; b?4b?4

②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差;

③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;

④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.

其中真命题有( )

(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.

[答案] C

[分析] ③中ab的相反数是-ab,而a的相反数是-a, b的相反数是-a,它们乘积的相反数是ab。

[考点] 本题考察的是相反数定义与倒数定义的灵活运用。

2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是

( )

[答案]C

[分析] 将题目中的展开图形还原,只有答案B不能还原成正方体。

[考点] 本题考察的正方体展开图形的特点。

3.在代数式xy2中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了( )

(A)50%. (B)75% (C)

[答案] C

[分析]设减少后3727 (D). 6464求的代

3所数式为m,则有m=?1?25%?x??1?25%?y??1?25%?y=?1?25%?xy2。

[考点] 本题考察的是整式乘法的运算及灵活运用。

4.若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )

(A)a+b+c+d一定是正数. (B)d+c-a-b可能是负数.

(C)d-c-b-a一定是正数. (D)-d-b-a一定是正数.

5

[答案]C

[分析]本题应用特值排除法,对于A,如果设a=-2,b=-1,c=1,d=2,则a+b+c+d=0非正数;对于B,d+c>0,-a >-b>0,所以d+c-a-b一定大于零;对于D,设a=-2,b=-1,c=1,d=5,则c-d-b-a=-1。

[考点]有理数的运算。

5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是( )

(A)10. (B)20. (C)30. (D)40.

[答案] A

[分析]根据三角形内角和为180,求得x=

[考点] 考察三角形角的计算。 01(1800?1600)?100 2

6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )

(A)m一定是奇数. (B)m一定是偶数.

(C)仅当a,b,c同奇或同偶时,m是偶数. (D)m的奇偶性不能确定.

[答案] B

[分析] 利用特殊值法,设出具体数,代入代数式即可排出A、C、D选项。

[考点] 有理数的运算。

7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:

[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是( )

(A)30. (B)31. (C)32. (D)33.

[答案] B

[分析]由最小公倍数入手,由题意可知三个数中肯定有15和4,再根据最大公约数分别是4和3,以及其他已知条件,进一步推知

[考点] 最大公约与最小公倍及三角形边的问题。

8.如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩形有

( )

(A)40个. (B)38个. (C)36个. (D)34个.

6

[答案] A

[分析] 本题可以从两方面考虑,一是从正面考虑,分别数出一格、两格、三格为边的矩形数的个数,再求和即可;二是从反面考虑,先求出正方形和矩形数总数,再求出正方形数,总数-正方形数=矩形数。

[考点] 考查对图形的认识 。

9.设a是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=-1,[0]=0,

[-1.2]

=-2,则在以下四个结论中,正确的是

( )

[答案] D。

[分析]利用特殊值法,设a=0,则?a????a??0 ;设a=-1.2,则有?a????a???1

[考点] 有理数的灵活运用。

10.On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,and the distance between A and B is less than 10.Let m=5-2b。then the range of the value of m is(

)

(英汉词典:number axis数轴;point点;corresponding to对应于…;respectively分别地;distance距离;1ess than小于;value值、数值;range范围)

[答案] C

?b?7?10[分析]先根据题意列出不等式组?,由此解出b的范围为?3?b?17,再根据7?b?10?

m=5-2b,得出m与b的关系:b?5?m5?m,即?3??17,解不等式得出m的取值22

范围。

[考点] 一元一次不等式、不定式组解法 的灵活运用 。

二、填空题(每小题4分,共40分.

)

7

[答案]

[19 10分析] 将原是

1111111111?(3?)?3?(5?)?5?(7?)?7?(9?)?92612203042567290

1111111111????????2612203042567290

1111111111?????????22?33?44?55?66?77?88?99?10

111111111191???????.....??? 223344591010化成===

[考点] 本题考察分式的简便算法。

[答案] -3

[分析]由已知可得m?n?p,原式=

一步变形。

[考点] 本题考查了整式的运算。 n?mm?p(m?n)n?mm?p=????1,再进mnpmn

13.图3是一个小区的街道图,A、B、C、?、X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设______个岗哨.

