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小学奥数36个经典讲座总汇(上)

发布时间:2013-11-26 08:47:55  

第1讲 多位数的运算

k多位数的运算,涉及利用999=10-1,提出公因数,递推等方法求解问题.

?9?????

k个9

一、999?9=10-1的运用 ?????

k个9k

在多位数运算中,我们往往运用999?9=10-1来转化问题; ?????

k个9k

如:333?3×59049 ?????

2004个3

我们把333?9÷3, ?3转化为999??????????

2004个32004个9

于是原式为333?9÷3)×59049=999?9×59049=(1000?0-1)×?3×59049=(999????????????????????

2004个32004个92004个92004个019683=19683×1000?0-19683 ?????

2004个0

而对于多位数的减法,我们可以列个竖式来求解;

2004个9?????????

1968299?999999+1

2004个9?????????1968299?999999?1

?19683 如:,于是为1968299.

?980317?????????1999个9?????????1999个91968299?980316?1

1999个9?????????1968299?980317

简便计算多位数的减法,我们改写这个多位数.

原式=333?3×2×3×3×333?3 ??????????

2004个32008个3

=333?9 ?3×2×3×999??????????

2004个32008个9

=1999??98×(1000?0-1) ?????????

2003个92008个0

=1999??98×1000?0-1999??98 ?????????????

2003个92008个02003个9

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2003个92008个9????????????1999?979999999?99?1

?1999??98????

=2003个0????????????1999?979998000?01?12003个92003个9,于是为1999?979998000??02.

???????????

2003个92003个0

1999?979998000??02???????????

2003个92003个0

2.计算111?1-222?2=A×A,求A. ????????

2004个11002个2

【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有111?1,从而找出突破口. ???

n个1

111?1-222?2=111?1000?0-111?1 ???????????????????

2004个11002个21002个11002个01002个1

=111?1×(1000?0-1) ????????

1002个11002个0

=111?1×(999?9) ????????

1002个11002个9

=111?1×(111?1×3×3)=A2 ??????

1002个11002个1

所以,A=333?3.

?????

1002个3

3.计算666?6×666?6×25的乘积数字和是多少? ??????????

2004个62003个6

【分析与解】我们还是利用999?9=1000?0?1来简便计算,但是不同于上式的是不易得出凑成??????????

k个9k个0

999?9,于是我们就创造条件使用: ?????

k个9

22××25=[×()]×[×(999666?6666?67999?9?9)+1]×25 ????????????????????332004个62003个62004个92004个9

=[22×(1000)]×[×(1000?0?1?0)+1]×25 ??????????332004个02004个0

=11××[2×1000?0-2]×[2×(1000?0)+1]×25 ??????????332004个02004个0

25×[4×1000?0-2×1000?0-2] ??????????94008个02004个0=

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=100

9×999??????9-50×999??????9

4008个992004个9

=100×111????1-50×111????1

4008个12004个1

=111?????100??555??????50(求差过程详见评注)

4008个12004个5

=111??????10555??????50

2004个12004个5

所以原式的乘积为111??????10555??????50

2004个12004个5

那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024. 评注:对于111?????100??555??????50的计算,我们再详细的说一说.

4008个12004个5

111?????100??555??????50

4008个12004个5

=111????1000??????0?111????100?555??????50 2005个12005个02003个12004个5

=111????10999??????9?1?111????100?555??????50 2004个12005个92003个12004个5

=111????10444??????49?111????101

2004个12004个42003个1

=111????10555??????5

2004个12004个5

4.计算222??????2?222??????2的积?

1998个21998个2

【分析与解】 我们先还是同上例来凑成999??????9;

k个9

222??????2?222??????2 1998个21998个2

=2

9????999?9?

????????222???2 1998个9?????

1998个2

=2

9????1000?0?1?

????????222??????2 1998个0??1998个2

=1

9????1000?0?1?

????????444?4 ?????

1998个0??1998个4

=1???444?4000?0?444?4??

9?

????????????????

1998个41998个01998个4??

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?43555?56(求差过程详见评注) =?444??????????

1997个41997个519

我们知道444?4能被9整除,商为:049382716. ?????

9个4

又知1997个4,9个数一组,共221组,还剩下8个4,则这样数字和为8×4=32,加上后面的3,则数字和为35,于是再加上2个5,数字和为45,可以被9整除.

444?4355?????能被9整除,商为04938271595;

8个4

我们知道555?5能被9整除,商为:061728395; ?????

9个5

这样9个数一组,共221组,剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除.

555??56能被9整除,商为0617284. ????

6个5

于是,最终的商为: 49382716049382716 ?04938271604938271595061728395?0617283950617284??????????????????????

220个049382716221个061728395

评注:对于444?4000?0-444?4计算,我们再详细的说一说. ???????????????

1998个41998个01998个4

444?4000?0-444?4 ???????????????

1998个41998个01998个4

=444??43999?9+1-444?4 ??????????????

1997个41998个91998个4

=444??43555?5+1 ?????????

1997个41998个5

=444??43555??56. ????????

1997个41997个5

二、提出公因式

有时涉及乘除的多位数运算时,我们往往需提出公因式再进行运算,并且往往公因式也是和式或者差式等.

5.计算:(1998+19981998+199819981998+?19981998?1998?????????

1998个1998)÷

(1999+19991999+199919991999?19991999?1999?????????)×1999

1998个1999

【分析与解】19981998?1998?1001 ?????????=1998×10011001???????

1998个19981998个1001

原式=1998(1+10001+100010001+?10011001?1001)÷[1999×(1+10001+100010001+????????

1998个1001

]×1999=1998÷1999×1999=1998. 10011001?1001)???????

1998个1001

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6.试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?

【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积,再计算与(1000000—1)的乘积,但是1993×123还是有点繁琐.

设1993×123=M,则(1000×123=)123000<M<(2000×123=)246000,所以M为6位数,并且末位不是0;

令M=abcdef

则M×999999=M×(1000000-1)=1000000M-M =abcdef000000-abcdef

=abcdef

=abcdef

=abcdeffff?1999999+1-abcdef ?19?a9?b9?c9?d9?e9?f+1 ?19?a9?b9?c9?d9?e9?f?1

那么这个数的数字和为:a+b+c+d+e+(f-1)+(9-a)+(9-b)+(9-c)+(9-d)+(9-e)+(9-f+1)=9×6=54.

所以原式的计算结果的数字和为54.

评注:M×999?9的数字和为9×k.(其中M的位数为x,且x≤k). ?????

k个9

256个9512个91024个9 7.试求9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9乘积的数字和为多少? ???????????????

【分析与解】

设9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9=M, ???????????????

256个9512个91024个9

于是M×999?9类似?????

1024个9的情况,于是,确定好M的位数即可;

注意到9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9=M, ??????????

256个9512个9

则M<10×100×100013×100000000×?×1000?0×1000?0=1000?0 ???????????????

256个0512个0k个0

其中k=1+2+4+8+16+?+512=1024-l=1023;

即M<1000?0,即M最多为1023位数,所以满足?????

1023个0的使用条件,那么M与999?9乘积的?????1024个9

数字和为1024×9=10240—1024=9216.

原式的乘积数字和为9216.

三、递推法的运用

有时候,对于多位数运算,我们甚至可以使用递推的方法来求解,也就是通常的找规律的方法. 学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 5 of 73

8.我们定义完全平方数A=A×A,即一个数乘以自身得到的数为完全平方数;已知:1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方?

【分析与解】 我们不易直接求解,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解:

222121=11;12321=111;1234321=1111??

于是,我们归纳为1234?n?4321=(111?1)???

n个1

22 2 所以,1234567654321:1111111;则,1234567654321×49=1111111×7=7777777.所以,题中

原式乘积为7777777的平方.

评注:以上归纳的公式1234?n?4321=(111?1),只有在n<10时成立.

???

n个12222

9.①444?4888?89=A,求A为多少? ??????????

2004个42003个82

②求是否存在一个完全平方数,它的数字和为2005?

【分析与解】 方法一:问题①直接求解有点难度,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解:

①注意到有444?4888?89可以看成444?4888?89,其中n=2004; ????????????????????

2004个42003个8

2n个4n-1个8 寻找规律:当n=1时,有49=7;

2 当n=2时,有4489=67;

2当n=3时,有444889=667;

?? ??

于是,类推有444?67 ?4888?89=666???????????????

2004个42003个82003个62

方法二:下面给出严格计算: 444?4888?89=444?8+1; ?4000?0+888?????????????????????????

2004个42003个82004个42004个02004个8

则444?8+1=111?0+8)+1 ?4000?0+888?1×(4×1000???????????????????????

2004个42004个02004个82004个12004个0

=111?1×[4×(999?9+1)+8]+1 ????????

2004个12004个9

=111?1×[4×(999?9)+12]+1 ????????

2004个1

22004个9=(111?1)×36+12×111?1+1 ??????

2004个1

222004个1=(111?1)×6+2×(6×111?1)+1 ??????

2004个12004个1

2 =(666??67)????

2003个6

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②由①知444?67?4888?89=666??????????,于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n+1=2005; ?????

n个4n-1个8n-1个6

22于是,n=167,所以444?67?4888?89=666?4888?89. ???????????????,所以存在,并且为444??????????

167个4166个8166个6 167个4166个8

2008个62008个3 10.计算666?6×9×333?3的乘积是多少? ??????????

【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162;

66×9×33=19602;

666×9×333=1996002;

?? ??

于是,猜想666?6×9×333??96000?02 ?3=1999???????????????????

n个6n个3n?1个9n-1个0

666?6×9×333??96000?02 ?3=1999???????????????????

2008个62008个32007个92007个0

评注:我们与题l对比,发现题1为666?6×9×3×333?3使用递推的方法就有障??????????

2008个62004个3

碍,999?9=10—l这种方法适用面要广泛一点. ?????

k个9k

练习1.设N=666?6×9×777?7,则N的各位数字之和为多少? ??????????

2000个62007个7

练习2.乘积999?9×999?9的积是多少?各位数字之和又是多少? ??????????

1999个91999个9

练习3.试求111?1×111?1的各位数字之和是多少? ??????

2008个12008个1

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第2讲 计算综合(一)

繁分数的运算,涉及分数与小数的定义新运算问题,综合性较强的计算问题.

1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理,如下所示:

甚至可以简单地说:“先算短分数线的,后算长分数线的”.找到最长的分数线,将其上视为分子,其下视为分母.

2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数,而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.

3.某些时候将分数线视为除号,可使繁分数的运算更加直观.

4.对于定义新运算,我们只需按题中的定义进行运算即可.

5.本讲要求大家对分数运算有很好的掌握,可参阅《思维导引详解》五年级

[第1讲 循环小数与分数].

711?4??27 1.计算:135813?3?3416

7123?72317【分析与解】原式=?2??

?48812813?1233

2.计算:

【分析与解】 注意,作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有195.于是,我们想到改变运算9

顺序,如果分子与分母在19后的两个数字的运算结果一致,那么作为被除数的这个繁分数的值为1;如果不一致,也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序. 而作为除数的繁分数,我们注意两个加数的分母相似,于是统一通分为1995×0.5. 具体过程如下: 59

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5919(?3?5.22)1993?0.41.6原式=?(?) 5271995?0.5199519(?6?5.22)950

519?1.321993?0.44?0.4?0.5=?(?) 19?1.321995?0.41995?0.5

9

1993?20.40.41=1?(=1

?)=1?19950.50.54

3.计算:1?1

1?

