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点击2003年全国初中数学联赛题

发布时间:2013-09-20 09:04:44  

  24 

思想?方法?技巧

中学数学教学参考

    2003年第7期

点击2003年全国初中数学联赛题

陕西师范大学数学系 罗增儒

  2003年全国初中数学联赛试题揭晓了,给人的第一印象是像它的主办省一样,有西部遗风、存古城淀积,).文[、时新题型(情景题、应用题、开放探索题[2], -

b

-=…=x-

x-

c

     ①

.

1 估算

例1 2

3-2+

).17-12等于(  

x-x-

x-

.②

a

A.5-4  B.4-1  C.5  D.1(2003年全国初中数学联赛,选择第1题)

显然x≠0,否则由①得a=c,与已知矛盾Ξ.由②计算得

,

ax3-x2-2ax+1

去分母,并约去x≠0得

a=

(2-x2)(a2-xa+1)=0.

4

3

2

讲解 用配方法可得出准确值.原式=2

=1,

(-1)2+

(3-2)2

=(2-2)+3-2③④⑤⑥

这与题型无关(求解对照法).而从选择题出发注意到四个选择支也是已知信息,则有大小关系

4-1>5>1>0>5-4,

同理(2-x2)(b2-xb+1)=0.

(2-x)(c-xc+1)=0.(2-x2)(d2-xd+1)=0.

2

2

可作估算(=11414…>114)

2

3-2<-12=

<

(3-2×114)=6(3-2)-16×012-1<1.

018<1,

但关于t的二次方程

t2-xt+1=0

最多有两个不等的实根,而③、④、⑤、⑥表明关于t的方程

(2-x2)(t2-xt+1)=0

相加 0<原式<2.

这就排除了A、B、C,应选D(特征否定法).这是一种黑箱方法,没有打开黑箱而破译黑箱.

有4个不等实根,故只有

2-x2=0,

得 x=.

当x=时,存在4个实数

b

2 充分性的补充

例2 已知实数a、b、c、d互不相等,且a+

b+

=

=x,试求x的值.

cda

(2003年全国初中数学联赛,第二试A卷第三题、=c+

=d+

,c=,d=,

a-a1-a

使 a+=b+=c+=d+=.

a,b=

b

c

d

a

当x=-时,存在4个实数

a,b=

C卷第一题)

讲解 本题的背景是迭代周期为4的分式线性函数,求x相当于确定函数解析式.文[1]的解法没验证充分性(只检验x=0不成立,未检验x=时成立).下面给出一种更显结构美的完整解法.

,c=,d=,

a--a1+a

Ξx=0对应的函数为f(x)=-,有f(f(x))=x迭

代周期为2,当然4也是一个迭代周期.

x

中学数学教学参考  2003年第7期

使a+

b

思想?方法?技巧

d

25  

 

=b+

c

=c+=d+

a

=-.

例3-1 凸n边形的内角中,最多有3个锐角.

(见文[4]P.81例1)

所以,x=均为所求.评析 (1)这说明存在两个函数

0  1 →A=,-x-10  1或f(x)= →A=,

--x-1--1  0

使 f(f(f(f(x))))=x →A4=.

0  -(2)本题的一个原型是(见文[3]P..3)

f(x)=

3 历史厚重

像例3那样涉及多边形内、外角性质的数学竞赛题很多,.

例3-2凸1992).  

D.1991个(年北京市初中数学竞赛题)

例2-1 若x1、x2、x3且x1+

x2

=x31

例3-3 设n为自然数,且n≥4,又设凸n边形中出现锐角的最大数为M,出现锐角的最小个数为

).m;则M+m的值是(  

k,则12x3=k

2222

(或k2=1).

(3)对文[1]得出的(d-a)(x3-2x)=0,

A.3         B.4C.大于4的自然数  D.不能确定(1985年上海市初中数学竞赛题)

再把d=x-).多是(  

a

代入,便可得出③式.

例3-4 凸八边形的内角中,钝角个数为m,锐

).角的最大数为n,则(  

例3 在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最

A.0   B.1   C.3   D.5(2003全国初中数学联赛,选择第2题)

A.m<n   B.m>n   C.m=nD.m<n,m>n,m=n都有可能(1991年“江汉杯”初中数学竞赛题)

讲解 文[2]从外角和入手考虑,说明内角中锐角最多不能超过3个(必要性).如果选择支中3最小,则选3是严格的(除非出错题).但本题中选项A、B均比

3小,故应像文[1]一样,给出充分性的说明.下面提供

……

例4 若函数y=kx(k>0)与函数y=

).的面积为(  

x

的图象

相交于A、C两点,AB垂直x轴,垂足为B,则△ABC

A.1   B.2   C.k   D.k2(2003年全国初中数学联赛,选择第3题)

一个直接从内角和入手的完整解法.

解 设凸10边形所有内角中,有x个锐角,10-x个非锐角,由内角和公式得

90x+180(10-x)>∠A1+∠A2+…+∠A10

=8×180,

这又是一类有悠久历史的题型,1992年笔者曾为全国初中数学竞赛提供了如下试题:

例4-1 如图2,正比例函数y=x和y=ax(a

(k>0)的图象分别x

相交于A点和C点.若Rt△AOB和Rt△COD的面

有  90x<360,得  x<4.

