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第四十四讲 初中数学竞赛试题

发布时间:2013-09-20 09:04:44  

初中竞赛数学专题 普及数学知识,传播数学文化。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题,本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同的实数,则3x2?xy?y2

x?xy?y22的值是( )

15(A)3 ; (B); (C)2; (D).2 33

2.如图,AB‖EF‖CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是( )

(A)10 (B)12 (C)16 (D)18

3.方程x2?x?1?0的解是( )

(A)1??1?1??1??1?; (B);(C)或;(D)?. 22222

11?14.已知:x?(1991n?1991n)(n是自然数).那么(x??x2)n,的值是( ) 2

?1?1(A)1991?1 (B)?1991 (C)(?1)n1991(D)(?1)n1991

5.若1?2?3???99?100?12nM,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,则M( ) (A)能被2整除,但不能被3整除;

(B)能被3整除,但不能被2整除;

(C)能被4整除,但不能被3整除;

(D)不能被3整除,也不能被2整除.

6.若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a?b?c,b?c?d,c?d?a,那么

a?b?c?d的最大值是( )

(A)?1;(B)?5;(C)0;(D)1.

7.如图,正方形OPQR内接于ΔABC.已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ S1?1的面积分别是S1?1,S2?3和S3?1,那么,正方形OPQR的

边长是( ) (A)2;(B);(C)2 ;(D)3.

?S

2?3 S3=1 8.在锐角ΔABC中,AC?1,AB?c,?A?60,ΔABC的外接圆半径R≤1,则( ) (A)11<c<2 (B)0<c≤ (C)c>2 (D)c=2 22

二、填空题

1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE交对角线BD于G,如果ΔBEG的面积是

1,则平行四边形ABCD的面积是 .

2.已知关于x的一元二次方程ax

2?bx?c?0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和

- 1 -

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(x?1)m(x?1)p

3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x >0,恒成立,则(m2?2n?p)2q? . ?1?xx

4.四边形ABCD中,∠ ABC?135?,∠BCD?120?,AB?6,BC?5?3,CD = 6,则.

120?135?

第二试

一、x?y,x?y,xy,x四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x,y). y

二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).求证:BF=AF+CF

三、将正方形ABCD分割为n2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题,本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足a?b?ab?1的非负整数(a,b)的个数是( )

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

22.若x0是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b?4ac与平方式M?(2ax0?b)的22

关系是( )

(A)?>M (B)?=M (C)?>M; (D)不确定.

3.若x?13x?1?0,则x?x的个位数字是( )

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.

答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为( )

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

- 2 - 24?4

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5.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函数y?k(k?0)的图像分别相x交于A点和C点.若Rt?AOB和?COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是( )

(A)S1?S2 (B)S1?S2

(C)S1?S2 (D)不确定

6.在一个由8?8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的

所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,则数部分是( )

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ?A?60?,又E是底边AB上一点,且

FE=FB=AC, FA=AB.则AE:EB等于( )

(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10

8.设x1,x2,x3,???,x9均为正整数,且x1?x2?????x9,x1?x2?????x9?220,则当S1的整S2

x1?x2?x3?x4?x5的值最大时,x9?x1的最小值是( )

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

2.若x?x2?x4??x4

的最大值是__________. ?0,则x

?3.在?ABC中,?C?90,?A和?B的平分线相交于P点,又PE?AB于E点,若BC?2,AC?3,则

AE?EB?.

111ba4.若a,b都是正实数,且???0,则()3?()3?aba?bab

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x?6x?a?0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.

二、如图,在?ABC中,且?BED?2?CED??A. AB?AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,

求证:BD?2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下: A:320651 B:105263

C:612305 D:316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求:M和N.

- 3 - 2

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1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题,本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12?x6?1除以x2?1的余式是( )

(A)1; (B)-1; (C)x?1; (D)x?1;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是( )

(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x是实数,y?x?1?x?.下列四个结论:

Ⅰ.y没有最小值;

Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是( )

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

?x1?x2?x3?a1;?x?x?x?a;2342???x3?x4?x5?a3;

?x?x?x?a;514?4

??x5?x1?x2?a5.

