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初中数学竞赛(一)

发布时间:2013-11-27 10:30:55  

初中数学竞赛

1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。

A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解:依题意设六位数为abcabc,则abcabc=a×105+b×104+c×103+a×102+b×10+c=a×102(103+1)+b×10(103+1)+c(103+1)=(a×103+b×10+c)(103+1)=1001(a×103+b×10+c),而a×103+b×10+c是整数,所以能被1001整除。故选C 方法二:代入法

2、若S?1

111????198019812001,则S的整数部分是____________________

,1980?9022解:因1981、1982……2001均大于1980,所以S?

22?11

1980?

又1980、1981……2000均小于2001,所以S?

22?12001?200121,?902222

从而知S的整数部分为90。

3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n个(n≤100)学生进来,凡号码是n的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。

解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( )

A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元

解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1+a%)元,因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1+a%)b%元。

应选C

5、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么

有可能的值为( )

A. 0

解:由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。

①当a,b,c为两正一负时:

abcabcabcabc???1??1所以????0; |a||b||c||abc||a||b||c||abc|abcabc???|a||b||c||abc|的所B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2

②当a,b,c为两负一正时:

abcabcabcabc????1?1所以????0 |a||b||c||abc||a||b||c||abc|

由①②知abcabc所有可能的值为???|a||b||c||abc|0。应选A

6、在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则

A. ca的值为( ?a?bc?b1

2 ) a B. 22 C. 1 D. 2

解:过A点作AD⊥CD于D,在Rt△BDA中,则于∠B=60°,所

以DB=C,AD=C。在Rt△ADC中,DC2=AC2-AD2,所22

3C)2=b2-C2,整理得a2+c2=b2+ac,从而有24以有(a-

cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc????1应选2a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?bC

( ) 7、设a<b<0,a2+b2=4ab,则a?b的值为 a?b

A. 3 B. C. 2 D. 3

ab,a?b??2ab,解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<0,得a?b??

故a?b?a?b3。

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

1解:?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],2    又a?b??1,b?c??1,c?a?2

1   ?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?32

9、已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式a

A. 3 B. 2 C. 1

2bc?b2c2?caab的值是( ) D. 0

解:原式??(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c??bcacab

aabbcc       ??(?)?(?)?(?)bcacab

abc????3abc

10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损

成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为_____

解:设该商品的成本为a,则有a(1+p%)(1-d%)=a,解得d?100p 100?p

11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则

x+2y+3z=_______________

解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)·y=z2+9,所以x+1,y

是t2-6t+z2+9=0的两个实根,方程有实数解,则△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0,从而知z=0,解方程得x+1=3,y=3。所以x+2y+3z=8

12.气象爱好者孔宗明同学在x(x为正整数)天中观察到:①有7个

是雨天;②有5个下午是晴天;③有6个上午是晴天;④当下午下雨时上午是晴天。则x等于( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

选C。设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午晴c天,全天晴d天。由题可得关系式a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇,其速度依次为每小时v1、

v2、v3、v4千米,且满足v1>v2>v3>v4>0,其中,v水为河流的

水流速度(千米/小时),它们在河流中进行追逐赛规则如下:(1)

四条艇在同一起跑线上,同时出发,①、②、③是逆流而上,④号艇顺流而下。(2)经过1小时,①、②、③同时掉头,追赶④

号艇,谁先追上④号艇谁为冠军,问冠军为几号?

1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 Si?[(vi?v水 )?(v水 ?v4)]?1?vi?v4

各艇追上④号艇的时间为

ti?vi?v4v?v42v4?i?1?(vi?v水 )?(v水 ?v4)vi?v4vi?v4

对v1>v2>v3>v4有t1?t2?t3,即①号艇追上④号艇用的时间最小,

①号是冠军。

14.有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12台水泵需5小时,用10台水泵需7小时,若要在2小时内抽干,至少需水泵几台?

解:设开始抽水时满池水的量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水

泵每小时抽水量为z,2小时抽干满池水需n台水泵,则

?x?5y?5?12z  ①?x=35z? 由①②得,代入③得:35z?10z?2nz ??x?7y?7?10z  ②?y?5z?x?2y?2nz   ③?

∴n?22,故n的最小整数值为23。

答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台

15.某宾馆一层客房比二层客房少5间,某旅游团48人,若全安排在第一层,每间4人,房间不够,每间5人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每3人,房间不够,每间住4人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间? 12

解:设第一层有客房x间,则第二层有(x?5)间,由题可得  ①?4x?48?5x      ?4x?48,即93?x?12 由①得:??5?48?5x?3(x?5)?48?4(x?5)  ②

?48?4(x?5)3(x?5)?48,即7?x?11 ∴原不等式组的解集为 由②得:??

93?x?11 5

∴整数x的值为x?10。 答:一层有客房10间。

6、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10个零件,这样8个人一天做的零件超过200个,后来改进技术,每人一天又多做27个零件,这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍? 解:设劳动竞赛前每人一天做x个零件

8(x?10)?200 由题意???4(x?10?27)?8(x?10)解得15?x?17

∵x是整数 ∴x=16 (16+37)÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

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