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全国初中数学竞赛试题及答案(1999年)

发布时间:2013-11-26 08:45:46  

春笋教育中心

1999年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试 (4月4日上午8:30--9:30)

考生注意:本试两大题共10道小题,每题7分。全卷满分70分。

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。

1

、计算的值是( )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( )。

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

3、设

则有一组,将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,

的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )。

4、

若函数

100这100个自然数时,函数值的和是( )。

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 ,

则当自变量取1、2、3、…、

1

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5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。

6、有下列三个命题:

(甲)若

是不相等的无理数,则是无理数;(乙)

是不相等的无理数,则

是无理数;(丙)若

是不相等的无理数,则

是无理数。其中正确命题的个数是( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。

1

、已知

,则=________。

2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于________。

2

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3

、已知

为整数,且满足

________。 ,则=

4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=________。

=============== =============== ===============

第二试 (4月4日上午10:00--11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分。

一、(本题满分20分)

某班参加一次智力竞赛,共

20

分,题

、题三题,每题或者得满分或者得0

分。其中题满分满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对

的人数与答对题的人数之和为29,答

的人数之和为20,的有1人,答对其中两道题的有15

人,答对题

对题

的人数与答对题的人数之和为25,

答对题

的人数与答对题

问这个班的平均成绩是多少分?

3

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二、(本题满分25分)

如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。

三、(本题满分25分)

已知b,c

为整数,方程

4 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。

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=============== =============== ===============

第一试参考答案

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。

1

、计算的值是( D )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

解:原式=。

2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( C )。

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

解:∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°,已知周长是24,则AC+BC=14,AC2+BC2=102。∴2AC×BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=4×24。∴。

3、设

则有一组,将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,

的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( B )。

5

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解:由方程组

的解知两直线的交点为,而图A中交点横坐标是负

数,故图A不对;图C中交点横坐标是2≠1,故图C不对;图D

中交点纵坐标是大于

小于

的数,不等于,故图D不对;故选B。

4、

若函数

100这100个自然数时,函数值的和是( B )。

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。

则当自变量取1、2、3、…、

解:当

。∴当自变量时,

取2、3、…、98时,函数值

,故所求的和都为0

。而当

为:

取1、99、100

时,

5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( C )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。

解:AD的中点M对BC张成90°角,又在AD上取点N使AN=998,则ND=1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC=90°,注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点,可知所求点的个数为2。

6

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6

、有下列三个命题:(甲)若

是不相等的无理数,则是无理数;(乙)

是不相等的无理数,则

是无理数;(丙)若

是不相等的无理数,则

是无理数。其中正确命题的个数是( A )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

解:

,则为有理数,故

(甲)不对;又若令,只要令

,,

,则

为有理数,故(乙)不对;又若令

有理数,故(丙)不对;故正确命题个数是0,应选(A)。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分) ,则为

1

、已知

,则= 2 。

解:

,即

,,

,。

2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于 44° 。

7

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解:∵∠B=36°,∠ACB=128°,AM为∠CAB

的平分线,∴∠CAM=∠MAB=

,∵∠AMC=44°。又AN为切线,∴∠NAC=∠B=36°,

∠NAM=44°,∴∠N=180°-44°-44°=92°,∴△ANM的最小角为44°。

3、

已知为整数,

且满足,

则= 3 。 解:左边=

等,

,即只可能取值

。不妨设

,而为整数,且不相

,则

或,∵(2)无整数解,由(1)

得,。

4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM

=。

解:延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB,∴

BM

=,BT

=。令DN=1,CT=MD

=,代入(1

)式得,则AM

=,,注意到

,解得8 。

春笋教育中心

=============== =============== ===============

第二试参考答案

一、(本题满分20分)

某班参加一次智力竞赛,共

20

分,题

、题三题,每题或者得满分或者得0

分。其中题满分满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对

的人数与答对题的人数之和为29,答

的人数之和为20,的有1人,答对其中两道题的有15

人,答对题

对题

的人数与答对题的人数之和为25,

答对题

的人数与答对题

问这个班的平均成绩是多少分?

解:设

分别表示答对题

、题

、题的人数,则有

,,,∴答对一题的人数为37-1×3-2×15=4,全班

人数为1+4+15=20

,∴平均成绩为

答:班平均成绩为42分。

二、(本题满分25分) 。

如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。

9

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证:作DE⊥AC于E,则AC

=AE,AG

=ED。由切割线定理有:AG2=AF·AC,

∴ED2

=AF·AE,∴5ED2=AF·AE,∴AB·ED=AF·AE,∴,

∴△BAF∽△AED,∴∠ABF=∠EAD,而∠EAD+∠DAB=90°,∴∠ABF+∠DAB=90°,∴AD⊥BF。

三、(本题满分25分)

已知

值。 为整数,方程的两根都大于-1且小于0

,求和的

解:根据函数

,∴

的图象和题设条件知:当

…①;当

时,时,

∴…②。抛物线顶点的横坐标

…③。 满足,

即,则由②、④得

∴且

…④,由①、③、

④得,得; ,

,则

且,无整数解;

,则

且,无整数解;

,则

,无整数解;故所求

的值为 10

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