即凸10边形的内角中锐角最多不能超过3个(必要性).

作一个圆心角为60°的扇形A1A2A10(图1),取弧A2A10的四等分点

A3、A9,再把弧A3A9六等

>0)的图象与反比例函数y=

).积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(  

A.S1>S2  B.S1=S2C.S1<S2  D.不确定(1992年全国初中数

学联赛,选择第5题)

当时的命题意图是:

(1)覆盖常数与变数、

分,分点为A4、A5、A6、

A7、A8.则凸10边形

A1A2…A10中有三个锐角∠A10A1A2=60°,(充分性),故凸10边∠A1A2A3=∠A1A10A9=6715°

正比例函数与反比例函数、函数解析式与函数图象等众多知识点.

形的所有内角中,锐角的个数最多是3个.一般地,有

  26 

思想?方法?技巧

中学数学教学参考

    2003年第7期

例5 如图6,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线.若AA′=BB

′=AB,则∠BAC.

(2003年全国初中数学联赛,填空第3题)

(2)体现坐标法的本质,即数形结合的思想与运动

的观点.

(3)展示数学竞赛中“不变量”的解题技巧.虽然a

取不同数值时,Rt△COD的形状会变化,但面积不变,因为反比例函数上的点A(xA,yA),C(xC,yC)恒有

xAyA=xCyC=k,从而S1=S2=

k.2

此后,按照同样思想编拟的类似题目频繁出现在

初中数学教学中,成为一类常见题.文[2]中提到的两个图形(见原文图1、图2)就同时出现在2000年的中考题中:

例4-2 如图3,y=kx0)比例函数y).则(  

早就有这样的命题:.其逆命题的难度大概是被低估了,长期没有引起人们的注意.1840年,有人提出来了,但没能解决.后来,瑞士几何学家斯坦纳给出了最初的证明,后人便将其称为斯坦纳定理.

例5-1 (斯坦纳定理)两条角平分线相等的三角形,为等腰三角形.

后来许多数学家相继给出60多种证法,大多是间接证法,比较有趣的直接证法是1980年前后给出的

(参见文[5]P.340).

、CA作x

轴的垂线,BC.S△ABC的面积为S,

A.S=1B.S=2C.S=3D.S的值不确定(2000年天津市中考

这个问题的解决,自然导致人们思考:两条外角平分线相等的三角形是否仍为等腰三角形,例5给出了

题)

x点,且A、B关于原点对称.AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂

例4-3 如图4,A、B是函数y=的图象上的

反例(可见于文[6]P.184例10).文[2]指出“,本题为

1995年上海市初中数学竞赛的一道填空题”.其实,1986年的上海市初中数学竞赛就已编拟为选择题(把

足分别为C、D.如果四边形ABCD的面积为S,那么

(  ).

图6中的A′记为D,B′记为E).

例5-2 在△ABC中,∠A、∠B的外角平分线

AD、BE分别交对边延长线于点D、E,且AD=AB=).BE,则∠A的度数是(  

A.S=1B.1<S<2C.S=2D.S>2

(2000年北京市朝阳区

A.10°  B.11°  C.12°  D.非上述答案(1986年上海市初中数学竞赛题)

……

中考题、宿迁市中考题类似)

x

上的任意两点,过A作x轴的垂线,垂足为点B.过C

例4-4 如图5,A、C是反比例函数y=图象

4 辅助线的隐去

例6 设△ABC的面积为1,D是AB边上一点,且

=,若在AC边上取一点E,

使得四边形AB3

).DECB的面积为,则的值为(  

4EA

作y轴的垂线,垂足为D.记Rt△AOB的面积为S1,

).Rt△COD的面积为S2,则(  

A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2

D.S1和S2的大小关系

A.

不能确定

(2000年武汉市中考题)

  B.23C.  D.45

(2003年全国初中数学联赛,

选择第5题)

文[1]、[2]都通过连结BE,

……

下题是一个著名的反例,与斯坦纳定理有关.

中学数学教学参考  2003年第7期

然后将线段比线CD,则有

==EAS△DEAS△DEA

S△ABC-(S△ABC-S四边形DECB)-===.

S△DEA3

S△BCE转化为面积比.如果连结辅助EAS△ABE

思想?方法?技巧

(2003年全国初中数学联赛,填空第1题)

27  

 

讲解 文[1]没有判别直角顶点为C欠严密,文

[2]用“画图知”来判别显得含糊,另外,两文都要先判

定x1x2<0,则没有充分利用坐标本身代表有向线段的特征.我们用勾股定理来处理.

解 设A(x1,0),B(x2,0),C(0,c),由A、B、C,c≠0,过

Ax,2个

4

这个处理并不比原处理简单,但给我们一个有益

的启示:若把已知条件中的线段关系与面积数值结合在一起,则运算可以一气呵成.助线.