1?1987

【分析与解】原式=1?198619871=1?=

397339731?1986

4.计算:已知=1

1+

2+1x+4?8,则x等于多少? 11

【分析与解】方法一:1

1+

2+1x+4?1?112?4x?1?18x?68?? 4x?112x?7111?8x?6

交叉相乘有88x+66=96x+56,x=1.25. 方法二:有1?1

2?x?4?13182113

??2?;所以x??,那么x?1.25.?1?,所以2?342388x?4

5.求4,43,443,...,44...43???这10个数的和.

9个4

【分析与解】方法一:

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4+43+443?...?44...43???

9个4

=4?(44?1)?(444?1)?...?(44...4??1)

10个4

=4?44?444?...?44...4??9=

10个44?(9?99?999?...?999...9)????9 910个9

=4?[(10?1)?(100?1)?(1000?1)?...?(1000...0?1)]?9 ?????910个0

4?111.100?????9=4938271591. 9?

9个1 =

方法二:先计算这10个数的个位数字和为3?;

再计算这10个数的十位数字和为4×9=36,加上个位的进位的3,为36?3?39;

再计算这10个数的百位数字和为4×8=32,加上十位的进位的3,为32?3?35; 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28,加上百位的进位的3,为28?3?;

再计算这10个数的万位数字和为4×6=24,加上千位的进位的3,为24?3?27; 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20,加上万位的进位的2,为20?2?22; 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16,加上十万位的进位的2,为16?2?; 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12,加上百万位的进位的1,为12?1?; 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8,加上千万位的进位的1,为8?1?9;

最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4,加上亿位上没有进位,即为4.

所以,这10个数的和为4938271591.

6.如图1-1,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度,那么图中6条线段的长度之和是多少

?

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【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过,所以这6条线段的长度之和为: 3?(?

117?0.6?0.875)?1+0.75+1.8+2.625=6.175=6

3440

7.我们规定,符号“○”表示选择两数中较大数的运算,例如:3.5○2.9=2.9○3.5=3.5.符号“△”

23155)?(?0.4)表示选择两数中较小数的运算,例如:3.5△2.9=2.9△3.5=2.9.请计算: 1235(?0.3)?(?2.25)3104(0.625?

【分析与解】原式

0.625?155

?5?155?27?25 1838412256?

2.253

8.规定(3)=2×3×4,(4)=3×4×5,(5)=4×5×6,(10)=9×10×11,?.如果

那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】

111???(16)(17)(17),?(111(17)16?17?181?)???1=?1?.

(16)(17)(17)(16)15?16?175

111111?????中必须去掉哪两个分数,才能使得余下的分数之和等于1? 24681012

111111111【分析与解】 因为??,所以,,,的和为l,因此应去掉与.

612424612810 9.从和式

10.如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数,例如1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少

?

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【分析与解】 有整数部分尽可能大,十分位尽可能大,则有92918??较大,于是最大的为

9.291892915.

??

11.请你举一个例子,说明“两个真分数的和可以是一个真分数,而且这三个

分数的分母谁也不是谁的约数”.

【分析与解】 有114111111??,??,?? 6101510156351410

评注:本题实质可以说是寻找孪生质数,为什么这么说呢?

注意到11c?a11c?a1,当a?c?b时,有. ?????a?bc?ba?b?ca?bc?ba?b?ca?c

当a、b、c两两互质时,显然满足题意.

显然当a、b、c为质数时一定满足,那么两个质数的和等于另一个质数,必定有一个质数为2,不妨设a为2,那么有2?c?b,显然b、c为一对孪生质数.

即可得出一般公式:

12.计算:(1?

【分析与解】

原式=111,c与c+2均为质数即可.

??2?(c?2)c?(c?2)2?c111)?(1?)?...?(1?) 2?23?310?10(2?1)?(2?1)(3?1)?(3?1)(10?1)?(10?1) ??...?2?23?310?10

1?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?11= 2?2?3?3?4?4?...?10?10

1?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?11= 2?2?3?3?4?4?...?9?9?10?10

1?2?10?1111==.

2?2?10?1020

13.已知a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100.问a的整数部分是多少? 11?65?12?66?13?67?14?68?15?69

【分析与解】

11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100 11?65?12?66?13?67?14?68?15?69

11?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?(69?1) =?100 11?65?12?66?13?67?14?68?15?69a=

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11?12?13?14?15)?100 11?65?12?66?13?67?14?68?15?69

11?12?13?14?15=100??100. 11?65+12?66?13?67?14?68?15?69

11?12?13?14?1511?12?13?14?15100因为 ?100<?100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?69(11?12?13?14+15)?6565

10035所以a<100+?101. 6565

11?12?13?14?1511?12?13?14?15100同时 ?100>?100?11?65?12?66?13?67?14?68?15?69(11?12?13?14+15)?6969

10031所以a>100?=101. 6969

3135综上有101<a<101.所以a的整数部分为101.

6965=(1?

1357991与相比,哪个更大,为什么? ????...?246810010

1357992468100【分析与解】方法一:令????...?=A,????...?=B, 24681003579101

13579924681001有A?B=????...?. ?????...?=2468100357910110114.问

而B中分数对应的都比A中的分数大,则它们的乘积也是B>A,

1111111<)=?,所以有A×A<?,那么A<. 1011001010101010

13579911即????...?与相比,更大. 24681001010

13579799方法二:设A=????...?, ?246898100

11335599992则A=??????...? ?224466100100

1?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?1=, 2?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?100

1?33?55?797?9999112显然、、、?、、都是小于1的,所以有A<,于是A<. 2?24?46?698?9810010010

有A×A<4×B(=

15.下面是两个1989位整数相乘:111...11...11??????111?????.问:乘积的各位数字之和是多少?

1989个11989个1

【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为111...11...11?????能被9整除,所以将一个111?????

1989个11989个1

乘以9,另一个除以9,使原算式变成:

999......99??????123456790......012345679???????????

1989个9共1988位数

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=(1000......00?123456790......012345679??????1)???????????

1989个0共1988位数

=123456790......012345679000......00?????????????????123456790......012345679???????????

共1988位数1989个0共1988位数

=123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321 ????????????????????????

共1988位数共1980位数

得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”,所以各位数之和为:

(1?2?3?4?5?6?7?9)?220?(9?8?7?6?5?4?3?2)?220

+(1?2?3?4?5?6?7?8)?(9?8?7?6?5?4?3?2?1)?17901

评注:111111111÷9=12345679;

M×999...9???的数字和为9×k.(其中M≤999...9???).可以利用上面性质较快的获得结果.

k个9k个9

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第3讲 计算综合(二)

本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题,但不包括多位数的运算.

1.n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3;

2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式:

12?22?32???n2?1

6?n??n?1???2n?1?

3.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

1. 已知a=1,b?1,试比较a、b的大小.

2?12?1

3?3?????99????99?100

【分析与解】

a?11

2?1,b?

2?1,

3?3?????????98?A98?B

其中A=99,B=99+11

100.因为A<B,所以98+A >98+1

B,

97?1?97?1,96?1?96?1,98?A98?B97?

98?97?A98?B

?

2?11

3??2?

3?,所以有a < b.

4?14?1

????????98?A98?B

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2.试求1

2?

3?

4?

????12005?1?1?3?114?

????2005的和?

【分析与解】 记x?1

3?

4?

????12005,则题目所要求的等式可写为:

111111?x?,而????1. 2?x1?2?x1?2?x2?x

1?x1?x

所以原式的和为1.

评注:上面补充的两例中体现了递推和整体思想.

2. 试求1+2+3+4+?4+100的值?

【分析与解】 方法一:利用等差数列求和公式,(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050.

方法二:倒序相加,1+ 2+ 3+ 4+ 5+? 97+ 98+ 99+ 100

100+ 99+ 98+ 97+ 96+?4+ 3+ 2+ 1,

上下两个数相加都是101,并且有100组,所以两倍原式的和为101×100,那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050.

方法三:整数裂项(重点),

原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+?+100×2)÷2

???100?(101?99)??2 =?1?2?2?(3?1)?3?(4?2)?4?(5?3)??

=???????????100?101?)?2

=100?101?2

=5050.

3. 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100.

【分析与解】方法一:整数裂项

原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+?+99×100×3)÷3

=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+?+99×100×(101-98)]÷3

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?????????????99?100?101?)?3

?99?100?101?3

?33?101?100

?3333?100

?333300.

方程二:利用平方差公式1+2+3+4+?+n=n2?22222n?(n?1)?(2n?1). 6

原式:1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+?+99+99

222222 =1+2+3+4+5+?+99+1+2+3+4+5+?+99 =22222299?100?19999?100 ?62

=328350+4950

=333300.

5.计算下列式子的值:

0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题,实际上我们可以先把它们变成整数,然后再进行计算.即先计算1×3+2?4+3×5+4?6+?+97?99+98×100。再除以100.

方法一:再看每一个乘法算式中的两个数,都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.

0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0

=(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×100)÷100

=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+?+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100

=[(1×2+2×3+3×4+4×5+?+97×98+98×99)+(1+2+3+4+?+97+98)]÷100 =(11×98×99×100+×98×99)÷100 32

=3234+48.51

=3282.51

方法二:可以使用平方差公式进行计算.

0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8×10.0

=(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×l00)÷100

222222=(1-1+2-1+3-1+4-1+5-1+?+99-1)÷100

122222=(1+2+3+4+5+?+99-99)÷100 =(1×99×100×199-99)÷100 6

=16.5×199-0.99

=16.5×200-16.5-0.99

=3282.51

评注:首先,我们要清楚数与数之间是相通的,小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.

1×2+2×3+3×4+?+(n-1)×n

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1×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+?+(n-1)×n×3] 3

1=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+?+(n-1)×n[n+1-(n-2)]} 3=

=?????1?1?2?3?2?3?1?2?3?4?3?4?2?3?4?5?? ?3??(n?1)?n?(n?2)?(n?1)?n?(n?1)?

=?(n?1)?n?(n?1)

6.计算下列式子的值: 13

24?(

111111??????)?(2?2???) 22222?34?520?2111?21?2?????10

111111??,????????可是再仔细一看,并没有什么效果,2?3234?545【分析与解】 虽然很容易看出

因为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子,每一项的分母容易让我们想到公式1+2+3+?+n=2222161×n×(n+1)×(2n+1),于是我们又有2?. 1?22?32?????n2n?(n?1)(2n?1)6减号前面括号里的式子有10项,减号后面括号里的式子也恰好有10项,是不是“一个对一个”呢?

111111????)?(2?2?????) 2?34?520?2111?2212?22?????102

111111=24?(????)?6?(??????) 2?34?520?211?2?32?3?510?11?12

111111=24?(????)?24?(??????) 2?34?520?212?4?34?6?520?22?2124?(

=24??(

=24?(11111?1??)?(?)?????(?)? 4?54?6?520?2120?22?21??2?32?4?3111????) 2?44?620?22

111=6?(????) 1?22?310?11

1=6?(1?) 11

60=

11

7.计算下列式子的值:

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11111111111111(1?????????)2?(????????)2?(???????)223451980122345198012345198012 111111111111?(??????)2?(??????)2?????()2?(1?????????)45198012561980121980122345198012

【分析与解】显然直接求解难度很大,我们试着看看是否存在递推的规律.

