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全国初中数学竞赛试题及答案(2006年)

发布时间:2013-11-26 08:45:45  

2006年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006年4月2日上午 9∶30-11∶30 满分120分

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

2.已知m?1?2,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则

(A)2?1

(B)23

(C)?2

(D)3?

2 (第5题图) QC的值为( ) QA

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最

大值为 .

7.如图,面积为ab?c的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,

且b不能被任何质数的平方整除,则

等于 . a?c的值 bG (第7题图)

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

1??2?29???9.已知0<a<1,且满足?a????a??????a???18,则?10a?的值等于 30??30?30???

.(?x?表示不超过x的最大整数)

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知x?b,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约a

数为1),且a≤8,2?1?x?3?1.

(1) 试写出一个满足条件的x;

(2) 求所有满足条件的x.

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.

C (第13题)

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

答:C.

解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处.

故选C.

2.已知m?1?

等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

答:C.

解:由已知可得m?2m?1,n?2n?1.又 222,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,则a的值

(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=-9 故选C.

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

答:B.

解:设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则点B的坐标为 (-a,a2),由勾股定理,得AC?(c?a)?(c?a), 222222

BC2?(c?a)2?(c2?a2)2, AC2?BC2?AB2

所以 (a?c)?a?c. 22222

由于a?c,所以a2-c2=1,故斜边AB上高h= a2-c2=1

故选B.

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

答:B.

解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+

1)×360°.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34= k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°.所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得k≥2005.

当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了 58+33+33×58=2005(刀).

故选B.

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则22QC的值为( ) QA(A)23?1

(B)2

(C)?2 (第5题图) (D)?

2

答:D.

解:如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r

QA=r-m.

在⊙O中,根据相交弦定理,得QA·QC=QP·QD.

即 (r-m)(r+m)=m·QD ,所以 QD=r?m. m22(第5题图) 连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2, ?r2?m2

即 ??m?

所以, ?22??r?m, 解得m?r ?3?2QCr?m??QAr?m3?13?1?3?2

故选D.

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为 .

答:5013.

解:由a?b?2006,c?a?2005,得 a?b?c?a?4011.

因为a?b?2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.

于是,a+b+c的最大值为5013.

7.如图,面积为a?c的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,

且b不能被任何质数的平方整除,则

等于 .

答:?G a?c的值 bE F C 20. 3(第7题图)

解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则m?24

3,

3m?xx由△ADG∽△ABC,可得?, 解得x?(2?3)m mm2

于是 x?(23?3)m?28?48,

由题意,a?28,b?3,c?48,所以222a?c20??. b3

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

答:104.

解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x

400x=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-1)>400, 50

400?13所以,12.5≤x<13.5. 故x=13,此时t??104. 50米,乙走了46×

9.已知0<a<1,且满足?a??

?1??2?29???a????a??18,则?10a?的值等?????30??30?30??

于 .(?x?表示不超过x的最大整数)

答:6.

解:因为0<a?1??2?1229??a????a??2,所以?a??,?a??,…,30??30?303030?

29??a???等于0或1.由题设知,其中有18个等于1,所以 30??

1??2?11?12??13?29?????a??a????a?a??a????a?=0,=1, ????????????30??30?30?30??30?30?????

1112<2. ?1,1≤a?3030

19故18≤30a<19,于是6≤10 a<,所以?10a?=6. 3所以 0?a?

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位

数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .

答:282500. 解:设原来电话号码的六位数为abcdef,则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a8bcdef.根据题意,有81×abcdef=2a8bcdef.

记x?b?10?c?10?d?10?e?10?f,于是

81?a?10?81x?208?10?a?10?x,

解得x=1250×(208-71a) .

因为0≤x<10,所以0≤1250×(208-71a)<10,故55556432128208. ?a≤7171 因为a为整数,所以a=2.于是x=1250×(208-71×2)=82500.

所以,小明家原来的电话号码为282500.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知x?b,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约数a

?1. 为1),且a≤8,2?1?x?

(1)试写出一个满足条件的x;

(2)求所有满足条件的x.

1满足条件. ……………5分 2

b(2)因为x?,a,为互质的正整数,且a≤8,所以 a

b2?1??3?1, 即 (2?1)a?b?(3?1)a. a解:(1)x?

当a=1时,(2?1)?1?b?(3?1)?1,这样的正整数b不存在.

1. 2

2当a=3时,(2?1)?3?b?(3?1)?3,故b=2,此时x?. 3当a=2时,(2?1)?2?b?(3?1)?2,故b=1,此时x?

当a=4时,(2?1)?4?b?(3?1)?4,与a互质的正整数b不存在. 当a=5时,(2?1)?5?b?(3?1)?5,故b=3,此时x?3. 5

当a=6时,(2?1)?6?b?(3?1)?6,与a互质的正整数b不存在.

当a=7时,(2?1)?7?b?(3?1)?7,故b=3,4,5此时x?

当a=8时,(2?1)?8?b?(3?1)?8,故b=5,此时x?

所以,满足条件的所有分数为345,,. 7775 81233455,,,,,,.………………15分 2357778

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

解法一:由①-2×②得(b?c)?24(a?1)?0,所以a>-1.

当a>-1时, b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0.………………10分 又当a?b时,由①,②得 c?a?16a?14, ③ 222222

ac?a2?4a?5 ④

将④两边平方,结合③得a(a?16a?14)?(a?4a?5)

化简得 24a?8a?40a?25?0, 故 (6a?5)(4a?2a?5)?0, 3222222

解得a??1?215,或a?. 46

1?215,a?.………………………15分 46

2所以,a的取值范围为a>-1且a??222解法二:因为b?c?2a?16a?14,bc?a?4a?5,所以

(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)?4a2?8a?4?4(a?1)2,

所以 b?c??2(a?1). 又bc?a?4a?5,所以b,c为一元二次方程 2

x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤

的两个不相等实数根,故??4(a?1)?4(a?4a?5)?0,所以a>-1.

当a>-1时, b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0.………………10分 另外,当a?b时,由⑤式有 a?2(a?1)a?a?4a?5?0, 2222222

即 4a?2a?5?0 或 ?6a?5?0,解得,a?21?215或a??. 46

当a?c时,同理可得a??1?215或a?. 46

1?215,a?.………………………15分 46所以,a的取值范围为a>-1且a??

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB. 证明:因为AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O

所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是

△KPE∽△KAP, KPKE2所以 , 即 KP?KE?KA. ?KAKP 由切割线定理得 KB?KE?KA 所以 KP?KB. …………………………10分

因为AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是 2

PEKPPEKB 故 , ??CEACCEAC

即 PE·AC=CE·KB. ………………………………15分 C (第13题)

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.

解:设10个学生为S1,S2,…,S10,n个课外小组G1,G2,…,Gn. 首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为S1,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾. ………………………………5分

若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设S1恰好参加G1,G2,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与S1没有同过组,

矛盾.

所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组G1,G2,…,Gn的人数之和不小于3×10=30.

另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组G1,G2,…,Gn的人数不超过5n, 故 5n≥30, 所以n≥6. ……………………………10分

下面构造一个例子说明n=6是可以的.

G1??S1,S2,S3,S4,S5?,G2??S1,S2,S6,S7,S8?,G3??S1,S3,S6,S9,S10?, G4??S2,S4,S7,S9,S10?,G5??S3,S5,S7,S8,S9?,G6??S4,S5,S6,S8,S10?. 容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.

所以,n的最小值为6. ……………………………15分

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