S解 由

S,A,只有,,得

2+C2=AB2,

sinA=,ABACABC?sinA即 (x12+c2)+(x22+c2)(x1-x2)2.有 2c2=-2x1x2=-2

a

,

得=,

△ABC3AC

约去2c≠0可得 ac=-.

评析 式①自动确定x1x2≤-c2<0,其中c≠0也作了必要的明确.

例9 设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的

两根都大于-而小于,则m=.57

(2003年全国初中数学联赛,填空第2

题)

讲解 文[2]用二次函数

2

f()=3xmx-2

?3AC=AE,4

有 3(AC-AE)=AE,

即1-

即 3CE=AE,得=.AE3

例7 如图8,在??ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于

E,且与CD相切.若AB=4.BE).=5,则DE的长为(  

内有两个交点的充要条件,其原理,

57

;文[]联立

在区间-

A.3   B.4C.

  D.45

(2003年全国初中数学联赛,选择第6题)

ff

-7

5=

=-

m+>0,525

m->0,

749

简单但充分性会引起怀疑,当解出的m有多个值且存在增根时,就有漏洞了.

解 设方程的两个实根为x1、x2(x1≤x2),有恒等式

3x2+mx-2=3(x-x1)(x-x2).<x1≤x2<,知723-+m--2=3--x1

5553

7

2

讲解 文[1]、[2]的解法都连了两条辅助线,通过等弦、等角来传递线段的等长.其实,直接使用平行线间的弧等长来传递线段的等长,无需使用辅助线.

解 由ABCD是平行四边形知

DC=AB=4,DA=CB,,∥由 -

有 BC=CA=CE+EA=AB+EA=EB,得 CB=BE=5.

由切割线定理,得

22DE===.

DACB5

-

-x2>0,5

+m

7

-2=3

-x17-x2>0.7

<m<4,2145

但m为整数,只有(必要性)m=4.

解得 3

5 二次函数(方程)

例8 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C.若△ABC是直角三角形,则ac的值等于.

把m=4代入原方程,解得

x1,2=

.3

<3

<.7

有 -

<53

  28 

故m=4为所求.

思想?方法?技巧

=32-

中学数学教学参考

    2003年第7期

(AC-8)2≤32,2

故有①、②同时取等号,得AB⊥AC,CD⊥AC,AC=8,AB+CD=8.

6 一道解答题的探析

例10 已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、

AC的长都是整数,且它们的和为16.

(1)这样的四边形有几个?

(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.(2003年全国初中数学联赛,第二试B卷第三题、

但AB,CD均为整数,故得这样的四边形共有四个(高恰为对角线AC=8,见图10):

AB=7,=1,=,(=2,=(,,,(梯形),=4,AC=8.(平行四边形)

(2)由(1)知AB⊥AC,CD⊥AC,CD=8-AB,进

C卷第三题)

先考虑一个较为简单的三角形问题.例10-1 已知△ABC的面积为32,AB+AC=.△ABC.

解 设Ax32=S△ABCAB×AC2

BC=AB+AC=AB+8,

22222AD=CD+AC=(8-AB)+8.2

2

2

2

2

有  AB2+BC2+CD2+DA2

=2[AB2+(8-AB)2+82]=4(AB2-8AB+82)=4(AB-4)2+192

(16-x)x,=2

(x-8)2≤=32-32.2

故不等式取等号,同时得

AB=AC=8,∠BAC=90°.

≤192.

当AB=4时,上述平方和取最小值192.

评析:可见,两问求解的关键在于确定AB⊥AC,

CD⊥AC,由此可以推出AB∥CD.这就是说明,垂直

△ABC为等腰直角三角形.

现把等腰Rt△ABC的一腰AB拆成两条整数线段,分别平移到AC的两侧,组成等积四边形,共有4个(图10),以这四个四边形为背景,便可编拟例10(逆推法).下面给出原题的解法,

与上述三角形问题的求解极为相似.

比平行更反映题目结构的本质.

7 一点细节

填空第4题,求“a、b中较大的数是.”,其可能的歧义是填上a而不写出具体数字;另外“正整数a、b之差为120”隐含a>b,也会有考生理解为

|a-b|=120.建议这两点都加以明确,题目改为

例11 已知正整数a、b的最小公倍数是其最大公约数的105倍,且a-b=120,那么,a=.参考文献

1 2003年全国初中数学联赛试题及参考答案.中学生数学.

2003,5(下)

2 刘康宁.2003年全国初中数学联赛试题讲解.中学数学教

解 (1)由面积公式知

S△ABCAB×AC,

2S△ACDCD×AC.

2

等号当AB⊥AC,CD⊥AC时成立.

①+②,得

32=S四边形ABCD

(AB+CD)×AC2(16-AC)×AC=2

学参考.2003,5

①②

3 罗增儒.数学的领悟.郑州:河南科学技术出版社.1997,14 罗增儒.初中数学奥林匹克(二年级).西安:陕西师范大学

出版社.2001,7

5 罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社.

2001.7

6 罗增儒.高中数学奥林匹克(一年级),西安:陕西师范大学

出版社.2001,7

7 罗增儒.分式线性函数的迭代与一类函数方程的编拟.数

学竞赛(3).湖南教育出版社,1989,8

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