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全国初中数学竞赛试题及答案(2007年)

发布时间:2013-11-26 08:45:46  

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2007年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.

1. 已知x,y,z满足2355x?y,则的值为 ( ) ??xy?zz?xy?2z

111. (C)?. (D). 332(A)1. (B)

【答】B.

解 由32355x?y5x?3x1得y?3x,z?x,所以????,故选(B). 2xy?zz?xy?2z3x?3x3

1111,,,…,,1,2,…,2005,2006,2007时,计算代2007200620052注:本题也可用特殊值法来判断. 2.当x分别取值

1?x2

数式的值,将所得的结果相加,其和等于 ( ) 21?x

(A)-1. (B)1. (C)0. (D)2007.

【答】C.

11?()2

11?n2n2?11?n2??0解 因为,即当分别取值,n(n为正整数)时,计算所??x121?n2n2?11?n2n1?()n1111?12

?0得的代数式的值之和为0;而当x?1时,.因此,当分别取值,,,…,x22007200620051?1

1,1,2,…,2005,2006,2007时,计算所得各代数式的值之和为0.故选(C). 2

b2b83. 设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y?(a?)x?cx?a?在x?1时取最小值?b,则225

△ABC是 ( )

(A)等腰三角形. (B)锐角三角形. (C)钝角三角形. (D)直角三角形.

【答】D.

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?c???1,?b?b?c?2a,2(a?)34??解 由题意可得?即?所以c?b,a?b,因此2355c?b,??bb85??a??c?a???b,225?

a2?c2?b2,所以△ABC是直角三角形. 故选(D).

4. 已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径,则∠A的度数是( )

(A)30°. (B)45°. (C)60°. (D)75°. 【答】C. 解 锐角△ABC的垂心在三角形内部,如图,设△ABC的外心为O,D为BC的中点,BO的延长线交⊙O于点E,连CE、AE,则CE//AH,AE//CH,则OB?AH?CE?2OD,所以∠OBD=30°,∠BOD=60°,所以∠A=∠BOD=60°.故选(C).

5.设K是△ABC内任意一点,△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F,则S△DEF:S△ABC的值为 ( )

(A)1224. (B). (C). (D). 9993

【答】A.

解 分别延长KD、KE、KF,与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P,由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心,易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点,所以S△MNP?1S△ABC. 4

2

32易证△DEF∽△MNP,且相似比为2:3,所以S△DEF?()S△MNP?

所以S△DEF:S△ABC?411?S△ABC?S△ABC. 9491.故选(A). 9

6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是 ( )

(A)1132. (B). (C). (D). 105105

【答】B.

y个黑球、解 设摸出的15个球中有x个红球、则x,y,z都是正整数,且x?5,y?6,z?7,z个白球,

x?y?z?15.因为y?z?13,所以x可取值2,3,4,5.

当x?2时,只有一种可能,即y?6,z?7;

当x?3时,y?z?12,有2种可能,y?5,z?7或y?6,z?6;

当x?4时,y?z?11,有3种可能,y?4,z?7或y?5,z?6或y?6,z?5;

当x?5时,y?z?10,有4种可能,y?3,z?7或y?4,z?6或y?5,z?5或y

?6,z?4. 2

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因此,共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,所以所求的概率为21?.故选(B). 105

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1. 设x?1

2?1

1,a是x的小数部分,b是?x的小数部分,则a?b?3ab?____1___. 33解 ∵x?2?1?2?1,而2?2?1?3,∴a?x?2?2?1. 又∵?x??2?1,而?3??2?1??2,∴b??x?(?3)?2?2.∴a?b?1,

∴a?b?3ab?(a?b)(a2?ab?b2)?3ab?a2?ab?b2?3ab?(a?b)2?1.

2. 对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2?(n?2)x?2n2?0的两个根记作an,bn(n?2),则331110031=? ????(a2007?2)(b2007?2).(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)

解 由根与系数的关系得an?bn?n?2,an?bn??2n2,所以

(an?2)(bn?2)?anbn?2(an?bn)?4??2n2?2(n?2)?4??2n(n?1), 则11111????(?), (an?2)(bn?2)2n(n?1)2nn?1

111 ????(a2007?2)(b2007?2)(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)

=?1?111111?1111003. (?)?(?)???(?)??(?)????2?233420072008?2220084016

3. 已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB?2,BC?CD?10,AD?6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE?BF的值为____4_____.

