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初中数学竞赛(四)

发布时间:2013-11-27 13:28:11  

初中数学竞赛

一、选择题:

1、如图8-1,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD,则线段CD的长度的最小值是 ( ) A. 4

B. 5

C. 6

D. 5(?1)

2、如图8-2,四边形ABCD中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7, 则BC+CD等于 ( ) A. 63

B. 53

C. 43

D. 33

3、如图8-3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为 ( ) A. 45

7

B. 33

5

C. 39

5

D. 15

2

C

B P 图8-3 图8-2

图8-1

4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α=A+B,β=C+A,γ=C+B,则α、β、γ中,锐角的个数最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

5、如图8-4,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 ( ) A. 4cm cm C. 4cm 2cm

B. 5cm cm D. 5cm 23cm

C

图8-4

6、一个三角形的三边长分别为a,a,b,另一个三角形的三边长分别为a,b,b,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等,则a的值等于

b

( )

A.

?1

2

B.

?1 2

C.

?22

D.

?2

2

7、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 5

1

8、若函数y?kx(k?0)与函数y?的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于

x

B,则△ABC的面积为 ( )

2

A. 1 B. 2 C. k D. k 二、填空题

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a,b,则d与

a?b

的大小关系是_______ 2

A′

图8-5

2、如图8-5,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为___

3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7)、(5、9、11)……问有多少组中的三个数恰好构

成一个三角形的三条边的长_4、如图8-6,P是矩形ABCD内一

点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=_______

5、如图8-7,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地

冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时求①如果

两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?_____

_②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是

______米。

6、如图8-8,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,

使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=__

三、解答题 B

图8-7 图8-8 1、如图8-9,AD是△ABC中BC边上的中线,

1求证:AD<(AB+AC) 2D 图8-9

2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?

3、如图8-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F。 2求证:①四边形CEDF是正方形。 ②CD=2AE·BF

一、选择题

1、如图过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥PB于F,过D D作DG⊥CE于G。

1E P 显然DG=EF=AB=5,CD≥DG,当P为AB中点2

时,有CD=DG=5,所以CD长度的最小值是5。

2、如图延长AB、DC相交于E,在Rt△ADE中,可求得B

AE=16,DE=83,于是BE=AE-AB=9,在Rt△

E

BEC中,可求得BC=3,CE=6,于是CD=DE-CE=2 BC+CD=5。

3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF

1 ∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=(AD?AB?BC?CD)?11 2

∵EF∥BC,∴EF∥AD,AE?DF EBFC

设AE?DF

EBFC?k,AE?k6kk4k AB?,DF?CD?k?1k?1k?1k?1

AD+AE+FD=3+6k4k13k?3 ??k?1k?1k?1∴13k?3?11 解得k=4 k?1

作AH∥CD,AH交BC于H,交EF于G,

则GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6 ∵EGBH?AE4,∴424 ?EG?BH?AB555∴EF?EG?GF?24?3?39 55

4、假设α、β、γ三个角都是锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就

是A+B<90°,B+C<90°,C+A<90°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与A+B+C=180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,不妨设α、β是锐角,那么有A+B<90°,C+A<90°,∴A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°这也不可能,所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如A=20°,B=30°,C=130°,α=50°,选A。

5、折叠后,DE=BE,设DE=x,则AE=9-x,在Rt△ABC中,AB2+AE2=

BE2,即 ,解得x=5,连结BD交EF于O,则EO=FO,BO=DO ∵BD?92?32?3 ∴DO=3 2

在Rt△DOE中,EO=DE2?DO2?52?(3)2?22 ∴EF=。选B。

6、设△ABC中,AB=AC=a,BC=b,如图D是AB上一点,有AD=b,因

a>b,故∠A是△ABC的最小角,设∠A=Q,则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q,从而它与△ABC全等,所以DC=b,∠ACD=Q,因有公共底角∠B,所以有等腰△ADC∽等腰△CBD,从而得BC?BD,即b?a?b,令x?a,即得方程x2?x?1?0,解ABBCC abb

得x?a?5?1。选B。 b2

7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不能

超过3个,又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。

8、A。设点A的坐标为(x,y),则xy?1,故△ABO的面积为1xy?1,又因22

为△ABO与△CBO同底等高,因此△ABC的面积=2×△ABO的面积=1。

二、填空题

1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、

N,MN=d,另一组对边是AD和BC,其长度分别为a、b,

连结BD,设P是BD的中点,连结MP、PN,则MP=a,2

N C NP=b,显然恒有d?a?b,当AD∥BC,由平行线等分线段定理知M、N、22

P三点共线,此时有d?a?b,所以d与a?b的大小关系是d?a?b(或a?b?d)。

2222

2、12°。设∠BAC的度数为x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x ∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB=

1(180??x) 2

∴1(180??x)?4x?4x?180?,于是可解出x=12°。

2

3、以3,5,7,9,11构成的三数组不难列举出共有10组,它们是(3,5,7)、

(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,

9)、(5,7,11)、(5,9,11)、(7,9,11)。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形三边长。

4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平E 行线分别交AB、CD于G、H。 设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,

则AP?a?c,CP?b?d,

BP2?b2?c2, DP2=d2?a2222222H F

于是AP2?CP2?BP2?DP2,故DP2?AP2?CP2?BP2?32?52?42?18,DP=32

5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CE⊥AB于点E,那么在△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20米。

所以AE=EC?tan?ACE?20?tan30??20??11.6(米)。 3

CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米) ②设点A的影子落到地面上某一点C,则在△ABC中,∠ACB

=30°,AB=16米,所以BC?AB?cot?ACB?16??27.7(米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。

6、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α,∠ABC=60°

则∠ABP=60°-α,∴∠BAP=∠PBC=α,

∴△ABP∽△BPC,AP?BPBP,BP2=AP·PC PCBP?AP?PC?48?4

三、解答题

1、证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连结BE。

∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE

1在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC ∴AD<(AB+AC) 2

2、答案提示:在△ABC中,不妨设a≤b≤c ∵a+b>c?a+b+c>2c 即p>2c?pc<, 2

另一方面c≥a且c≥b?2c≥a+b ∴3c?a?b?c?p?c?p。因此p?c?p 332

3、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC,

从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。

∵CD是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形CEDF是正方形。

②在Rt△AED和Rt△DFB中,∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴AEDE,即?DFBFDE·DF=AE·BF ∵CD=2DE=2DF, ∴CD2?2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF

4、解:这一问题等价于在1,2,3,……,2004中选k-1个数,使其中任意三

个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k=4时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使k达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597

共16个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2……an显然总有ai大于等于①中的第i个数,所以n≤16≤k-1,从而知k的最小值为17。

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