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温州市第三届初中数学学科知识竞赛试卷

发布时间:2013-09-20 09:04:45  

温州市第三届初中数学学科知识竞赛试卷 市(县) 学 校 姓名 准考证号码

………………………………………………………………… 密 …………………… 封 ……………………… 线 …………………………………………… 一 选择题(每小题5分,共30分) 1.平面上,在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是( )个. A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图,A、C是函数y?1的图象上的点,且A、C关于原点对称. AB⊥x轴,CD⊥x轴,x垂足分别为B、D,如果四边形ABCD的面积为S,那么( ) A.S=1 B.1<S<2 C..S=2 D.S>2 3.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=7,AD=2,BC=3,如果在AB边上取一点P,使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P能取到( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D的逆时针方向旋转90°至DE,连结AE,则△ADE的面积是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

(第2题) (第3题) C (第4题) (第5题) 5.如图,甲、乙两人在斜坡AB

上作往返跑训练.已知:甲上坡的速度是a米/分,下坡的速度是b米/分,(a<b

?;乙上坡的速度是1a米/分,下坡的速度是2b米/分.如果甲、2乙二人同时从点A出发,时间为t(分),离开点A的路程为S(米).那么下面图象中,能大致表示甲、乙两人从点A出发后的时间t(分)与离开点A的路程S(米)之间的函数关系的是( )

A t(分) B t(分) C t(分) t(分) D

6.甲、乙两个茶杯中各装有200克盐水和糖水,盐水的含盐量与糖水的含糖量相等。现将甲杯中的盐水倒一部分到乙杯中,调匀后再倒回同量的混合液体那么( )

A.甲杯中液体的含盐量大于乙杯中液体的含糖量.

B.甲杯中液体的含盐量等于乙杯中液体的含糖量.

C.甲杯中液体的含盐量小于乙杯中液体的含糖量.

D.甲杯中液体的含盐量与乙杯中液体的含糖量谁多谁少不能确定.

二 填空题(每小题6分,共30分)

7.如图,三个半圆依次相外切,它们的圆心都在x轴的正半轴上,并都与直线y

相切,设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3, 则当r1=1时,r3= _____.

8. 如图,B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使∠APB=30°,则符合条件的点P共有 个

9.记y1??

l

(第7题) (第8题) 1515x?,y2?x?,y3??2x?5,对每一个实数x,都有唯一的一个值 3322

y1,y2,y3与之对应,取y为三数之中的最小值,当x取遍所有实数时,所有y值中 的最大值为_________.

10.已知二次函数y?x?2mx?n,若图像经过点(1,1),且记m,n+4两数中的较大者为

p,则p的最小值为 22

11.△ABC中,∠C=300,BM是AC边上的中线,AC=2a,若沿直线BM将三角形对折起来,发现两个小三角形ABM和BCM重叠部分的面积恰好等于△ABC面积的四分之一.则△ABC的面积是 .

三、解答题(五大题,共60分)

12.(本题8分)已知正数a,b满足ab+ab-2ab+2ab=7ab-8,求a-b332222

13.(本题10分)一个长方体的香烟盒里,装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后,二十支香烟排列成三行,如图所示.经测量,一支香烟的直径约为0.75 cm,长约为8.4 cm. (3?1.732,以下计算结果均保留4个有效数字)

(1)求矩形ABCD的面积;

2(2)制作这样一个封闭的长方体烟盒至少需要纸张面积是多少cm(不考

虑接缝)?

14.(本题14分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,

P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.

(1)求证:△DHQ∽△ABC;

(2)当点D在线段EQ上时,求y关于x的函数解

析式,并求y的最大值;

(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?

(第14题)

15.(本题14分)设整数a,b,c(a?b?c)为三角形的三条边长,且满足

a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过20的三角形的个数.

……………………

16.(本题14分)如图,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点(称格点)处,其中点O与点A在位于同一水平线上相距a格,点O与点B位于同一竖直线上相距b格.

(1)若a=5,b=4,则△OAB中(不包括三条边),共有多少个格点?

(2)若a、b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点?证明你的结论. (3)若a、b互质,且a>b>8,△OAB

值.

温州市第三届初中数学学科知识竞赛参考答案与评分标准

……………………… 线 ……………………… 订 …………………… 装 …………………………………………………………………

一、选择题(每小题5分,共30分)

二、填空题(每小题6分,共30分)

2a2

7. 8. 9. 10. 11.a或(第11题视情22

况给分)

三、解答题(五大题,共60分) 12.(本题8分)已知正数a,b满足a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8,求a2-b2的值.