显然12+1=2;

(1?1

2)2?(1

2)2?(1?1

2)?4;

(1?1

2?1

3)2?(1

2?1

3)2?(1

3)2?(1?11

2?3)?6;

(1?1

2?1

3?1

4)2?(1

2?1

3?1

4)2?(1

3?1

4)2?(1

4)2?(1?1

2?1

3?1

4)?8;

所以原式=198012×2=396024.

习题

计算17×18+18×19+19×20+?+29×30的值.

提示:可有两种方法,整数裂项,利用1到n的平方和的公式.

答案:(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.

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第4讲 比例和百分数

成本、利润、价格等基本经济术语,以及它们之间的关系.各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题,有时恰当选取较小的量作为一个单位,司以实现整数化计算.

1.迎春农机厂计划生产一批插秧机,现已完成计划的56%,如果再生产5040台,总产量就超过计划产量的16%.那么,原计划生产插秧机多少台?

【分析与解】 : 5040÷(1+16%-56%)=8400(台).

2.圆珠笔和铅笔的价格比是4:3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元.问圆珠笔的单价是每支多少元?

【分析与解】:设圆珠笔的价格为4,那么铅笔的价格为3,则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143,则单位“1”的价格为71.5÷143:0.5元.

所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元).

3.李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.已知东院养鸡40只;现在把西院养鸡总数的1卖4给商店,卖给加工厂,再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加,其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%.原来东、西两院一共养鸡多少只?

【分析与解】:方法一:设原来东西两院一共养鸡x只,那么西院养鸡?x?40?只. 依题意:.?x?40???1?13?

?11?1???40?x,解出x?280. 43?2

即原来东、西两院一共养鸡280只.

方法二:50%即1111,东、西两院剩下的鸡等于东院的加上西院的,即20+西院原养鸡数. 2222

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有东院剩下40只鸡,西院剩下原1?115??的鸡. 4312

所以有西院原养鸡(40—20)÷?

?15???=240只,即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只.

?212?

4.用一批纸装订一种练习本.如果已装订120本,剩下的纸是这批纸的40%;如果装订了185本,

则还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张?

【分析与解】 方法一:装订120本,剩下40%的纸,即用了60%的纸.

那么装订185本,需用185×(60%÷120)=92.5%的纸,即剩下1-92.5%=7.5%的纸,为1350张.

所以这批纸共有1350÷7.5%=18000张.

方法二:120本对应(1-40%=)60%的总量,那么总量为120÷60%=200本.

当装订了185本时,还剩下200-185:15本未装订,对应为1350张,所以每本需纸张:1350÷15=90

张,那么200本需200×90=18000张.

即这批纸共有18000张.

5.有男女同学325人,新学年男生增加25人,女生减少5%,总人数增加16人.那么现有男同学多少人?

【分析与解】男生增加25人,女生减少5%,而总人数增加了16人,说明女生减少了25-16=9人,那么女生原来有9÷5%=180人,则男生有325-180=145人.

增加25人后为145+25=170人,所以现有男同学170人.

6.有一堆糖果,其中奶糖占45%,再放人16块水果糖后,奶糖就只占25%那么,这堆糖果中有

奶糖多少块?

【分析与解】方法一:原来奶糖占459251,后来占??,因此后来的糖果数是奶糖的4倍,100201004

9也比原来糖果多16粒,从而原来的糖果是16+(4?? 1)=20块. 20

9其中奶糖有20×=9块. 20

方法二:原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45%:(1-45%)=9:11,

设奶糖有9份,其他糖(包含水果糖)有11份.

现在奶糖与其他糖之比是25%:(1-25%)=1:3=9:27,

奶糖的份数不变,其他糖的份数增加了27-11=16份,而其他糖也恰好增加了16块,所以,l份即

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1块.奶糖占9份,就是9块奶糖.

7.甲乙两包糖的重量比是4:l,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲乙两包糖的重量比变为7:5.那么两包糖重量的总和是多少克?

【分析与解】两包糖数量的总数是 10??

7?132?4克.

??10??46?4?17?56013??

8.有若干堆围棋子,每堆棋子数一样多,且每堆中自子都占28%.小明从某一堆中拿走一半棋子,而且拿走的都是黑子,现在,在所有的棋子中,白子将占32%.那么,共有棋子多少堆?

【分析与解】 方法一:设有x堆棋子,每堆有棋子“1”.根据拿走黑子白子总数不变. 列方程得x?28??x?

得7x=8(x-??1?1×32%,化简得28 =32(-),两边同除以4, xx?2?21),解得x=4. 2

即共有棋子4堆.

方法二:注意到所有棋子中的白子个数前后不变,所以设白子数为“1”.

那么有: .

181725125,对应为堆;所以对应l堆. ??7856228

18252525而开始共有棋子l+,所以共有???4堆.

77728黑子变化了

9.幼儿园大班和中班共有32名男生,18名女生.已知大班中男生数与女生数的比为5:3,中班中男生数与女生数的比为2:1,那么大班有女生多少名?

【分析与解】设大班女生有x名,则中班女生有(18-x)名.根据男生数可列出

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方程:x×52+(18-x)×=32,解得x=12. 31

所以大班有女生12名.

10.某校四年级原有2个班,现在要重新编为3个班,将原一班的号与原二班的丢组成新一班,将原一班的{与原二班的吉组成新二班,余下的30人组成新三班.如果新一班的人数比新二班的人数多10%,那么原一班有多少人?

【分析与解】

有新三班的为原一、二班总人数的1-

所以原来两班总人数是:30÷75?,为30人. 12125=72(人). 12

则新一班与新二班人数总和是72-30=42(人).

现在再把新二班人数算作1份.

1?10 新一班人数=42? =22(人),新二班人数=42-22=20(人). 1?10?1

(原一班人数)-(原二班人数)=(22-20)÷?

原一班人数=(72+24)÷2=48(人).

?11???=2×12=24(人). 34??

11.有两包糖,每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖.已知:①第一包糖的粒数是第二包糖的2;3②在第一包糖中,奶糖占25%,在第二包糖中,水果糖占50%;③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍.当两包糖合在一起时,巧克力糖占28%,那么水果糖所占百分比等于多少?

【分析与解】表述1:设第一包有2a粒糖,则第二包有3a粒糖,设第二包有3b粒巧克力糖,则第一包有4b粒巧克力糖.

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4b?3bb5?28%,所以?×28%=20%. 2a?3aa7

4b于是第一包中,巧克力糖占=40%,水果糖占1-40%-25%=35%. 2a

2a?35?3a?50在两包糖总粒数中,水果糖占?44%. 2a?3a

表述2:设第一包糖总数为“2”,那么第二包糖总数为“3”,并设第一包糖含有巧克力糖2c,第二包糖含有巧克力糖c.

那么有2×2c+3×c=28%×(2+3),有7c=140%,所以c=20%,那么有如下所示的每种糖所占的百分数.

所以水果糖占总数的(35%×2+50%×3)÷(2+3)=44%.

12.某次数学竞赛设一、二、三等奖.已知:①甲、乙两校获一等奖的人数相等:⑦甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6;③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%;④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%;⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍.

那么,乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?

【分析与解】 表述1:不妨设甲校有60人获奖,由①、②,乙校有50人获奖.

由③知两校获二等奖的共有(60+50)×20%=22人;

由⑤知甲校获二等奖的有22÷(4.5+1)×4.5=18人;

由④知甲校获一等奖的有60-60×50%-18=12人,

从而所求百分数等于12÷50×100%=24%.

表述2:

(这有一个“5”)

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1.2÷5×100%=24%,即乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的24%.

13.①某校毕业生共有9个班,每班人数相等.②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1;③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1.那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?

【分析与解】表述1:由②知,一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1.

③知,四至九班的男生总数比七、八、九班总人数少1.

因此,一至九班的男生总数是二、三、七、八、九共五个班的人数,则女生总数

等于四个班的人数.

所以,男、女生之比是5:4.

表述2: .

有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即为一至九班全体男生数,恰为“二、三班总人数”加上“四、五、六班总人数”,即为五个班总人数,则女生总数等于四个班的人数.

所以,男、女生之比是5:4.

14.某商品按原定价出售,每件利润为成本的25%;后来按原定价的90%出售,结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍.问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

【分析与解】设这种商品的成本为“1”,共卖出商品“1”,则利润为25%,总利润为0.25,定价为1.25.

那么按原定价的90%出售,即以1.25× 90%=1.125的价格出售,现在销售的件数比原来增加了1.5倍,利润为0.125×(1.5+1)=O.3125,而原来的总利润为O.25,现在增加了0.3125一O.25=0.0625,0.0625÷0.25:25%.

所以,后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25%.

15.赢利百分数=卖出价?买入价?100 买入价

某电子产品去年按定价的80%出售,能获得20%的赢利;由于今年买入价降低,按同样定价的75%学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 25 of 73

出售,却能获得25%的赢利.那么今年买入价

去年买入价是多少?

【分析与解】 根据题中给出的公式知: 赢利百分数×买入价=卖出价一买入价 则买入价×(赢利百分数+1)=卖出价,

那么买入价=卖出价

赢利百分数+1

今年买入价今年卖出价??1+25?定价?75?125去年买入价=9

去年卖入价?1+25==定价?80?12010

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第5讲 比和比例

两个数相除又叫做两个数的比.

一、比和比例的性质

性质1:若a: b=c:d,则(a + c):(b + d)= a:b=c:d;

性质2:若a: b=c:d,则(a - c):(b - d)= a:b=c:d;

性质3:若a: b=c:d,则(a +x c):(b +x d)=a:b=c:d;(x为常数)

性质4:若a: b=c:d,则a×d = b×c;(即外项积等于内项积)

正比例:如果a÷b=k(k为常数),则称a、b成正比;

反比例:如果a×b=k(k为常数),则称a、b成反比.

二、比和比例在行程问题中的体现

在行程问题中,因为有速度=路程,所以: 时间

当一组物体行走速度相等,那么行走的路程比等于对应时间的反比;

当一组物体行走路程相等,那么行走的速度比等于对应时间的反比;

当一组物体行走时间相等,那么行走的速度比等于对应路程的正比.

1.A和B两个数的比是8:5,每一数都减少34后,A是B的2倍,试求这两个数.

【分析与解】

方法一:设A为8x,则B为5x,于是有(8x-34):(5x-34)=2:1,x=17,所以A为136,B为85. 方法二:因为减少的数相同,所以前后A 、B的差不变,开始时差占3份,后来差占1份且与B一样多,也就是说减少的34,占开始的3-1=2份,所以开始的1份为34÷2=17,所以A为17×8=136,B为17×5=85.

2.近年来火车大提速,1427次火车自北京西站开往安庆西站,行驶至全程的5再向前56千米处11

所用时间比提速前减少了60分钟,而到达安庆西站比提速前早了2小时.问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?

【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米? (5510x+56):x=60:120,即(x+56):x=1:2,即x=x+112,解得x=1232. 111111

即北京西站、安庆西站两地相距1232千米,

3.两座房屋A和B各被分成两个单元.若干只猫和狗住在其中.已知:A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率;并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率.试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 27 of 73

的比率?

【分析与解】 如下表给出的反例指出:对所提出问题的回答应该是否定的.表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率.