其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是( )

(A)x1?x2?x3?x4?x5; (B)x4?x2?x1?x3?x5;

(C)x3?x1?x4?x2?x5; (D)x5?x3?x1?x4?x2.

5.不等式x?1?(x?1)2?3x?7的整数解的个解( )

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5

6.在?ABC中,?A是钝角,O是垂心,AO?BC,则cos(?OBC??OCB)的值是( ) (A)?2231 (B) (C) (D)?. 2222

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于( ) (A)111:: (B)a:b:c abc

(C)cosA:cosB:cosC (D)sin

A:sinB:sinC.

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8.3(421?1??)可以化简成( ) 999

(A)3(2?1); (B)3(2?1) (C)2?1 (D)2?1

二、填空题

1. 当x变化时,分式3x2?6x?5

1x2?x?1的最小值是___________.

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2?1)(x2?4)?k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,?A?30?.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形

ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,

这时乘积S?ABC?S?HBC的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.

二.?ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段

DE将?ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

?,x2?,且x1x2?0,x1?x2??0. 三.已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1

??0,x2??0; (1)求证:x1?0,x2?0,x1

(2)求证:b?1≤c≤b?1;

(3)求b,c所有可能的值.

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

(4月3日上午8:30—9:30)

考生注意:本试共两道大题,满分80分.

一、选择题(本题满分48分,每小题6分)本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其

中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.

〔答〕( )

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2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z( )

A.都不小于0 B.都不大于0

C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0

3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,

DA=3,则AB的长( )

A.等于4 B.等于5

C.等于6 D.不能确定

A.1 B.-1 C.22001 D.-22001〔答〕( )

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的

图形,则共得同旁内角( )

A.4对 B.8对 C.12对 D.16对

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则

AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是( )

A.1001 B.1001,3989

C.1001,1996 D.1001,1996,3989

二、填空题(本题满分32分,每小题8分)各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

3.在△ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形

纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

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第二试

(4月3日上午10:00—11:30)

考生注意:本试共三道大题,满分60分.

一、(本题满分20分)如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.

求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

思路一:△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.)

思路二:△PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.)

连接OB、OA。∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO

PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO 所以O与A,P,Q,四点同园

二、(本题满分20分)周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?

三、(本题满分20分)某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,??,15)个题的人数的一个统计.n 0 1 2 3 ?? 12 13 14 15,做对n个题的人数7 8 10 21 ?? 15 6 3 1。如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人?

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题;

小题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A D B B D C B C

二、填空题:

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第二试提示及答案.

一、连结OA,OC,OP,OQ.证明△OCP≌△OAQ,于是∠CPO=∠AQO,所以O,A,P,Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

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2002年全国初中数学联合竞赛试题及答案

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2003年全国初中数学联合竞赛试题及答案

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2005年全国初中数学联合竞赛试题及答案

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2005年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

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2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

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答案:

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2007年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

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答案:

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2008年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案

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答案:

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2008年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案

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答案:

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2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

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1.

设a?1,则3a3?12a2?6a?12?()

A.24. B. 25.

C. 10.

D. 12.

2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=()

A. B. 10.

C.

D. 23.用[x]表示不大于x的最大整数,则方程x?2[x]?3?0的解的个数为()

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为() A.3314. B. . C. . D. . 14727D

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半

圆的切线AE,则sin?CBE=()

21 B. . C. .

D. 33

6.设n是大于1909的正整数,使得Cn?1909为完全平方数的n的个数是() 2009?n

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x?2x?t?1?0的两个非负实根,则(a?1)(b?1)的最小值是_____?3_______.

2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF的面积为

______.

3.如果实数a,b满足条件a?b?1,|1?2a?b|?2a?1?b?a,则a?b?__?1____.

4.已知a,b

是正整数,且满足2222222?是整数,则这样的有序数对(a,b)共有___7__对. 第二试

一.(本题满分20分)已知二次函数y?x?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明:⊙P与y轴的另一个交点为定点.

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.

解 (1)易求得点C的坐标为(0,c),设A(x1,0),B(x2,0),则x1?x2??b,x1x2?c.