?a3b?ab3?2a2b?2ab2?7ab?8

?ab(a2?b2)?2ab(a?b)?7ab?8.

?ab(a?b)2?2ab(a?b)??2a2b2?7ab?8

?ab(a?b)2?2(a?b)?1??2a2b2?8ab?8

?ab?a?b?1???2?ab?2?22....................(1分)?ab(a2?2ab?b2)?2ab(a?b)??2a2b2?7ab?8....................(2分)??....................(3分)....................(4分) ?a,b都是正数

?a?b?1?0???ab?2?0

?a?2??或者b?1?

?a2?b2?3

13.(本题10分)

(1)解:如图,作O1E?O2O3.

∵ O1O2?O2O3?O3O1?0.75?

∴ O1E?....................(6分)?a??1(舍去)?b??2?...................(8分)3, 433?.

?

428

3333?3??(cm),………………………(2844 ∴ AB?2?

分)

AD?7?321?(cm). ………………………(2分) 44

∴ 四边形ABCD的面积是:

2133?3633?63???10.75725?10.76(cm2) ………………………(5分) 4416

(2)制作一个烟盒至少需要纸张:

?633?6333?3?21???144.096?144.1(cm2).??8.4??8.4 2…………(10分) ??1644??

2∴ 制作一个烟盒至少需要的纸张是144.1(cm)

14.(本题14分)

(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB, ∴?HQD??C=90°,HD=HA, ∴?HDQ??A,

∴△DHQ∽△ABC.………………………(3分)

13315

(10?4x)?x??x2?x. 2424

75.………………(6分)

当x?5时,最大值y?

432

(3)①如图1,当0?x?2.5时,

QA5

若DE=DH,∵DH=AH=?x, DE=10?4x,

cos?A4

(2)如图1 y?∴10?4x=

(图1)

C

5

x,x?40. 421

显然ED=EH,HD=HE不可能;………………(10分)

②如图2,当2.5?x?5时,

540

若DE=DH,4x?10=x,x?;

411

若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,x?5;

若ED=EH,则△EDH∽△HDA,

(图2)

5x320EDDH4x?104∴,,. x???

1035DHAD2x

x4

4040320

∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形. ………………(14分) ,,5,

2111103

15. (本题14分) 设整数a,b,c(a?b?c)为三角形的三条边长,且满足

a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过20的三角形的个数. 解 由已知等式可得

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ① ………… ………………(2分) 令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m?n?(m?n)?26,即 222

m2?n2?mn?13 ② ………… ………………(4分) 由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:

?m?3,?m?1,和? …………………………………… ………………(6分) ??n?3.?n?1

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长, 所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3. ……… ………………(8分) 又因为三角形的周长不超过20,

即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?20,解得c?5.因此3?c?5,

所以c可以取值4,5对应可得到2个符合条件的三角形. ………………(10分)

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长, 所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1. ………………(12分) 又因为三角形的周长不超过20,

即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?20,解得c?1313.因此1?c?, 33

所以c可以取值2,3,4对应可得到3个符合条件的三角形.

综上所述,满足条件的三角形共有5个. …………………… ………………(14分)

16.(本题14分)

解:(1)根据题意,在△OAB内(不包括

三边上的点)的格点数n应满足n?

当a=5、b=4时,n?1?a?1??b?1?, 2可认为是关于a、b的二元函数。) ……

(2)当a、b互质时,在线段AB上除A、B两个

格点外再没有其它格点。证明方法1、以A、O所在直

线为X轴,以O、B所在直线为Y 轴以O点为原点建立坐标系,则A点坐标为(a、0)B点坐标 1?5?1??4?1??6,(这里n 2

bx?b, a

b其中?0?x?a?如果格点在AB线段上,则函数y??x?b在?0?x?a?内有整数解,但∵a

bba、b互质,故?非整数, ?x项当且仅当x?ka(k为整数)时才是整数, 也才有是整aa

b数,但y??x?b的取值范围在?0?x?a?内,故函数在?0?x?a?内无整数解,即则在线a为(0、b),于是得到AB线段的函数解析式为y??

段AB上(不包括A、B两点)无格点. …… ………………(6分) (3)由于a、b互质,且a>b>8,△OAB(中包括三条边),所以△OAB内的格点数m

1??a?1??b?1??2?,(这里m也可认为是关于a、b的二元函数。因为当a、2

1b给定时,m有唯一确定的值与之对应。)∴??a?1??b?1??2??67,即2应满足m?

??a?1??b?1??2??134?12?11

?a?1?12?a?1?11?a?11?a?10所以?或?,即?或?…… …………(14分) b?11b?1?11b?1?12b?10????

