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全国初中数学竞赛试题及答案(2002年)

发布时间:2013-11-26 08:45:43  

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

(2002年4月21日8:30—10:30)

一、选择题(本题42分,每小题7分)

1、已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a,b,c的大小关系是( )

(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b

2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为( )

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( )

(A)M>0 (B)M=0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90o,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为( )

(A)18 (B)20 (C)22 (D)24

5、圆O1与O2圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则圆O1与圆O2的半径之比为( )

(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:3

6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k的最小值为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、已知a<0,ab<0,化简,1?|a?b?2|?|b?a?3|

2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,9元的商品有

4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有 对。

三、(本题满分70分)

1、(本题满分20分)

a?b?8?已知:a ,b,c三数满足方程组?,试求方程bx2+cx-a=0的根。 2?ab?c?8c?48

2、(本题满分25分)

如图,等腰三角形ABC中,P为底边BC上任意点,过P作两腰的平行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,又P`的对称点,证明:P'在△ABC的外接圆上。

A

C B P

3、(本题满分25分)

试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC

二、1、32?3 2、2(??6)r 3、12 4、27 15

三、1、由方程组得:a、b是方程x2-8x+c2-8c+48=0的两根 △=-4(c-82)2≥0,c=42 a=b=4

所以原方程为 x2+2x-1=0

?2?6?2?6,x2= 22

2、连结BP'、P'R、P'C、P'P

(1)证四边形APPQ为平行四边形

(2)证点A、R、Q、P'共圆

(3)证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形

(4)证∠P'BA=∠ACP',原题得证

13、(1)若r=0,x=,原方程无整数根 2

r?2r?1 (2)当r≠0时,x1+x2=? x1x2= rr

消去r得:4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7

1 由x1、x2是整数得:r=?,r=1 3

x1=

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