设⊙P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=2

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cOA?OBx1x2???1. OC×OD,则OD?OCcc

因为c?0,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).

(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,?1), 即c??1.

又AB?x1?x2???

S△ABC?1AB?OC?1?2,

2解得b??.

二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.

NB

解 因为BN是∠ABC的平分线,所以?ABN??CBN.又因为CH⊥AB,所以?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB,因此CQ?NC.

又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以?CFB?90???CHB,因此C、F、H、B四点共圆.

又?FBH=?FBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.

同理可证,点E在CH的中垂线上.

因此EF⊥CH.

又AB⊥CH,所以EF∥AB.

三.(本题满分25分)已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?ac?a?ba?b?c1???

② bccaab4

.

解法1 将①②两式相乘,得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

???8, 即bccaab

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(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即?4??4??0, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即???0, bccaab

(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0, bccaab

(b?c?a)即[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, abc

(b?c?a)(b?c?a)2即[2ab?a2?b2?c2]?0,即[c?(a?b)2]?0, abcabc

(b?c?a)即(c?a?b)(c?a?b)?0, abc

所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°.

32?2a32?2b32?2c1???, bccaab4

1222变形,得1024?2(a?b?c)?abc ③ 4解法2 结合①式,由②式可得

又由①式得(a?b?c)?1024,即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?

即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 22221abc, 4

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

??4096?256?32?163?0,

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°.

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2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.若a,b,c均为整数且满足(a?b)?(a?c)?1,则|a?b|?|b?c|?|c?a|?(B)

A.1. B.2. C.3. D.4.

2.若实数a,b,c

满足等式3|b|?

6,9|b|?6c,则c可能取的最大值为(C)

A.0. B.1. C.2. D.3.

3.若a,b是两个正数,且1010a?1b?1??1?0,则(C) ba

1144A.0?a?b?. B.?a?b?1. C.1?a?b?. D.?a?b?2. 3333

2424.若方程x?3x?1?0的两根也是方程x?ax?bx?c?0的根,则a?b?2c的值为 (A)

A.-13. B.-9. C.6. D. 0.

5.在△ABC中,已知?CAB?60?,D,E分别是边AB,AC上的点,且?AED?60?,ED?DB?CE,?CDB?2?CDE,则?DCB?(B)

A.15°. B.20°. C.25°. D.30°.

6.对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如a2009?2?0?0?9?11,a2010?2?0?1?0?3,a1?a2?a3???a2009?a2010?(D)

A.28062. B.28065. C.28067. D.28068.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

?x3?y3?19,221.已知实数x,y满足方程组?则x?y??x?y?1,

2.二次函数y?x?bx?c的图象与x轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知AB?23AC,?CAO?30?,则c?1 9

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3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA

PC=5,则PB=

4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.

第二试 (A)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c(a?b?c)为三角形的三边长,满足a?b?c?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得 222

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m?n?(m?n)?26,即 222

m2?n2?mn?13 ②

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:??m?3,?m?1,和? n?3.n?1??

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30,解得c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. 33

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30,解得c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形. 33

个数为

AB=

内切圆

PD是

C综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的A5+6=11. 二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明:⊙I的切线. 证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延

N

BC于点N.

因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠

又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.

又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.

由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.

又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.

- 89 - 长,交BCP.

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又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.

三.(本题满分25分)已知二次函数y?x?bx?c的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a).

(1)如果a,b,c都是整数,且c?b?8a,求a,b,c的值.

(2)设二次函数y?x?bx?c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程22

x2?bx?c?0的两个根都是整数,求△ABC的面积.

解 点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y?x?bx?c的图象上,故1?b?c?a,4?2a?c?10a, 解得b?9a?3,c?8a?2.

(1)由c?b?8a知?2?8a?2?9a?3,解得1?a?3. 9a?3?8a,?

又a为整数,所以a?2,b?9a?3?15,c?8a?2?14.

(2) 设m,n是方程的两个整数根,且m?n.

由根与系数的关系可得m?n??b?3?9a,mn??c?2?8a,消去a,得9mn?8(m?n)??6, 两边同时乘以9,得81mn?72(m?n)??54,分解因式,得(9m?8)(9n?8)?10.