4.家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2:3,已知鸡、鸭、鹅数量之比是8:7:5,公鸡、母鸡数量之比是1:3,公鸭、母鸭数量之比是3:4.试求公鹅、母鹅的数量比.

【分析与解】 公鸡占家禽场家禽总数的 =15:(3??5?4??4)?45:46:(3??5?4??4)?46:47.

总数的2313132346811??,母鸡占458?7?51?3103; 10

8334,母鸭占总数的; ??8?7?53?42020

21332342公鹅占总数的,母鹅占总数的,公鹅、母鹅数量之比?(?)??(?)?3?21020203?2102020

32为:3:2.

2020公鸭占总数的

5.在古巴比伦的金字塔旁,其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子,其影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头).另外,此时树立l根长70cm自杆子,其影子的长度为175cm,设阶梯各阶的高度与深度都是50cm,求柱子的高度为多少?

【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;

所以影子的长度与杆子的长度比为:175:70=2.5倍.

于是,影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25,所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m.

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6.已知三种混合物由三种成分A、B、C组成,第一种仅含成分A和B,重量比为3:5;第二种只含成分B和C,重量比为I:2;第三种只含成分A和C,重量之比为2:3.以什么比例取这些混合物,才能使所得的混合物中A,B和C,这三种成分的重量比为3:5:2 ?

【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同,均为3:5.所以,先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到 3:5,再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质.

第二种混合物不含A,第三种混合物不含B,所以1.5倍第三种混合物含A为3,5倍第二种混合物含B为5,即第二种、第三种混合物的重量比为5:1.5.

于是此时含有C为5×2+1.5×3=14.5,在最终混合物中C的含量为3A/5B含量的2倍.有14.5÷2-1=6.25,所以含有第一种混合物6.25.

即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25:5:1.5=25:20:6.

7.现有男、女职工共1100人,其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作;若将男工人数和女工人数对调一下,则全体男25天完成的工作,全体女工需36天才能完成,问:男、女工各多少人?

【分析与解】 直接设出男、女工人数,然后在通过方程求解,过程会比较繁琐.

设开始男工为“1”,此时女工为“k”,有1名男工相当k名女工.男工、女工人数对调以后,则

2男工为“k”,相当于女工“k”,女工为“I”.

6. 5

1 于是,开始有男工数为×1100=500人,女工600人.

1?k有k:1=36:25,所以k=2

8.有甲乙两个钟,甲每天比标准时间慢5分钟,而乙每天比标准时间快5分钟,在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准.若已知在某一时刻,乙钟和甲钟时针与分针都分别重合,且在从3月15日开始到这个时候,乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次,那么这个时候的标准时间是多少?

【分析与解】 标准的时钟每隔65

假设经历了x分钟. 5分钟重合一次. 11

524?6024?60?5分钟重合一次,甲钟重合了×x次; ?1124?60?524?60

24?60?5 同理,乙钟重合了×x次; 于是,需要乙钟比甲钟多重合 24?60

24?60?524?60?510×x-×x=×x=10; 24?6024?6024?60 于是,甲钟每隔65

所以,x=24×60;

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5 5?655天. 所以要经历24×60×65分钟,则为1124?6011

510106于是为65天(?24?)10()小时(?60?)54分钟.

1111111124?60?65

9.一队和二队两个施工队的人数之比为3:4,每人工作效率之比为5:4,两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程,结果二队比一队早完工9天.后来,由一队工人21与二队工人组成新一33

队,其余的工人组成新二队.两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程,结果新二队比新一队早完工6天.试求前后两次工程的工作量之比?

【分析与解】 一队与二队的工作效率之比为:(3×5):(4×4)=15:16.

一队干前一个工程需9÷1=144天. 16

新一队与新二队的工作效率之比为:

2112(3??5?4??4):(3??5?4??4)?46:47. 3333

1新一队干后一个工程需6÷=282天. 47

一队与新一队的工作效率之比为

2115:(3??5?4??4)?45:46 33

46所以一队干后一个工程需282×天. 45

前后两次工程的工作量之比是144:(282×46)=(144×45):(282×46)=540:1081. 45

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第6讲 工程问题

多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题.解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化.

1.甲、乙两人共同加工一批零件,8小时司以完成任务.如果甲单独加工,便需要12小时完成.现在甲、乙两人共同生产了2

乙一共加工零件多少个?

2小时后,甲被调出做其他工作,由乙继续生产了420个零件才完成任务.问5

111-=. 81224

2118484 甲调出后,剩下工作乙需做(8—2)×(÷)=(小时),所以乙每小时加工零件420÷=25582455

22个,则2小时加工2×25=60(个),因此乙一共加工零件60+420=480(个).

55【分析与解】乙单独加工,每小时加工

2.某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成.如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需做多少天?

【分析与解】 由右表知,甲单独工作15天相当于乙单独工作20

天,也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天.

所以,甲单独工作63天,相当于乙单独工作63÷3×4=84天,

即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程.

现在甲先单独做42天,相当于乙单独工作42÷3×4=56天,即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程.

3.有一条公路,甲队独修需10天,乙队独修需12天,丙队独修需15天.现在让3个队合修,但中间甲队撤出去到另外工地,结果用了6天才把这条公路修完.当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

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【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为1111++=,那么它们6天完成的工程量为1012154

13×6=,而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1. 42

31111 所以-1=是因为甲队的中途撤出造成的,甲队需÷=5(天)才能完成的工程量,所以222102

甲队在6天内撤出了5天.

所以,当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了5天才完成.

4.一件工程,甲队独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半.现在甲、乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等,则共用了多少天?

【分析与解】 甲队做6天完成一半,甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天.

即甲的工作效率是乙的

应是:

8÷(1+l+

22,从而乙单独做12×=8(天)完成,所以两段所用时间相等,每段时间332)=3(天),因此共用3×2=6(天).

3

5.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的

1.如果3人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需要多少天才能完成? 5

1,又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量8

11之和,因此甲两天抄写书稿的,即甲每天抄写书稿的; 816

11 由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天,从而丙6天抄写书稿的,即丙每天抄写书稿的;于是848

1111可知乙每天抄写书稿的--=. 8164824

1 所以乙一人单独抄写需要1÷=24天才能完成.

24【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的

6.游泳池有甲、乙、丙三个注水管.如果单开甲管需要20小时注满水池;甲、乙两管合开需要8小时注满水池;乙、丙两管合开需要6小时注满水池.那么,单开丙管需要多少小时注满水池?

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113-=, 82040

1311 丙管每小时注满水池的-=. 640120

1112010 因此,单开丙管需要1÷==10(小时).

1201111【分析与解】 乙管每小时注满水池的

7.一件工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成,丙、丁两人合作12天可以完成.那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】 甲、乙,乙、丙,丙、丁合作的工作效率依次是111、、. 8612

对于工作效率有(甲,乙)+(丙,丁)-(乙,丙)=(甲,丁). 即11111+-=,所以甲、丁合作的工作效率为. 81262424

所以,甲、丁两人合作24天可以完成这件工程.

8.一项工作,甲、乙两人合做8天完成,乙、丙两人合做9天完成,丙、甲两人合做18天完成.那么丙一个人来做,完成这项工作需要多少天?

【分析与解】 方法一:对于工作效率有:

(甲,乙)+(乙,丙)-(丙,甲)=2乙,即

为11113+-=为两倍乙的工作效率,所以乙的工作效率89187221. 144

1131-= 914448 而对于工作效率有,(乙,丙)-乙=丙,那么丙的工作效率为

那么丙一个人来做,完成这项工作需1÷1=48天. 48

1112121 方法二:2(甲,乙,丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)=++=,所以(甲,乙,丙)=89187272

2121÷2=,即甲、乙、丙3人合作的工作效率为. 144144

2111 那么丙单独工作的工作效率为-=,那么丙一个人来做,完成这项工作需48天.

144848

9.某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成;如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成;如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成;如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成.那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程?

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【分析与解】 由已知条件可得,

对于工作效率有:

(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5).

所以5个小队一起合作时的工作效率为:

(11111++2×+)÷3= 1278426

所以5个小队合作需要6天完成这项工程.

评注:这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.

10.一个水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水.若只开甲、丙两管,甲管注入18吨水时,水箱已满;若只开乙、丙两管,乙管注入27吨水时,水箱才满.又知,乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍.则该水箱最多可容纳多少吨水?

【分析与解】 设甲管注入18吨水所需的时间为“1”,而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍,那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”,所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0.5=0.75.

以下采用两种方法:

方法一:设丙在单位时间内注入的水为“1”,那么有:

因此18+“1”=27+“O.75”,则“0.25”=9吨,所以“1”

=36吨,即丙在单位时间内灌入36吨的水.

所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水.

方法二:也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的3. 4

3(2+丙);所4 再设甲单独灌水的工作效率为“1”,那么乙单独灌水的工作效率为“2”,有1+丙=

以丙的工作效率为“2”,即丙的工作效率等于乙的工作效率,那么在乙、丙合灌时,丙也灌了27吨,那么水箱最多可容纳27+27=54吨水.

11.某水池的容积是100立方米,它有甲、乙两个进水管和一个排水管.甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时.水池中原有一些水,如果甲、乙两管同时进水而排水管放水,需要6小时将水池中的水放完;如果甲管进水而排水管放水,需要2小时将水池中的水放完.问水池中原有水多少立方米?

【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米),

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乙每小时注水100÷15=

设排水管每小时排水量为“排”,

则(“排”-10-20(立方米), 32050)×3=(“排”-10),整理得3“排”-3×=“排”-10,2“排”=40,33

则“排”=20.

所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米).

12.一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管.当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池.现在需要在2小时内将水池注满,那么最少要打开多少个进水管?

【分析与解】 记水池的容积为“1”,设每个进水管的工作效率为“进”,排水管的工作效率为“排”,那么有:

11, 2“进”-“排”=. 515

11211 所以有,2“进”=(-)=,那么“进”=,则“排”=. 515151515 4“进”-“排”=

题中需同时打开x个进水管2小时才能注满,有:

x“进”-“排”=1111,即x-=,解得x=8.5 215152

所以至少需打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.

13.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需要3小时,单开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要4小时,单开丁管需要6小时.现在池内有1池水.如6

果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管,每次每管开1小时,问经过多少时间后水开始溢出水池?

【分析与解】 方法一:甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开l小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的111170-+-=. 34566

最优情况为:在完整周期后的1小时内灌满一池水.因为此时为甲管进水时间,且甲的效率是四条管子中最大的.

那么在最优情况下:完整周期只需注入1-

所需周期数为111-=池水. 632170302÷==4 2767

11737+×5=+= 6606124 那么,至少需要5个完整周期,而5个完整周期后,水池内有水

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31113=池水未灌满,而完整周期后l小时内为甲注水时间,有÷= (小时). 44434

33 所以,需5个完整周期即20小时,再加上小时,即20小时后水开始溢出. 44

1方法二:甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的-31117+-= . 45660

1717加上池内原有的水,池内有水:+=. 66060

17745 再过四个4小时,也就是20小时后,池内有水:+×4=,在20小时后,只需要再灌水606060

4511-=,水就开始溢出. 604

113333 ÷= (小时),即再开甲管小时,水开始溢出,所以20+=20(小时)后,水开始溢出水434444 剩下l-

池.