解 延长CD交⊙O于点G,设BE,DG的中点分别为点M,N,则

易知AM?DN.因为BC?CD?10,由割线定理,易证BF?DG,所

以BE?BF?BE?DG?2(BM?DN)?2(BM?AM)?2AB?4. N C G D

4. 若100a?64和201a?64均为四位数,且均为完全平方数,则整数a的值是a?64?n,则32?m,n?100,两式相减得 解 设100a?64?m,20122

101a?n2?m2?(n?m)(n?m),因为101是质数,且?101?n?m?101,所以n?m?101, 3

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2a?64?n2,故a?n?m?2n?101.代入201整理得n?402n?20237?0,解得n?59,或n?343

(舍去).

所以a?2n?101?17.

第二试 (A)

一、 (本题满分20分)设m,n为正整数,且m?2,如果对一切实数t,二次函数y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t?n,求m,n的值.

解 因为一元二次方程x2?(3?mt)x?3mt?0的两根分别为mt和?3,所以二次函数y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为mt?3 …………………………5分 由题意,mt?3?2t?n,即(mt?3)2?(2t?n)2,即(m2?4)t2?(6m?4n)t?9?n2?0

………………………………………………………………………………………………10分

由题意知,m?4?0,且上式对一切实数t恒成立,所以

2??m?4?0,……………………………………………………15分 ?222????(6m?4n)?4(m?4)(9?n)?0,2

?m?2,???2?4(mn?6)?0,?m?2,?m?3,?m?6,所以或?……………………………………20分 ???mn?6,?n?2,?n?1.

二、(本题满分25分)如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F,过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N.证明:∠AFN=∠DME. 证明 设MN与EF交于点P,∵NE//BC, M P PNPE?∴△PNE∽△PBC,∴, D A PBPC∴PB?PE?PN?PC. …………………………………5分

PMPE?又∵ME//BF,∴△PME∽△PBF,∴, PBPFB C

∴PB?PE?PM?PF. ………………………………10分

PMPC?∴PN?PC?PM?PF,故 …………………………………………………………15分 PNPF

又∠FPN=∠MPE,∴△PNF∽△PMC,∴∠PNF=∠PMC,∴NF//MC …………………20分 ∴∠ANF=∠EDM.

又∵ME//BF,∴∠FAN=∠MED.

∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED,∴∠AFN=∠DME. …………………………………25分

三、 (本题满分25分)已知a是正整数,如果关于x的方程x?(a?17)x?(38?a)x?56?0的根都是整数,求a的值及方程的整数根.

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解 观察易知,方程有一个整数根x1?1,将方程的左边分解因式,得

(x?1)x2?(a?18)x?56?0 …………………………………………………………5分

因为a是正整数,所以关于x的方程 ??

x2?(a?18)x?56?0 (1)

的判别式??(a?18)2?224?0,它一定有两个不同的实数根.

而原方程的根都是整数,所以方程(1)的根都是整数,因此它的判别式??(a?18)2?224应该是一个完全平方数. ……………………………………………………………………………………10分

设(a?18)2?224?k2(其中k为非负整数),则(a?18)2?k2?224,即

(a?18?k)(a?18?k)?224. ………………………………………………………15分

显然a?18?k与a?18?k的奇偶性相同,且a?18?k?18,而224?112?2?56?4?28?8,所以

?a?18?k?112,?a?18?k?56,?a?18?k?28,?a?39,?a?12,?a?0,或或解得或?或? ?????a?18?k?2,?a?18?k?4,?a?18?k?8,?k?55,?k?26,?k?10,

?a?39,?a?12,而a是正整数,所以只可能?或? ……………………………………………20分 k?55,k?26.??

2当a?39时,方程(1)即x?57x?56?0,它的两根分别为?1和?56.此时原方程的三个根为1,

?1和?56.

2当a?12时,方程(1)即x?30x?56?0,它的两根分别为?2和?28.此时原方程的三个根为1,

?2和?28. …………………………………………………………………………………25分

第二试 (B)

一、(本题满分20分)设m,n为正整数,且m?2,二次函数y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为d1,二次函数y??x?(2t?n)x?2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2.如果d1?d2对一切实数t恒成立,求m,n的值.