?9m?8?1,?9m?8?2,?9m?8??10,?9m?8??5,所以?或?或?或? 9n?8?10,9n?8??1,9n?8?5,9n?8??2,????

1021???m?,m??,m?,???m?1,????9993解得?或?或?或? n?2,1372??n?,?n?,?n?,???993???

又m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m?1,n?2.

因此,b??(m?n)??3,c??mn??2,二次函数的解析式为y?x?3x?2.

易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为21?(2?1)?2?1. 2

第二试(B)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c为三角形的三边长,满足

a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).

解 不妨设a?b?c,由已知等式可得

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

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于是,等式①变为m?n?(m?n)?26,即 222

m2?n2?mn?13 ②

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:??m?3,?m?1,和? ?n?3.?n?1

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30,解得c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. 33

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30,解得c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形. 33

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试(C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y?x?px?(k?1)p?4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.

解 由题意知,方程x?px?(k?1)p?4?0的两根x1,x2中至少有一个为整数.

由根与系数的关系可得x1?x2??p,22x1x2?(k?1)p?4,从而有

(x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?(k?1)p ①

(1)若k?1,则方程为x?px?2(p?2)?0,它有两个整数根?2和2?p.

(2)若k?1,则k?1?0.

因为x1?x2??p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数.

又因为p为质数,由①式知p|x1?2或p|x2?2.

不妨设p|x1?2,则可设x1?2?mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2?2?

- 91 - 2k?1, m

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k?1k?1,即x1?x2?4?mp?. mm

k?1又x1?x2??p,所以?p?4?mp?,即 m

k?1(m?1)p??4 ② m

k?1k?1如果m为正整数,则(m?1)p?(1?1)?3?6,?0,从而(m?1)p??6,与②式矛盾. mm

k?1k?1如果m为负整数,则(m?1)p?0,?0,从而(m?1)p??0,与②式矛盾. mm故(x1?2)?(x2?2)?mp?因此,k?1时,方程x?px?(k?1)p?4?0不可能有整数根.

综上所述,k?1.

2

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- 93 -

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2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题(只有一个结论正确)

1、设

是( )。

- 98 - 的平均数为M,的平均数为N,N,的平均数为P,若,则M与P的大小关系

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(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。

答:(B)。∵M=,N=,P=,M-P=,∵,∴>,即M-P>0,即M>P。

2、某人骑车沿直线旅行,先前进了千米,休息了一段时间,又原路返回千米(),再前进千米,则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是( )。

答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后S的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )。

(A)甲比乙大5岁;(B)甲比乙大10岁;(C)乙比甲大10岁;(D)乙比甲大5岁。

答:(A)。由题意知3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。

4、一个一次函数图象与直线平行,与轴、轴的交点分别为A、B,并且过点(-1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。

(A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。

答:(B)。在直线AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是=-1+4N,=-25+5N,(N是整数).在线段AB上这样的点应满足-1+4N>0,且-25+5N≤0,∴≤N≤5,即N=1,2,3,4,5。

5、设分别是△ABC的三边的长,且,则它的内角∠A、∠B的关系是( )。

(A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

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答:(B)。由得,延长CB至D,使BD=AB,于是CD=,在△ABC与△DAC中,∠C为公共角,且BC:AC=AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为,面积为S,△A1B1C1的三边长分别为,面积为S1

,且

,则S与S1的大小关系一定是( )。

(A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。

答:(D)。分别构造△ABC与△A1B1C1如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然,即S>S1

;②设,则

③设,则,S=10,,S=10,,则S1=×100>10,即S<S1;,则,S1=10,即S=S1;因此,S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知:,那么=________。

答:1。∵,即。∴

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8、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6

于________。

,∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD的面积等

答:66+6(平方单位)。作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC=6,∠BCD=45°,得AE=

+8+6=14BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,因为AE=6得DE=2,AB=EF=8,DC=2

+2,∴。

9、已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有________个。 答:5。①当是整数,知时,;②当,∴时,易知是方程的一个整数根,再由;由①、②得符合条件的整数有5个。 且10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答:2.4米。作PQ⊥BD于Q,设BQ=米,QD=米,PQ=米,由AB∥PQ∥CD,得及,两式相加得,由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。(注:由上述解法知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关。)