方法三:甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的1-31117+-=. 45660

171743+=,有待注入; 6606060

17724363 二个周期后,池内有水:+=,即有先待注入; 606060605

2473129 三个周期后,池内有水:+=,有待注入; 60606060

317382211 四个周期后,池内有水:+=,即有待注入; 6060606030

38745151 五个周期后,池内有水:+=,即有待注入. 606060604

1113 而此时,只需注入的水即可,小于甲管1小时注入的水量,所以有÷= (小时),即再开4434

333甲管小时,水开始溢出,所以20+=20 (小时)后,水开始溢出水池. 444一个周期后,池内有水:

评注:这道题中要求的是第一次溢出,因为在一个周期内不是均匀增加或减少,而是有时增加有时又减少,所以不能简单的运用周期性来求解,这样往往会导致错误的解答,至于为什么?我们给出一个简单的问题,大家在解完这道题就会知晓.

有一口井,深20米,井底有一只蜗牛,蜗牛白天爬6米,晚上掉4米,问蜗牛爬出井需多少时间

?

14.一个水池,地下水从四壁渗入,每小时渗入该水池的水是固定的.当这个水池水满时,打开A管,8小时可将水池排空;打开B管,10小时可将水池排空;打开C管,12小时可将水池排空.如果打开A,B两管,4小时可将水池排空,那么打开B,C两管,将水池排空需要多少时间?

【分析与解】 设这个水池的容量是“1”

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1+每小时渗入水量; 8

1 B管每小时排水量是: +每小时渗入水量; 10

1 C管每小时排水量是: +每小时渗入水量; 12

1 A、B两管每小时排水量是:+每小时渗入水量. 4

111因为+每小时渗入水量++每小时渗入水量=+每小时渗入水量,因 此,每小时渗入水量是:8104

1111-(+)=. 481040 A管每小时排水量是:

那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示:

于是打开B、C两管,将水池排空需要

1÷(

学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 37 of 73 11315+-)=1÷=4.8(小时). 81204024

第7讲 牛吃草问题

牛吃草问题在普通工程问题的基础上,工作总量随工作时间均匀的变化,这样就增加了难度. 牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.

下面给出几例牛吃草及其相关问题.

1. 草场有一片均匀生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出,所以又叫“牛顿问题”.

)

【分析与解】 27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间,吃了原有的草加上6周新长的草; 23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间,吃了原有的草加上9周新长的草;于是,多出了207-162=45头牛,多吃了9-6=3周新长的草.所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草.即相当于给出15头牛专门吃新长出的草.于是27-15=12头牛6周吃完原有的草,现在有21头牛,减去15头吃长出的草,于是21-15=6头牛来吃原来的草;

所以需要12×6÷6=12(周),于是2l头牛需吃12周.

评注:我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃,这样就把问题化归为一般工程问题了. 一般方法:

先求出变化的草相当于多少头牛来吃:(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙);

再进行如下运算:(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙. 或者:(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数.

2.有三块草地,面积分别是4公顷、8公顷和10公顷.草地上的草一样厚而且长得一样快.第一块草地可供24头牛吃6周,第二块草地可供36头牛吃12周.问:第三块草地可供50头牛吃几周?

【分析与解】 我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草).于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草.432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草.所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草.即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草.

对每2公顷配6头牛专吃新长的草,则正好.于是4公顷,配4÷2×6=12头牛专吃新长的草,即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷,所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷.

所以10公顷,需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草,剩下50-30=20头牛来吃10公顷草,要36 ×(10÷2)÷20=9周.

于是50头牛需要9周吃10公顷的草.

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3.如图,一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分,已知草在各处都是同样速度均匀生长.牧民带着一群牛先在①号草地上吃草,两天之后把①号草地的草吃光.(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草,一半牛在③号草地吃草,6天后又将两个草地的草吃光.然后牧民把1的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外号的牛放在④号草地吃草,结果发现3

它们同时把草场上的草吃完.那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草,吃完这些草需要多少时间?

【分析与解】 一群牛,2天,吃了1块+1块2天新长的;一群牛,6天,吃了2块+2块2+6=8天新长

1群牛,1天,吃了1块1天新长的. 6

12 又因为,的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外的牛放在④号草地吃草,它们同时吃完.所以, 33

19193③=2?阴影部分面积.于是,整个为4??块地.那么需要??群牛吃新长的草,于是22624

193193.所以需要吃:(1?)?2?=现在(?1?)(1?)?2??(1?)=30天. 624624的;即3天,吃了1块+1块8天新长的.即

所以,一开始将一群牛放到整个草地,则需吃30天.

4.现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?

【分析与解】 我们注意到:

牛、马45天吃了 原有+45天新长的草① ?牛、马90天吃了

2原有+90天新长的草⑤

马、羊60天吃了 原有+60天新长的草②

牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③

? ? ?

马 90天吃了 原有+90天新长的草④

所以,由④、⑤知,牛吃了90天,吃了原有的草;再结合③知,羊吃了90天,吃了90天新长的草,所以,可以将羊视为专门吃新长的草.

所以,②知马60天吃完原有的草,③知牛90天吃完原有的草.

现在将牛、马、羊放在一起吃;还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草.

所需时间为l÷(11?)=36天. 9060

所以,牛、羊、马一起吃,需36天.

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5. 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一样快.它们的面积分别是31公顷、10公顷和243

公顷.已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草,21头牛9星期吃完第二片牧场的草,那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致,给计算带来困难,如果将其均转化为1公顷时的情形.

所以表1中,3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草,那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛,加上专门吃新长草的O.9头牛,共需0.6+0.9=1.5头牛,18星期才能吃完1公顷牧场的草.

所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草.

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第8讲 不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题.

补充说明:对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].

解不定方程的4个步骤:①判断是否有解;②化简方程;③求特解;④求通解.

本讲讲解顺序:③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题.

复杂不定方程:⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程. 整数分拆问题:11、12、13、14、15.

1.在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为ab,则数字和为a?b,这个数可以表达为

10a?b,有?10a?b???a?b??4

即10a?b?4a?4b,亦即b?2a.

注意到a和b都是0到9的整数,且a不能为0,因此a只能为1、2、3或4,相应地b的取值为2、4、6、8.

综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48.

2.设A和B都是自然数,并且满足AB17??,那么A+B等于多少? 11333

【分析与解】 将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3.

3.甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支.张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支.

有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法:

将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小):

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得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12;x还可以取2+3=5,此时y取5;

?x?2?x?5 即?、?,对应x?y为14、10 y?12y?5??

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支.

4.有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张.问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张,

列方程如下:

a?b?c?d?60?1??? 由? a?10b?100c?1000d?100002????

(2)(1)得9b?99c?999d?9940??③

注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元.

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不

计.问:剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数,所以截成若干根这两种型号的短管,截去的总长度必是12的倍数,但374被12除余2,所以截完以后必有剩余.剩余管料长不小于2厘米.

另一方面,374=27×12+4×12+2,而36÷12=3,24÷12=2,有3×9+2×2=31.即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管,剩余2厘米.

因此剩余部分的管子最少是2厘米.

6.某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们一共种了216棵树.那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工x人,孩子y人,则女职工3y-x人(注意,为何设孩子数为y人,而不是设女

职工为y人),

那么有13x?10?3y?x??6y=216,化简为3x?36y=216,即x?12y=72.

有???x?12?x?24?x?36?x?48?x?60. ?????y?5?y?4?y?3?y?2?y?1?

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?x?12 但是,女职工人数为3y?x必须是自然数,所以只有?时,3y?x?3满足. y?5?

那么男职工数只能为12名

7.一居民要装修房屋,买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根.如果从这些木条中取出一些接起来,可以得到许多种长度的木条,例如:O.7+O.7=1.4米,0.7+0.8=1.5米.那么在3.6米、3.8米、

3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中,哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米,0.8米两种木条分别x,y根,则0.7x+0.8y=3.4

3.6,?

即7x+8y=34,36,37,38,39

将系数,常数对7取模,有y≡6,l,2,3,4(mod 7),于是y最小分别取6,1,

2,3,4.

但是当y取6时,8×6=48超过34,x无法取值.

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的.

8.小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封角,她共用了1元2角2分.那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然,为了使3种信的总和最少,那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信,然后是航空信,最后才是平信.但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分.

所以,2分,10n+2分应该为平信的邮费,n最小取3,才是8的倍数,所以平信至少要寄4封,此时剩下的邮费为122-32=90,所以再寄4封挂号信,航空信1封即可.

于是,小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封.

9.有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克.现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为130克.那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7克的砝码.130÷7:18

??4,所以3克、5克的砝码应组合为4克,或4+7k克重.

设3克的砝码x个,5克的砝码y个,则3x?5y?4?7k.

当k=0时,有3x?5y?4,无自然数解;

当k=1时,有3x?5y?11,有x=2,y=1,此时7克的砝码取17个,所以共

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需2+1+17=21个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个.

当k>1时,7克的砝码取得较少,而3、5克的砝码却取得较多,不是最少的取

砝码情形.

所以共需2+1+17=20个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个.

10.5种商品的价格如表8—1,其中的单位是元.现用60元钱恰好买了10件商品,那么有多少种不同的选购方式

?

【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)

件,则有

2.9?10?b?c?d?e??4.7b?7.2c?10.6d?14.9e=60.

18b?43c?77d?120e=310,显然e只能取0,1,2. Ⅰ有18b?43c?77d=310,其中d可取0,1,2,3,4.

(1)当d=0时,有18b?43c=310,将系数,常数对6取模得:

c≡4(mod 6),于是c最小取4,那么有18b=310-43×4=138,b不为自然

数.所以d=0时。不满足; (2)有18b?43c=233,将系数,常数对6取模得:

c≡5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18,

; (3)有18b?43c=156,将系数,常数对6取模得:

c≡O(mod 6),于是c最小取0,那么有18b=156,b不为自然数,所以d=2

时,不满足; (4)有18b?43c=79,将系数、常数对6取模得:

c≡1(mod 6),于是最小那么有18b=79—43=36.

(5)当d=4时,有18b?43c=2,显然不满足. Ⅱ有18b?43c?77d=190,其中d可以取0、1、2. (1)有18b?43c=190,将系数、常数对6取模有:

c≡4(mod 6),于是最小那么有18b=190-43×4=18,

(2)当d=1时,有18b?43c=113,将系数、常数对6取模有:

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c≡5(mod 6),于是c最小取5,即18b+215=113,显然d=1时,不满足; (3)

时 有18b?43c=36,显然有Ⅲ

有18b?43c?77d=70,d只能取0,

有18b?43c=70,将系数、常数对6取模有:

c≡4(rood 6),于是c最小取4,那么有18b+172=70,显然不满足

最后可得到如下表的满足情况:

共有4种不同的选购方法.

11.有43位同学,他们身上带的钱从8分到5角,钱数都各不相同.每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片.画片只有两种:3分一张和5分一张.每11人都尽量多买5分一张的画片.问他们所买的3分画片的总数是多少张?

【分析与解】 钱数除以5余0,1,2,3,4的人,分别买0,2,4,1,3张3分的画片.因此,可将钱数8分至5角2分这45种分为9组,每连续5个在一组,每组买3分画片0+2+4+1+3=10张,9组共买10×9=90张,去掉5角1分钱中买的2张3分画片,5角2分中买的4张3分画片,43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张.

12.哥德巴赫猜想是说:“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和.”试将168表示成两个两位质数的和,并且其中的一个数的个位数字是1.

【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11,31,41,61,71.