[答案] 4

[分析] 找到符合题干条件的点,而且是符合要求的最少的。

[考点] 本题考察对图形的识别与理解。

[答案] -36

[

分析]由题意可知,(m?12)?9m,原式8

=(m?111??)(m2?2?1)=?3?(m?)2?2?1)?=-36 mmm??

[考点] 本题考察了立方差公式的灵活运用。

=_________.

[答案]4026042

[分析]分别对原式的分子和分母进行运算,分子为2007?1003,分母为

2006?2007。

[考点]考察了分式运算中的简便运算思想。 1,即原式为2

16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余下的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有 ______个.

[答案] 31

[分析]解决本题的关键是分别表示出给每名优胜者的乒乓球数量,并找到一般规律。

1111[详解]解:设乒乓球共有x个,由题意得给第一名的球数量为:x?;x?;2244

11第三名:x? 88

11以此类推,第五名:.,所以有:x?3232

1111111111,解得x?31。 x? x??x??x??x??x?22448816163232

17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁.

[答案] 18

[分析]设出四个人的年龄,根据题意,分别表示出三个人的平均年龄与另外一个人年龄的和。

[详解]设四个人的年龄分别是a,b,c,,d根据题意有

?b?cd?c?da?b?ad?ab?1,c,再将四个算??17333

式两两作差得:d?a?9,a?b?3,b?c?6,d?c?18。 ?2 9 a?b?c?d3

所以最大年龄与最小年龄的差是18。

18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有______人.

[答案] 53或25

[分析]本题是发散性题目,应该分两种情况考虑。

[详解]解:设全班一共有x个人,根据题意可知由两种情况:一、从右向左报数时,报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的位置,则有: x?55;二、从右向左报数时,报20的同学超过第一遍报数为20的同学所在的位置,则有x?25。

的末位数字是___________.

[答案] 0

[分析] 将原式变形,充分运用特值法。

[详解] 原式=2(2m2006?1),令m?1,原式=22007?2,因为2的乘方末位分别是2、4、8、6四个数的循环,所以22007的末位数是8,所以原式的末位是0。

20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations(a-2b)x=1,(b-3c)y=1, (c-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________.

(英汉词典:to assume假设;integer整数;equation方程;solution(方程的)解;positive正的;respectively分别地;minimum最小值)

[答案]2433

[考点]本题考察了不定方程的讨论思想。

三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程.

21.(本小题满分10分)

(1)证明:奇数的平方被8除余1.

(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

(1)[分析] 设出奇数的一般式.

证明:设任意的奇数为2n?1,则根据题意可得(2n?1)2=4n2?1?4n=4n(n?1)?1,

连续两个整数相乘肯定是偶数,因此4k(k+1)能被8整除,

所以得证。

(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之和,也就是

(其中x1,x2,x3,?,x10都是奇数).

等式左边被8除余2,而2006被8除余6.矛盾!

10

因此,2006不能表示为10个奇数的平方之和.

22.(本小题满分15分)

如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO,并延长交BC于D,连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积.

因为 E是AC的中点,0是BE的中点,

所以

S?ACF? 31?x,S?BCF??x 44

131即 ?x2?x?x2,得x? 16412

131又S?COD??y,S?ACD??y,S?ABD??y 444

131即 ?y2?y?y2,得y? 所以

16412

23.(本小题满分15分)

老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度为25千米/小时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.

[分析] 解本题的关键是,分析出老师带一名学生走到一定的位置后返回去接另一名学生。并理清各时间段所走的路程。

[详解]解:设老师带一名学生走了x米后,放下这名学生返回接另一名学生,则根据提意有全程分了三个时间段,t1老师带第一个学生走的时间,t2老师返回接第 11

二个学生的时间,t3老师带第二个学生到达博物馆的时间,t1?x,t2?20x?5?30x,

33?5?(t1?t2),t1?t2?t3?3 20

解得x=24,所以老师带着一个学生走出24米的时候,再回去带另一个学生,可以保证三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。 t3?

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