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11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线

成面积相等的两部分,那么=________。 恰好将矩形OABC分答:。直线通过点D(15,5),故BD=1。当时,直线通过,

两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是________。 (注:×100%)

答:17%。设原进价为元,销售价为元,那么按原进价销售的利润率为×100%,原进价降低6.4%后,在销售时的利润率为×100%,依题意得:

×100%+8%=×100%,解得=1.17,故这种商品原来的利润率为

×100%=17%。

三、解答题

13、设实数根是不小于。 的实数,使得关于的方程有两个不相等的(1)若,求的值。

(2)求的最大值。

解:因为方程有两个不相等的实数根,所以

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,∴。根据题设,有。

(1)因为

,即。 由于,故。

(2)

。 设上是递减的,所以当时,取最大值10。故的最大值为10。

14、如上图:已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=

=2,求四边形ABCD的面积。 AE,且BD

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初中竞赛数学专题 普及数学知识,传播数学文化。 解:由题设得AB=2AE=AE·AC,∴AB:AC=AE:AB,又∠EAB=∠BAC,∴△ABE∽△ACB,∴∠ABE=∠ACB,从而AB=AD。连结AD,交BD于H,则BH=HD=。 22

∴OH==1,AH=OA-OH=2-1=1。 ∴,∵E是AC的中点,∴,

,∴,∴。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

解:易知,这32个人恰好是第2至第33层各住1人。 对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上,设住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,

现分别考虑如下: 设电梯停在第层。 。交换两人上楼方式,其余的人不变,则不满意总分不增,

①当时,若住第层的人乘电梯,而住第

层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为。 ②当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为

。 ;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为

③当时,若住第层的人乘电梯,而住第

层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为。 ,前者比后者多

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初中竞赛数学专题 普及数学知识,传播数学文化。 ④当时,若住第层的人乘电梯,而住第

层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为,前者比后者多。 ⑤当时,若住第层的人乘电梯,而住第

层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为,前者比后者多。 今设电梯停在第层,在第一层有人直接走楼梯上楼,那么不满意总分为:

当=27,=6时,=316。

所以,当电梯停在第27层时,这32个人不满意的总分达到最小,最小值为316分。

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间:2011年3月20日上午9:30-11:30

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分,每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1、设a?7?1,则代数式3a3?12a2?6a?12的值为( )

A、24 B、25 C、4?10 D、47?12

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:

(a,b)△(c,d)=(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v,都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( )

A、(0,1) B、(1,0) C、(-1,0) D、(0,-1)

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3、若x?1,y?0,且满足xy?xy,x?x3y,则x?y的值为( ) y

A、1 B、2 C、911 D、 22

?S1,S?BCF?S3,S?BDF?S2,4、点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,BE,CD相交于点F,设S四边形FDAE

S?CEF?S4,则S1S3与S2S4的大小关系为( )

A、S1S3?S2S4 B、S1S3=S2S4 C、S1S3?S2S4 D、不能确定 5、设S?1111,则4S的整数部分等于( ) ???????333312399

A、4 B、5 C、6 D、7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是______________;

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是________;

18、如图,点A、B为直线y?x上的两点,过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?(x?0)x于C、D两点,

若BD=2AC,则4OC2?OD2的值为_________;

9、若y??x?x?1的最大值为a,最小值为b,则a2?b2的值为_______; 2

10、如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF的边长为12,且内接于△ABC,则△ABC的 A周长为__________________;

F

BC

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三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值;

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点;

13、如图,点A为yy?P,Q两点 22x于3

(1)求证:∠ABP=∠ABQ

(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式。

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB?2AC,点P在△ABC内,且PA?3,PB?5,PC?2,

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2011年全国初中数学联赛决赛试卷

(4月10日 上午8:45——11:15)

考生注意:1.本试卷共三大题(13个小题),全卷满分140分.

2.用圆珠笔、签字笔或钢笔作答.

3.解题书写不要超出装订线.