其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数,只有

168-71=97是两位数,而且是质数,所以168=71+97是惟一解.

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13.(1)将50分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能大,那么这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么这个最大的质数是多少?

【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等,不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29,显然大于50.

所以,其中一定可以有某几个质数相等.

欲使最大的质数尽可能大,那么应使最小的质数尽可能小,最小的质数为2,且最多可有9个2,那么最大质数不超过50—2×9=32,而不超过32的最大质数为31.

又有50?2?2????2???2?3?31,所以满足条件的最大质数为31. ????

8个2

(2)最大的质数必大于5,否则10个质数的之和将不大于50.

所以最大的质数最小为7,为使和为60,所以尽可能的含有多个7.

60÷7=8??4,60=7+7+7+?+7?+7???????+4,而4=2+2,恰好有60=7+7+7+???????+2+2.即8个7与2

8个78个7

个2的和为60,显然其中最大的质数最小为7.

14.有30个贰分硬币和8个伍分硬币,用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元),于是除了50分和100分外,其他98种币值就可以两两配对了,即

(1,99);(2,98);(3,97);(4,96);?;(49,51);

每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成,则另一个也一定可以,显然50分和100分的币值是可以组成的,因此只需要讨论币值为1分,2分,3分,?,48分和49分这49种情况. 1分和3分的币值显然不能构成.

2分,4分,6分,?,46分,48分等2;4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成.

5分,7分,9分,?,47分,49分等23种奇数币值的只须分别在4分,6分,8分,?46分、48分的构成方法上,用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可,譬如,37分币值的,由于36分币值可用18枚贰分硬币构成,用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币,剩下的币值即为37分.

综合以上分析,不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种,即1分,3分,97分,99分.

15.小明买红、蓝两支笔,共用了17元.两种笔的单价都是整数元,并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种),可是他无论怎么买,都不能把35元恰好用完.那么红笔的单价是多少元?

【分析与解】如下表

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先枚举出所有可能的单价如表1.

再依次考虑:

首先,不能出现35的约数.否则只买这种笔就可以刚好用完35元,所以含有7,5,1的组合不可能. 然后,也不能出现35—17=18的约数.否则先各买一支需17元,那么再买这种笔就可以花去18元,一共花35元.所以含有9,6,3,2的组合也不可能.

所以,只有13+4的组合可能,经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解.所以红笔的单价为13元.

1.庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知每7个大和尚每天共吃41个馒头,每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头,问:庙里至少有多少个和尚.

2.小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声;晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声.细心的小娟对它们叫声统计了15天,它们并不是,每天早晚都见面,在这15天内它们共叫61声.问:波斯猫至少叫了多少声?

3.《张邱建算经》百鸡问题:今有百钱,鸡翁直钱五,鸡母直钱三,鸡雏三直一,百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?

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第9讲 整数分拆

1.一般的有,把一个整数表示成两个数相加,当两个数相近或相等的时候,乘积最大.也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数.

2.一般的有,把自然数m分成n个自然数的和,使其乘积最大,则先把m进行对n的带余除法,表示成m=np+r,则分成r个(p+1),(n-r)个P.

3.把自然数S (S>1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个),则分开的数当中最多有两个2,其他的都是3,这样它们的乘积最大.

4.把自然数分成若干个互不相等的整数,则先把它表示成2+3+4+5+?+n形式,当和等于原数则可以,若不然,比原数大多少除去等于它们差的那个自然数.

如果仅大于1,则除去2,再把最大的那个数加1.

5.若自然数N有k个大于1的奇约数,则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法.

即当有m个奇约数表示的乘积,则有奇约数2m-1个奇约数.

6.共轭分拆.我们通过下面一个例子来说明共轭分拆:

如:10=4+2+2+1+1

,我们画出示意图,我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到):,可以对应的写成5+3+l+1,也是等于10,即是10的另一种分拆方式. 我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆.

1.写出13=1+3+4+5的共轭分拆.

【分析与解】 画出示意图

的共轭分拆.

,翻转得到,对应写为4+3+3+2+1=13,即为13=1+3+4+5

2.电视台要播出一部30集电视连续剧,若要每天安排播出的集数互不相等.则该电视连续剧最多可以播出几天?

【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多,若要满足每天播出的集数互不相等的条件下,每天播出的集数应尽可能地少.

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28,现在就可以播出7天,还剩下2集,由于已经有2集这种情况,就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加.即把30表示成:

30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8

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即最多可以播出7天.

3.若干只同样的盒子排成一列,小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出,小明从每支盒子里取出一个小球,然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下.小聪回来,仔细查看,没有发现有人动过小球和盒子.问:一共有多少只盒子?

【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球,现在增加了b只,由于小聪没有发现有人动过小球和盒子,这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子,而这只盒子里原来装有(a+1)个小球. 同样,现在另有一个盒子装有(a+1)个小球,这只盒子里原来装有(a+2)个小球.

类推,原来还有一只盒子装有(a+3)个小球,(a+4)个小球等等,故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.

现在变成:将42分拆成若干个连续整数的和,一共有多少种分法,每一种分法有多少个加数? 因为42=6×7,故可以看成7个6的和,又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6,从而42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7个加数;

又因为42=14×3,故可将42:13+14+15,一共有3个加数;

又因为42=21×2,故可将42=9+10+11+12,一共有4个加数.

所以原问题有三个解:一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子

4.机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色:

凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色,不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和,23要染红色;1不能表示为两个不同合数之和,1染黄色).问:要染成红色的数由小到大数下去,第2000个数是多少?请说明理由.

【分析与解】 显然1要染黄色,2=1+1也要染黄色,

3=1+2,4=1+3=2+2,5=1+4=2+3,6=1+5=2+4=3+3,7=1+6=2+5=3+4,8=1+7=2+6=3+5=4+4,9=1+8=2+7=3+6=4+5,10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5,11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6.

可见,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11均应染成黄色.

下面统一观察其他自然数,说明其他自然数均要染成红色.

1)当n为大于等于10的偶数时,n=2k=4+2(k-2).

由于n≥10,所以k≥15,k-2≥3,2(k-2)与4均为合数,且不相等.于是,大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和,应染成红色.

2)当n为大于等于13的奇数时,n=2k+1=9+2(k-4).

由于n≥13,所以k≥6,k-4≥2,2(k-2)≥4与9均是合数,且不相等.也就是说,大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和,应染红色.

所以,除了1,2,3,4,5,6,7,8,9,11这10个数染黄色外,其余自然数均染红色,第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2).

所以第2000个染红色的数是2000+10=2010.

5.在整数中,有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9:9=4+5,9=2+3+4,9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.

(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.

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(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.

【分析与解】 关于某整数,它的“奇数的约数的个数减1”,就是用连续的整数的和的形式来表达 种数.

根据(1)知道,有3种表达方法,于是奇约数的个数为3+1=4,对4分解质因数4=2×2,最小的15(1、3、5、15);

有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

根据(2)知道,有6种表示方法,于是奇数约数的个数为6+1=7,最小为729(1、3、9、27、81、243、729),有连续的2,3、6、9、10、27个数相加:

364+365;242+243+244;119+120+?+124;77+78+79+?+85;36+37+?+45;14+15+?+40.

6.从整数1开始不改变顺序的相加,中途分为两组,使每组的和相等.如从1到3的话,1+2=3;从1到20的话:1+2+3+?+14=15+16+17+?+20.

请问:除上述两例外,能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?

【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加,假设情况见下图,

我们通过图得知,c是公共部分,而b+c为原等式的右边,a +c为原等式的左边,所以有a=b,a部分面积为

加到1);

有A?(A?1) (可以看成从1一直加到A),b部分面积为B×B(可以看作从1一直加到B再又2A?(A?1)=B×B. 2

可以表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B;

其中A是连续两个数中较小的一个,B的平方等于连续两个数的乘积除以2.

因为相邻的两个数互质,所以,偶数÷2后与原相邻奇数也互质;

所以,奇数必定为完全平方数;偶数÷2也为完全平方数,这样:

①奇数为1,则偶数为2,除以2,为1,均为完全平方数.A=l,B=1×2÷2=1,于是为A+B=2,A+2B=3;所以为l+2=3;

②奇数为9,则偶数为8,除以2,为4,均为完全平方数.A=8,B=8×9÷2=36,于是为A+B=8+6=14,A+2B=8+2×6=20;所以为1+2+3+?+14=15+16+17+?+20;

还可以偶数为10,除以2,为5,不是完全平方数,不满足.

③奇数为25,则偶数为24,除以2,为12,不是完全平方数,不满足;

还可以偶数为26,除以2,为13,不是完全平方数,不满足.

④奇数为49,则偶数为48,除以2,为24,不是完全平方数,不满足; 22

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还可以偶数为50,除以2,为25,是完全平方数.A=49,于是为A+B=49+35=84,B2=49×50÷2=1225,

A+2B=49+2×35=119.所以等式为l+2+3+?+84=85+86+87+?+119(=3570).

所以所求的式子为1+2+3+?+84=85+86+87+?+119(=3570).

7.把一个整数写成非零自然数的和的形式.如果所用的几个自然数相同,只是写的顺序不同,也只算做一种方法.另外,只使用一个自然数,也算做一种方法.

(1)比如,把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种:

6,5+1,4+2,3+3,4+l+1,3+2+1,2+2+2.请问:把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种?

(2)比如,把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种:

3+3+1,3+2+2,3+2+1+1,2+2+2+l,3+1+1+1+1,2+2+l+1+1,2+1+1+1+1+1,1+l+1+1+1+1+1.请问:把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种?

【分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50,求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种.

为了方便计算,不妨设x≤y≤z.

当x=0时,y+z=50,y可以取0~25,z对应取值,于是有26组解;

当x=1时,y+z=49,y可以取1~24,z对应取值,于是有24组解;

当x=2时,y+z=48,y可以取2~24,z对应取值,于是有23组解;

当x=3时,y+z=47,y可以取3~23,z对应取值,于是有21组解;

当x=4时,y+z=46, y可以取4~23,z对应取值,于是有20组解;

?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

当x=15时,y+z=35,y可以取15~17,z对应取值,于是有3组解;

当x=16时,y+z=34,y可以取16~17,z对应取值,于是有2组解.

所以,共有26+24+23+21+20+?+3+2组可能的值;

我们知道有17个数的和,我们注意到这些数的规律,每个数是上一个数-2,-1,-2,-1,?, -2,-1;

所以,我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+?+(3+2)=26+47??47???5=26+(47+5)×8÷2=26+52× ??????

8项

4=234

所以有234种不同的表示方法.

(2)我们注意一下,把6也分成三个以内的数的和,如:

6=1+1+4.

我们注意到从左往右看可以得到下面的数:1+1+4=6,

而从上往下看得到右边的数3+1+1+1=6,每个数都是3或3以下.

并且不光是6满足,其他的也满足,当把它从左到右排列成三个数以内的和,则从上到下一定是3以内的数的和.

也就说是一一对应的,于是(1)的种数就是(2)所对应的种数.即234种.

8.洗衣服要打好肥皂,揉搓得很充分,再拧一下,当然不可能全拧干.假设使劲拧紧后,衣服上

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还留有1千克带污物的水.现在有清水18千克,假设每次用来漂洗的水都是整数千克,试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几?