解 因为一元二次方程x?(3?mt)x?3mt?0的两根分别为mt和?3,所以d1?mt?3;

一元二次方程?x?(2t?n)x?2nt?0的两根分别为2t和?n,所以d2?2t?n.………5分 所以,d1?d2?mt?3?2t?n?(mt?3)?(2t?n) 22222

?(m2?4)t2?(6m?4n)t?9?n2?0 (1) ………………10分

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由题意知,m?4?0,且(1)式对一切实数t恒成立,所以

2??m?4?0, ……………………………………………………15分 ?222????(6m?4n)?4(m?4)(9?n)?0,2

?m?2,???2?4(mn?6)?0,?m?2,?m?3,?m?6,所以或? …………………………………20分 ??n?1.mn?6,n?2,???

56,x二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同. 三、(本题满分25分)设a是正整数,二次函数y?x2?(a?17)x?38?a,反比例函数y?

如果两个函数的图象的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求a的值.

?y?x2?(a?17)x?38?a,56?2y?解 联立方程组?消去得,即 x?(a?17)x?38?a56x?y?,x?

x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0,分解因式得

(x?1)x2?(a?18)x?56?0 (1) ………………………………………5分

显然x1?1是方程(1)的一个根,(1,56)是两个函数的图象的一个交点.

因为a是正整数,所以关于x的方程 ??

x2?(a?18)x?56?0 (2)

的判别式??(a?18)2?224?0,它一定有两个不同的实数根. ……………………………10分

而两个函数的图象的交点都是整点,所以方程(2)的根都是整数,因此它的判别式??(a?18)2?224应该是一个完全平方数.

设(a?18)2?224?k2(其中k为非负整数),则(a?18)2?k2?224,即

(a?18?k)(a?18?k)?224. ……………………………………………………15分

显然a?18?k与a?18?k的奇偶性相同,且a?18?k?18,而224?112?2?56?4?28?8,所以??a?18?k?112,?a?18?k?56,?a?18?k?28,?a?39,?a?12,?a?0,或?或?解得?或?或? ?a?18?k?2,?a?18?k?4,?a?18?k?8,?k?55,?k?26,?k?10,

而a是正整数,所以只可能??a?39,?a?12,或? …………………………………………20分 ?k?55,?k?26.

2当a?39时,方程(2)即x?57x?56?0,它的两根分别为?1和?56,此时两个函数的图象还

有两个交点(?1,?56)和(?56,?1).

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2当a?12时,方程(2)即x?30x?56?0,它的两根分别为?2和?28,此时两个函数的图象还

有两个交点(?2,?28)和(?28,?2). …………………………………………………………25分

第二试 (C)

一、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三、(本题满分25分)设a是正整数,如果二次函数y?2x2?(2a?23)x?10?7a和反比例函数y?11?3a的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求a的值和对应的公共整点. x

?y?2x2?(2a?23)x?10?7a,?解 联立方程组?消去y得2x2?(2a?23)x?10?7a= 11?3a,?y?x?

11?3a,即2x3?(2a?23)x2?(10?7a)x?3a?11?0,分解因式得 x

(2x?1)x2?(a?12)x?11?3a?0 (1) ………………………………5分

如果两个函数的图象有公共整点,则方程(1)必有整数根,从而关于x的一元二次方程 ??

x2?(a?12)x?11?3a?0 (2)

必有整数根,所以一元二次方程(2)的判别式?应该是一个完全平方数, ……………………10分

而??(a?12)2?4(11?3a)?a2?36a?100?(a?18)2?224.

所以(a?18)2?224应该是一个完全平方数,设(a?18)2?224?k2(其中k为非负整数),则(a?18)2?k2?224,即(a?18?k)(a?18?k)?224.………………………………………15分

显然a?18?k与a?18?k的奇偶性相同,且a?18?k?18,而224?112?2?56?4?28?8,所以??a?18?k?112,?a?18?k?56,?a?18?k?28,?a?39,?a?12,?a?0,或?或?解得?或?或? ?a?18?k?2,?a?18?k?4,?a?18?k?8,?k?55,?k?26,?k?10,

?a?39,?a?12,而a是正整数,所以只可能?或? …………………………………………20分 k?55,k?26.??

2当a?39时,方程(2)即x?51x?106?0,它的两根分别为2和?53,易求得两个函数的图象

有公共整点(2,?53)和(?53,2).

2当a?12时,方程(2)即x?24x?25?0,它的两根分别为1和?25,易求得两个函数的图象有

公共整点(1,?25)和(?25,1). …………………………………………………………………25分

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