4.不能使用计算器.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°,则这个凸多边形所有对角线的条数总共有( )

A.42条 B.54条 C.66条 D.78条 AD2.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E.若

∠CAE=15°,则∠BOE=( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

3.设方程(x?a)(x?b)?x?0的两根是c,d,则方程(x?c)(x?d)?x?0的

根分别是( )

A.a,b B.-a,-b C.c,d D.-c,-d

4.若不等式2x?1?3x?3?a有解,则实数a的最小值是( )

A.1 B.2 C.4 D.6

5.若一个三角形的任意两条边都不相等,则称它为“不规则三角形”.用一个正方体上的任意三个

顶点构成的所有三角形中,“不规则三角形”的个数是( )

A.18 B.24 C.30 D.36

6.不定方程x2?2y2?5的正整数解(x,y)的组数是( )

A.0组 B.2组 C.4组 D.无穷多组.

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

本题共有4小题,要求直接将答案写在横线上.

1.二次函数y?x2?ax?2的图象关于直线x=1对称,则y的最小值是__________.

- 108 - BE

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2

.已知a1,则a2012?2a2011?2a2010的值为_____________.

3.已知△ABC中,AB

BC=6,CA

M是BC的中点,过点B作AM延长线的垂

线,垂足为D,则线段BD的长度是_______________.

4.一次棋赛,有n个女选手和9n个男选手参赛,每位选手都与其余10n-1个选手各对局一次.计

分方式为:胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结束后统计发现,所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则n的所有可能值是__________.

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1.(本题满分20分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立.求实数a的所有可能值.

2.(本题满分25分)抛物线y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),其中0<x1<x2.过点A的直线l与x轴交于点C,与抛物线交于点B(异于点A),满足△CAN是等腰直角三角形,

且S△BMN=S△AMN.求该抛物线的解析式.

3.(本题满分25分)如图,AD、AH分别是△ABC(其中AB>AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.△MDH的外接圆交CM于E.求证:∠AEB=A90°.

M52BDHC

- 109 -

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2011年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准:选择题和填空题只设7分和0分两档;其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、B 凸多边形的每一个外角都等于30°,则n=12,这个凸多边形所有对角线的条数总共有n(n?3)?54 2

2、D AB=AO=BO=BE

3、A (x?a)(x?b)?x?0?x2?(a?b?1)x?ab?0x1?x2?a?b?1?c?d;x1x2?ab?cd

(x?c)(x?d)?x?0?x2?(c?d?1)x?cd?0x1?x2?c?d?1?a?b;x1x2?cd?ab

故x1?a,x2?b

4、C 设y?2x?1?3x?3,讨论当x?1;1?x?3;x?3,得出当x=3时y的最小值为4.

5、B 如图,当选定一个面的一条对角线后,对应了两个“不规则三角形”,而每个面有2条,一共有8个面,故有2×2×8=24

6、A

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

3 1、1 2、0 3、 4、1 2

2三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各251、(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立。求实数a的所有可能值。

`解:由条件知??(3a?1)2?4(2a2?1)?a2?6a?5?0,

解得a?5或a?1. (5分)

又由根与系数的关系知x1?x2??(3a?1),x1x2?2a2?1,

2)?10x1x2?3(x1?x2)2?16x1x2 于是(3x1?x2)(x1?3x2)?3(x12?x2

?3(3a?1)2?16(2a2?1)??5a2?18a?19, (10分)

由?5a2?18a?19??80,解得a?3(舍去)或a??

于是a??33. (15分) 53333.综上所述,所求的实数a??. ( 20分 ) 55

2、(本题满分25分)

- 110 -

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抛物线y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),其中

,满足?CAN是等腰0?x1?x2.过点A的直线l与x轴交于点C.,与抛物线交于点B(异于点A)

直角三角形,且S?BMN?5S?AMN.求该抛物线的解析式. 2

解:由条件知该抛物线开口向上,与x的两个交点在y轴的右侧.

由于?CAN是等腰直角三角形,故点C在x轴的左侧,且?CAN?90?.

故?ACN?45?,从而C(?1,0),N(1,0). (5分)

于是直线l的方程为:y?x?1.

设B(x3,y3),由S?BMN?