【分析与解】 我们假设分成n次分别为x,y,z,??,

则每次漂洗的时候,总是加上上次剩下的l千克污水,则每次实际水量分别为:

x+1,y+l,z+1,?,

则最后剩下了1111?????,,要使最后残留的最少,只要分母最大即可. x?1y?1z?1??1

注意到当18全部分成2的时候,2+1即是3,也就是满足我们【内容概述】第3条了,此时分了

1?1?18÷2=9次,于是为???. 319683??

但是我们还应注意到,当分的次数越多,分母的和越大.如:当分成10次时,经过的水量变成

8291?1??1?18+10=28,则此时可以是8个3千克,2个2千克,此时为??????. 26244?3??2?

于是考虑最极端的情况,我们把清水分成18次,此时经过的水量变成18+18=36,为18个2千克,181?1?此时对应???.因为每次必须是整数千克的水,所以不能再分. 2262144??

于是,当分成18次,每次1千克,此时剩下的污物残留量最少,为洗涤前的

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第10讲 数论综合(一)

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.

1.如果把任意n个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两种可能,那么n是多少?

【分析与解】 我们知道如果有5个连

续的自然数,因为其内必有2的倍数,也有5的倍数,则它们乘积的个位数字只能是0。 所以n小于5.

:当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5),显然其内含有2的倍数,那么它们乘积的个位数字为0;

如果不含有5的倍数,则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9;它们的积的个位数字都是4;

所以,当n为4时,任意4个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两科可能.

:当n为3时,有1×2×3的个位数字为6,2×3×4的个位数字为4,3×4×5的个位数字为0,??,不满足.

:当n为2时,有1×2,2×3,3×4,4×5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满足.

至于n取1显然不满足了.

所以满足条件的n是4.

2.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l, 67,71,73,79,83,89,97.

可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.

所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.

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3.如果某整数同时具备如下3条性质:

①这个数与1的差是质数;

②这个数除以2所得的商也是质数;

③这个数除以9所得的余数是5.

那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.

【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数,这个数只能是3或者偶数,再根据条件③,除以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件.

其中86与50不符合①,32与68不符合②,三个条件都符合的只有14.

所以两位幸运数只有14.

4.在555555的约数中,最大的三位数是多少?

【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37

显然其最大的三位数约数为777.

5.从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形,这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽,于是有:2002÷847=2??308,847÷308=2??231,308÷231=1??77.231÷77=3.

不难得知,最后剪去的正方形边长为77毫米.

6.已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能的答案.

【分析与解】 设这三个数为a、b、c,且a<b<c,因为两两不互质,所以它们均是合数.

小于20的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.其中只含1种因数的合数不满足,所以只剩下6,10,12,14,15,18这6个数,但是14=2×7,其中质因数7只有14含有,无法找到两个不与14互质的数.

所以只剩下6,10,12,15,18这5个数存在可能的排列.

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所以,所有可能的答案为(6,10,15);(10,12,15);(10,15,18).

7.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是

1.那么最少要分成多少组?

【分析与解】26=2×13,33=3×11,34=2×17,35=5×7,63=3×7,85=5×17,91=7×13,143=11×13. 由于质因数13出现在26、91、143三个数中,故至少要分成三组,可以分成如下3组:

将26、33、35分为一组,91、34、33分为一组,而143、63、85分为一组.

所以,至少要分成3组.

2

8.图10-1中两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米.两只甲虫同时从A出发,按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时,两只甲虫首次相距最远

?

【分析与解】 圆内的任意两点,以直径两端点得距离最远.如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点,沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点,两甲虫的距离便最远.

小圆周长为?×30=307r,大圆周长为48?,一半便是24?,30与24的最小公倍数时120. 120÷30=4.120÷24=5.

所以小圆上甲虫爬了4圈时,大圆上甲虫爬了5个

两只甲虫相距最远.

1圆周长,即爬到了过A的直径另一点B.这时2

9.设a与b是两个不相等的非零自然数.

(1)如果它们的最小公倍数是72,那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?

(2)如果它们的最小公倍数是60,那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3,有12个约数:1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.不妨设a>b.

:当a=72时,b可取小于72的11种约数,a+b≥72+1=73;

:当a=36时,b必须取8或24,a+b的值为44或60,均不同第一种情况中的值;

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:当a=24时,b必须取9或18,a+b的值为33或42,均不同第一、二种情况中的值;

当a=18时,b必须取8,a+b=26,不同于第一、二、三种情况的值;

:当a=12时,b无解;

:当a=9时,b必须取8,a+b=17,不同于第一、二、三、四情况中的值.

总之,a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值.

(2)60=2×2×3×5,有12个约数:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.a、b为60的约数,不妨设a>b.

:当a=60时,b可取60外的任何一个数,即可取11个值,于是a-b可取11种不同的值:59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30;

.当a=30时,b可取4,12,20,于是a-b可取26,18,10;

:当a=20时,b可取3,6,12,15,所以a-b可取17,14,8,5;

当a=15时,b可取4,12,所以a-b可取11,3;

: 当a=12时,b可取5,10,所以a-b可取7,2.

总之,a-b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值.

10.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳4

次.比赛途中,从起点开始每隔12

少米? 13米,黄鼠狼每次跳2米,它们每秒钟都只跳一243米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多8

3111339=,12÷2=. 824842

33 所以狐狸跳4个12米的距离时将掉进陷阱,黄鼠狼跳2个12米的距离时,将掉进陷阱. 88 【分析与解】 由于12÷4

又由于它们都是一秒钟跳一次,因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒,黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒,因此黄鼠狼先掉进陷阱,此时狐狸跳了9秒.

距离为9×41=40.5(米).

2

11.在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【分析与解】 我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.

1~198之间只有1,2,3,?,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5??9,所以共有5×18+9=99个这样的数.

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12.甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少?

【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数,等于2倍939除以A的余数,等于甲603除以A的余数.

即603÷A=a??k;(2×939)÷A=b??k;(4×393)÷A=c??k.

于是有(1878-603)÷A=b-a;(1878-1572)÷A=b-c;(1572-603)÷A=c-a.

所以A为1275,306,969的约数,(1275,306,969)=17×3=51.

于是,A可能是51,17(不可能是3,因为不满足余数是另一余数的4倍).

当A为51时,有603÷51=11??42;939÷51=18??21;393÷51=7??36.不满足; 当A为17时,有603÷17=35??8;939÷17=55??4;393÷17=23??2;满足.

所以,除数4为17.

13.证明:形如11,111,1111,11111,?的数中没有完全平方数.

【分析与解】 我们知道奇数的完全平方数是奇数,偶数的完全平方数为偶数,而奇数的完全平方数除以4余1,偶数的完全平方数能被4整除.

现在这些数都是奇数,它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.

评注:设奇数为2n+1,则它的平方为4n+4n+1,显然除以4余1.

2

14.有8个盒子,各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒,其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问:甲取走的一盒中有多少块奶糖?

【分析与解】 我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中,糖的块数是丁所取糖块数的5倍. 八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.

从216减去5的倍数,所得差的个位数字只能是1或6.

观察各盒糖的块数发现,没有个位数字是6的,只有一个个位数字是1的数31.

因此甲取走的一盒中有3l块奶糖.

15.在一根长木棍上,有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成10等份;第二种将木棍分成12等份;第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?

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【分析与解】 10,12,15的最小公倍数[10,12,15]=60,把这根木棍的1作为一个长度单位,这60

样,木棍10等份的每一等份长6个单位;12等份的每等份长5个单位;15等份的每等份长4单位. 不计木棍的两个端点,木棍的内部等分点数分别是9,11,14(相应于10,12,15等份),共计34个.

由于5,6的最小公倍数为30,所以10与12等份的等分点在30单位处相重,必须从34中减1. 又由于4,5的最小公倍数为20,所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重,必须再减去2.

同样,6,4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12,24,36,48单位处相重,必须再减去4.

由于这些相重点各不相同,所以从34个内分点中减去1,再减去2,再减去4,得27个刻度点.沿这些刻度点把木棍锯成28段.

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第11讲 立体图形

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题,解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.

第六届:“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题(略有改动)

1.用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米

?

【分析与解】显然,图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等,都等于3×3=9个小正方形的面积,朝左的面和朝右的面的面积也相等,等于7个小正方形的面积;朝前的面和朝后的面的面积也相等,都等于7个小正方形的面积,因此,该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积,而每个小正方形面积为l平方厘米,所以该图形表面积是46平方厘米.

2.如图11-2,有一个边长是5的立方体,如果它的左上方截去一个边分别是5,3,2的长方体,那么它的表面积减少了百分之几

?

【分析与解】 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150.

现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面,它们的面积为(3×2)×2=12,12÷150=0.08=8%. 即表面积减少了百分之八.

3.如图11-3,一个正方体形状的木块,棱长l米,沿水平方向将它锯成3片,每片又锯成4长条,每条又锯成5小块,共得到大大小小的长方体60块.那么,这60块长方体表面积的和是多少平方米? 学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 59 of 73

【分析与解】 我们知道每切一刀,多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.

现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀,而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米),所以表面积增加了9×2×1=18(平方米).

原来正方体的表面积为6×1=6(平方米),所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米).

4.图11-4中是一个边长为4厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体,做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米

?

【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米).

每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形,同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来看,每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形.

从而,它的表面积是96+4×6=120平方厘米.

5.图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为

边长为1厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,21厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米

? 4

【分析与解】 因为每挖一次,都在原来的基础上,少了1个面,多出了5个面,即增加了4个面. 所以,最后得到的立体图形的表面积是:

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2×2×6+1×l×4+×

1111××4+××4=29.25(平方厘米).

2244

6.有大、中、小3个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米·

【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06:0.54立方米;

放在小水池里的碎石的体积为2×2×0.04=0.16立方米;

则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米,现在放到底面积为6×6=36平方米的大水池中,则使大水池的水面升高0.7÷36=770017米=厘米=1厘米

36036018

7.如图11-6,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米?

【分析与解】 容器的底面积是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米),高为2 厘米,所以容器得体积为:

45×2=90(立方厘米).

8.今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体.问剩下的体积是多少立方厘米?

【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长,因为21:15:12=7:5:4,为了叙述方便,我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米,第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求,第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求.

于是,在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中,第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米.

所以剩下的体积应为:

21×15×12-(12?9?6)=1107(立方厘米).

333

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9.如图11-7,有一个圆柱和一个圆锥,它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米.那么,圆锥体积与圆柱体积的比是多少?

【分析与解】 圆锥的体积是?2?4???

所以,圆锥体积与圆柱体积的比是

13216?,,圆柱的体积是42?8???128?. 316?:128??1:24.

3

10.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤.问:今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?

3232323)?【分析与解】底面周长是3,半径是,??(所以今年粮囤底面积是,高是2. 2?4?4?2?22

同理,去年粮囤底面积是,高是1. 4?

3222

(?2)?(?1)?4.5. 4?4?

因此,今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍.

11.一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米.今将一个底面半径为2厘米,高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中.求这时容器的水深是多少厘米?

【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中,则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和,因而水深为:

52???15?22???18?17.72(厘米);

25??

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它比铁圆柱体的高度要小,那么铁圆柱体没有完全浸入水中.此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形.

底面积为5??2??21?,水的体积保持不变为5??15?315?.

所以有水深为

于是17

222315?6?17(厘米),小于容器的高度20厘米,显然水没有溢出 21?76厘米即为所求的水深.

7

12.如图ll-8,用高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米?(?取3.