注:以下是选择题与填空题参考分析

1.根据凸n边形外角和为360°性质得,所有外角中最多3个钝角,故内角中最多有3个锐角。选B

2.根据反比例函数的性质易得,△AOB面积为0.5,再由图形的对称性知,S=4×0.5=2. 选C

3.设AP=x时,满足结论,则分两种情况:

(1)△APD∽△BPC (2)△APD∽△BCP

则AP?AD 则AP?AD BPBCBCBP

x2x2???7?x3 37?x 14?x1?1,x2?6?x?5?

综上所述,满足条件的P点有三个。选C

4.过E做AD的垂线,交AD延长线于点H

过D做BC的垂线,垂足为F

易得,△DEH≌△DCF(AAS)

∴EH=CF=BC-AD=2

∴△ADE面积为AD×EH÷2=3. 选C

5.记AB=S(米)

ssss,下坡时间为:t2?,且t1?t2所用总时间为t?? abab

2ss对于乙,上坡所用时间为:t'1?,下坡时间为:t'2?,t'1?t'2所用总时间为a2b

2ss t'??a2b

a?2b又由于t1?t'1且t?t'(∵t?t'?s()?0) 2ab对于甲,上坡所用时间为:t1?

结合图象知,选C

6.

解法一:由极端原理,假设甲全部倒到乙中(或者倒了0,就等于没操作),再倒回一半,

显然两者最后均为溶液,各量均相等。选B。

解法二:代数法,设从甲杯倒了x到乙杯中,并设各杯原来浓度为S

则,对于甲最后含盐质量为:(200?x)s?

对于乙最后含糖质量为:200s?sx200sx x=200s?200?x200?x200sx,所以盐,糖浓度相等。选B 200?x

7.

连结圆心与各切点,得到C1E,C2F,C3G,因为直线斜率为,知∠EOC1=30° 3

在直角三角形OEC1,OFC2,OGC3中,据sin?EOC1?

得,r2?3,r3?9 r3r21?? 2r1?r22r1?2r2?r32

8. 如图:由特殊角60°联想知,过B做BP1垂直于AC交直线于一点,即可得P1 然后,以A,B,P1做外接圆交直线于点P2

下面反证,不存在PX满足条件。

因∠BCP=120°,知BP>BC=AB

所以据大边对大角,得∠BAPx>∠BPxA,若∠BPxA=30°,

则∠ACP2>∠CBP=∠BAPx+∠BPxA>2∠BPxA =60综上,只有两个点满足条件。

9.2

将y1??1515x?,y2?x?,y3??2x?5 3322的图像画再同一个平面直角坐标系中(如图)

粗线部分就表示函数y的图像,

显然,直线y1,y2的交点是图像的最高点,联立y1,y2即可解得n2

10. 解:由二次函数经过点(1,1)得m?. 2

n211?(n?4)?(n2?2n?8)?(n?4)(n?2)得 由m?(n?4)?222

?n2

?, (n?-2或n?4)P??2 ∴当n??2时,Pmin?2

?n?4, (-2<n<4)?

(或者按照第9题,图形解法皆可)

32a2

a或16.。 22

解:沿中线BM对折后可能出现两种情形:①BC/与AC相交;②BC/不与AC

ABC

/相

交;③BC与AB重合。这显然与∠ABM和∠MBC的大小有关。

①若在原三角形中,∠ABM >∠MBC,则对折后如图1,其中

C/是对折后C点所落的位置,BC/与AC交于D点,

△BDM是重叠部分。

由题意知

11S?ABC?S?ABM, 42

1 ∴ DM?AM,即D为AM的中点。 2

111又 S△BDM = S?ABM?S?BMC?S?BMC, 222S△BDM =

∴ D是BC的中点。

由∠ADB=∠MDC/知,△ABD≌△MC/D,

∴ AB = C/M = CM =

再由 AC=2a得

AB=a,BC=1AC。而∠ACB=300,∴∠ABC = 900。 2AC2?AB2?a。

∴ S△ABC =32a. 2

②若在原三角形中,∠ABM <∠MBC,对折后如图2,

如上证明,D为AB、MC/的中点。

∴ BC/=AM=M

E

C/1AC?a. 2D

BBC = BC/ = a。

过B作△ABC的高线BE,

∵ ∠ACB=300, ∴BE?1aBC?。 22

1aa2

∴ S△ABC = ?2a??。 222

③∠ABM =∠MBC时,BC与AB重合,不符合题意。

2a2

因此,△ABC的面积是 a或22

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