从而x3?55S?AMN知y3?, (10分) 22335,即B(,). (15分) 222

35综上可知,该抛物线通过点A(0,1),B(,),N(1,0). 22

?1?c?593于是??a?b?c, (20分) 2?24

?0?a?b?c

?a?4?解得?b??5.

?c?1?

所以所求抛物线的解析式为y?4x2?5x?1. (25分)

3、(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是?ABC(其中AB?AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.?MDH的外接圆交CM于E.求证:?AEB?90?.

证明:如图,连结MH,EH,

∵M是Rt?AHD斜边AD的中点

∴MA?MH?MD (5分)

∴?MHD??MDH

∵M,D,H,E四点共圆

∴?CEH??MDH

∴?MHD??MDH??HEC

∴?MHC?180???MHD?180???HEC??MEH (10分)

- 111 -

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∵?CMH??HME,∴?CMH∽?HME MHME∴,即MH2?ME?MC (15分) ?MCMH

∴MA2?ME?MC,又∵?CMA??AME

∴?CMA∽?AME,

∴?MCA??MAE (20分)

∴?BHE??BAE??DHE??BAD??MAE

??DHE??MAC??MCA??DHE??DME?180?

∴A,B,H,E四点共圆,∴?AEB??AHB?90?. (25分)

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150

答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答

2、解答书写时不要超过装订线

3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

、设x?3,则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( C ) 2

A.0 B.1 C.-1 D.2

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:

(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v,都有(u,v)?(x,y)?(u,v),那么(x,y)为( B )。

A.(0,1) B.(1,0) C.(?1,0) D.(0,?1)

533、已知A,B是两个锐角,且满足sin2A?cos2B?t,cos2A?sin2B?t2,则实数t所有可44

能值的和为( C )

8511A.? B.? C.1 D. 333

4、如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S四边形FDAE

S?BCF=S3,S?CEF=S4,则S1S3与S2S4的大小关系为( C ) =S1,S?BDF=S2,

A.S1S3<S2S4

B.S1S3=S2S4

C.S1S3>S2S4

- 112 - B E C

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D.不能确定

1111

5、设S=3+3+3+?+,则4S的整数部分等于( A ) 3

1232011

A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为__

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。 8、如图,双曲线y?

2

(x?0)与矩形OABC的边x

19

CB,BA分别交_____; 区域的个数为_

32

于点E,F且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为

9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的____。28

10、设四位数abcd满足

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

a3?b3?c3?d3?1?10c?d,则这样的四位数的个数为___。5

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值。

解:设方程x2?ax?b?0的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β

则方程x2?cx?a?0的两个整数根为α+1、β+1, 由根与系数关系得:α+β=-a,(α+1)(β+1)=a 两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3

???2?1???2??3????1????5∴?或? 解得:?或? ???2?3???2??1???1????3

又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)] ∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6 故a?b?c=-3或a?b?c=29

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点。 证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q

连结AH,BD,QC,QH

∵AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=90∴BQ为⊙O2的直径

- 113 -

A

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于是CQ⊥BC,BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC ∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

13、若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值。

解:若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一

个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,

a3,a4,a5,

若a1,a2,a3,a4,a5都不是素数,则a1,a2,a3,a4,a5中至少有四个数是合数,不妨假设a1,a2,a3,a4为合数,

设a1,a2,a3,a4的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4 由于a1,a2,a3,a4两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同 设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7

因为a1,a2,a3,a4为合数,所以a1,a2,a3,a4中一定存在一个

aj≥p2≥72=49,与n≥49矛盾,于是a1,a2,a3,a4,a5中一定有一个是素数 综上所述,正整数n的最大值为48。

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC。点P在△ABC内,且PA

PB=5,PC=2,求△ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,

则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2 于是,AQ=2 AP=2,BQ=2CP=4

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60° 由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900 于是,PQ=3AP=3

∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900 作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知 ∠AQM=600,QM=3,AM=3,于是,

2

2

2

2

2

A

P

B ∴AB=BM+AM =(4+3)+3=28+8

C

故S△ABC=AB?ACsin600=

126?7AB 2= 82

- 114 -

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