14)

【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积,即

2???1.5?2???1.5?1?2???1?1?2???0.5?1 2

?4.5??3??2???

?10.5?

?32.97(平方米)

即这个物体的表面积是32.97平方米.

13.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固.所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米.若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米,则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?

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【分析与解】 长方体中,高+宽=+(365-5)=180,????????①

1(405-5)=200,???????????????????② 2

1长+宽=(485-5)=240,???????????????????③ 2高+长=

②-①得 长-宽=20,????????????????????④

④+③得 长=130,则宽=110,代入①得高=70,所以长方体得体积为:

70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米).

14.有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块,其中甲的棱长是乙的棱长的

的1,乙的棱长是丙的棱长22.如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体,每种至少用一块,那么最少需要3

这3种木块一共多少块?

【分析与解】设甲的棱长为1,则乙的棱长为2,丙的棱长为3.显然,大正方体棱长不可能是4,否则无法放下乙和丙各一个.

于是,大正方体的棱长至少是5.事实上,用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体,其中丙种木块只能用1块;乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少);甲种木块需用:5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(块).

因此,用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体,至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块).

15.有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体,把它们的某划面染上红色,使得有的长方体只有1个面是红色的,有的长方体恰有2个面是红色的,有的长方体恰有3个面是红色的,有的长方体恰有4个面是红色的,有的长方体恰有5个面是红色的,还有一个长方体6个面都是红色的,染色后把所有长;方体分割成棱长为1厘米的小正方体.分割完毕后,恰有一面是红色的小正方体;最多有多少个?

【分析与解】一面染红的长方体,显然应将4×5的长方体染红,这时产生20个一面染成红色的小正方体,个数最多.

二面染红的长方体,显然应将两个4×5的长方体染红,这时产生40个一面染成红色的小正方体,个数最多.

三面染红的长方体,显然应将4×5,4×5,4×3的面染红,于是产生4×(5+5+3-4)=36个一面染成红色的小正方体,其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个.

四面染红的长方体,显然应将4×5,4×5,4×3,4×3的面染红,产生4×(5+5+3+3-2×4)=32

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个一面染成红色的正方体,其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个.

五面染红的长方体,应只留一个3×5的面不染,这时就产生(3-2)×(5-2)+(4-1)×(5+5+3+3-2×4)=27个一面染成红色的小正方体,其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27.

六面染红的长方体,产生2×[(3-2)×(5-2)+(5-2)×(4-2)+(4-2)×(3-2)]=22个一面染成红色的小正方体.

于是最多得到:22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体.

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第12讲 几何综合(一)

几何图形的设计与构造.涉及比例与整数分解,需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题.

1.今有9盆花要在平地上摆成9行,其中每盆花都有3行通过,而且每行都通过3盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行.

【分析与解】 如下图所示,我们给出四种不同的排法.

2.已知如图12-1,一个六边形的6个内角都是120°,其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米.求这个六边形的周长.

【分析与解】 如下图所示,将六边形的六条边分别延长,相交至三点,并将其标上字母, 因为∠BAF=120°,而么∠IAF=180°-∠BAF=60°.

又∠EFA=120°,而∠IFA=180°-∠EFA:60°,则

△IAF为等边三角形.

同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形.

在△IAF中,有IA=IF=AF=9(厘米),

在△BGC中,有BG=GC=BC=1(厘米),

有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19,即为大正三角形的边长,所以有

IG=IH=GH=19(厘米).

则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米),在△EDH中,DH=EH=5(厘米),所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(

厘学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 66 of 73

米).

于是,原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米).

3.图12-2中共有16条线段,每两条相邻的线段都是互相垂直的.为了计算出这个图形的周长,最少要量出多少条线段的长度

?

【分析与解】 如下图所示,我们想像某只昆虫绕图形爬行一周,回到原出发点,那么往右的路程等于往左的路程,往上的路程等于往下的路程.于是只用量出往右的路程,往下的路程,再将它们的和乘以2即为所求的周长.所以,最少的量出下列6段即可.

4.将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4,其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为

2:3.已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少

?

【分析与解】设重叠部分的面积为x,则原三角形面积为1+2x,粗实线的面棚为1+x.因此 (1+2x):(1+x)=3:2,解得x=1,即重叠部分面积为1.

5.如图12-5,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形的面积是多少平方厘米

?

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【分析与解】 如下图所示,在正六边形ABCDEF中,角星形,那么由6个及12个与面积相等,12个组成小正六组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米).

而通过下图,我们知道,正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形,并且它们面积相等,且与六个角

的面积相等,所以大正六角星形的

积为24÷6×12=48(平方厘米).

6.如图12-6所示,在三角形ABC中,DC=3BD,DE=EA.若三角形ABC的面积是1.则阴影部分的面积是多少

?

【分析与解】 △ABC、△ADC同高,所以底的比等于面积比,那么有

DC33?S?ABC??S?ABC?. BC44

13而E为AD中点,所以S?DEC?S?ADC?. 28S?ADC?

连接FD,△DFE、△FAE面积相等,设S?FEA?x,则.S?FDE的面积也为x,S?ABD?11S?ABC?

. 44

S?BDF?S?ABD?S?FEA?S?FDE?13?2x,而S?FDC?S?FDE?S?DEC?x?. 48

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133S?BDF:S?FDC?(?2x);(x?)?1:3,解得x?. 4856

333所以,阴影部分面积为S?DEC?S?FEA???.

8567

7.如图12-7,P是三角形ABC内一点,DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四边形AIPD的面积是12,四边形PGCH的面积是15,四边形BEPF的面积是20.那么三角形ABC的面积是多少

?

【分析与解】 有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比,即为12:15=4:5. 同理有FP:PG=20:15=4:3, DP:PE=12:20=3:5.

如图12-7(a),连接PC、HD,有△PHC的面积为

即S?DPH?15△DPH与△PHC同底PH,同高,所以面积相等,215,而△DPH与△EPH的高相等,所以底的比即为面积的比,有2

551525S?DPH:S?EPH?DP:PE?3:5,所以S?EPH??S?DPH???. 3322

IPIP4如图12-7(b)所示,连接FH、BP,S?IFP?S?EPH?S?FBP??10?8; PHPH5

PGPG39如图12-7(c)所示,连接FD、AP,S?DPG?S?DFP?S?APD??6?

.

FPFP42

有S?ABC?S?AIPD?S?BEPF?S?CGPH?S?IFP?S?DGP?S?EHP?12?20?15?8?

925??72. 22

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8.如图12-8,长方形的面积是小于100的整数,它的内部有三个边长是整数的正方形,①号正方形的边长是长方形长的51,②号正方形的边长是长方形宽的.那么,图中阴影部分的面积是多少

? 128

57,则图中未标号的正方形的边长为长方形长的. 1212

17 而②号正方形的边长为宽的,所以未标号的正方形的边长为长方形宽的. 88

77 所以在长方形中有:长=宽,则长:宽=12:8,不妨设长的为12k,宽为8k,则①号正方形128【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的

的边长为5k,又是整数,所以k为整数,有长方形的面积为96k,不大于100.所以k只能为1,即长方形的长为12,宽为8.

于是,图中①号正方形的边长为5,②号正方形的边长为1,则未标号的正方形的边长为7,所以剩余的阴影部分的面积为:

12?8?5?1?7?21.

2222

9.如图12-9,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是两个正方形重叠部分,C,D,E是空出的部分,这些部分都是长方形,它们的面积比是A:B:C:D:E=1:2:3:4:5.那么这个长方形的长与宽之比是多少

?

【分析与解】 以下用E横表示E部分横向的长度,E坚竖表示E部分竖向的长度,其他下标意义类似.

有E横:D横=5:4,A横:B横=l:2.

而E横+A横=D横+B横,所以有E横:D横:A横:B横=5:4:1:2.

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而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6,那么C横对应为3.

而A面积:B面积:C面积=1:2:3,所以A坚=B坚=C坚.

有A坚+C坚竖对应为6,所以A坚=C坚对应为3.

那么长方形的竖边为6+C坚对应为9,长方形横边为

E横+6+D横对应为5+6+4=15.

所以长方形的长与宽的比为15:9=5:3.

10.如图12-10,红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个正方形盒内,它们之间互相叠合.已知露在外面的部分中,红色的面积是20,黄色的面积是

14,绿色的面积是lO.那么,正方形盒子的底面积是多少

?

【分析与解】 如下图所示,我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘,有露在外面的部分,黄色减少的面积等于绿色增加的面积,也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变.

并且有变化后,黄色露出面积+红色部分面积,绿色露出面积+红色部分面积,都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积.

所以,黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积,于是.黄色露出面积=绿色露出面积,而它们的和为14+10=24,即黄色露出面积=绿色露出面积=12.

有黄:空白=红:绿,12:空白=20:12,解得空白=7.2,所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2.

11.如图12-11,在长260厘米,宽150厘米的台球桌上,有6个球袋A,B,C,D,E,F,其中AB=EF=130厘米.现在从4处沿45°方向打出一球,碰到桌边后又沿45°方向弹出,当再碰到桌边时,仍沿45°方向弹出,如此继续下去.假如球可以一直运动,直至落入某个球袋中为止,那么它将落人哪个袋中?

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【分析与解】 将每个点的位置用一组数来表示,前一个数是这个点到FA的距离,后一个数是点到FD的距离,于是A的位置为(0,150),球经过的路线为:

(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220,150) →(70,0) →(0,70) →(80,150) →(230,0) →(260,

30) →(140,150) →(0,10) →(10,0) →(160,150) →(260,50) →(210,0) →(60,150) →(0,

90) →(90,0) →(240,150) →(260,130) →(130,0).

因此,该球最后落入E袋.

12.长方形ABCD是一个弹子盘,四角有洞.弹子从A出发,路线与边成45度角,撞到边界即反弹,并一直按此规律运动,直到落人一个洞内为止.如图12-12.当AB=4,AD=3时,弹子最后落入B洞.问:若AB=1995,AD=1994时,弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前,撞击BC边多少次

?

【分析与解】撞击AD边的点,每次由A向D移动2;撞击BC边的点,每次由C向B移动2. 因为第一次撞击BC边的点距C点1,第一次撞击AB边的点距A点为2,1994÷2=997.

所以最后落人D洞,在此之前撞击BC边997次.

13.10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状.过图中所示两个圆心

A,B作直线,那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?

【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆,2个半圆,1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆,即共有4个完整的圆.

那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆,每个圆的面积相等,所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4:6=2:3.

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14.在图12-14中,一个圆的圆心是0,半径r=9厘米,∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(?取

3.14)

【分析与解】有AO=OB,所以△AOB 为等腰三角形,AO=OC,所以△AOC为等腰三角形.

∠ABO=∠1=15°,∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°.

∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°.

所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°,所以扇形BOC的面积为

60?92???42.39(平方厘米).

360

15.图12-15是由正方形和半圆形组成的图形.其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点.已知正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少?(?取

3.14)

【分析与解】 过P做AD平行线,交AB于O点,P为半圆周的中点,所以0为AB中点.

有SABCD?10?10?100,S半圆DPC?(1021)????12.5?. 22

S?AOP?5?(10+101??10??1)??37.5,S梯形OPQB???10???5??5??50. 222??2??

阴影部分面积为SABCD?S半圆DPC-S?AOP?S梯形OPQB?100?12.5??37.5?50?12.5?12.5??51.75.

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