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初中数学竞赛(三)

发布时间:2013-11-27 13:28:13  

初中数学竞赛

一、选择题:

1、世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分,小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛,如果总积分相同,还要按净胜球排序,一个队要保证出线,这个队至少要积( )

A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分

2、甲、乙、丙三人比赛象棋,每局比赛后,若是和棋,则这两个人继续比赛,直到分出胜负,负者退下,由另一个与胜者比赛,比赛若干局后,甲胜4局,负2局;乙胜3局,负3局,如果丙负3局,那么丙胜 ( )

A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局

3、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB=CD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D,任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有 ( )

A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种

4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人,一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处,那么满足上述要求的排法的方案有 ( )

A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种

5、正整数n小于100,并且满足等式?n???n???n??n,其中?x?表示不超过x??2????3????6??

的最大整数,这样的正整数n有( )个

A. 2 B. 3 C. 12 D. 16

6、周末晚会上,师生共有20人参加跳舞,其中方老师和7个学生跳舞,张老师和8个学生跳舞??依次下去,一直到何老师,他和参加跳舞的所有学生跳过舞,这个晚会上参加跳舞的学生人数是 ( )

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12

7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成,每两个相邻展室(指有公共边的小三角形)都有门相通,若某参观者不愿返回已参观过

的展室(通过每个房间至少一次),那么他至多能参观( )个展

室。

A. 23 B. 22 C. 21 D. 20

8、一副扑克牌有4种花色,每种花色有13张,从中任意抽牌,最小要抽( )张才能保证有4张牌是同一花色的。

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

二、填空题:

1、观察下列图形:

① ② ③ ④

根据①②③的规律,图④中三角形个数______

2、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花花色的牌又按A,1,2,3,??J,Q,K的顺序排列,某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,??如此下去,直到最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是______

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成_____个能被5整除的三位数

4、将7个小球分别放入3个盒子里,允许有的盒子空着不放,试问有___种不同放法。

5、有1997个负号“-”排成一行,甲乙轮流改“-”为正号“+”,每次只准画一个或相邻的两个“-”为“+”,先画完“-”使对方无法再画为胜,现规定甲先画,则其必胜的策略是__________________

6、有100个人,其中至少有1人说假话,又知这100人里任意2人总有个说真话,则说真话的有_____人。

三、解答题

1、今有长度分别为1、2、3、??、9的线段各一条,可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形?

2、某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,证明至少有5人植树的株数相同。

3、袋中装有2002个弹子,张伟和王华轮流每次可取1,2或3个,规定谁能最后取完弹子谁就获胜,现由王华先取,问哪个获胜?他该怎样玩这场游戏?

4、有17个科学家,他们中的每一个都和其他的科学家通信,在他们的通信中仅仅讨论三个问题,每一对科学家互相通信时,仅仅讨论同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信

数学竞赛

一、选择题

1、答B。解:4个队单循环比赛共比赛6场,每场比赛后两队得分之和或为2分(即打平),或为3分(有胜负),所以6场后各队的得分之和不超过18分,若一个队得7分,剩下的3个队得分之和不超过11分,不可能有两个队得分之和大于或等于7分,所以这个队必定出线,如果一个队得6分,则有可能还有两个队均得6分,而净胜球比该队多,该队仍不能出线。应选B。

2、答B。解有人胜一局,便有人负一局,已知总负局数为2+3+3=8,而甲、乙胜局数为4+3=7,故丙胜局数为8-7=1,应选B。

3、答B。解:共有15种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD是平行四边形。 ①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD是平行四边形。应选B。

4、答B。解:设最后一排k个人,共n排,各排人数为k,k+1,k+2??k+(nn(n?1)?100,即n[2k?(n?1)]?200,因k、n都是正整-1)。由题意nk?2数,且n≥3,所以n?2k?(n?1),且n与2k?(n?1)的奇偶性相同,将200分解质因数可知n=5或n=8,当n=5时,k=18,当n=8时,k=9,共有两种方案。应选B。

nnn5、答D。解:由???n,以及若x不是整数,则[x]<x知,2|n,3|n,236

6|n,即n是6的倍数,因此小于100的这样的正整数有?100??16个。应选D。 ?6???

6、答C。解设参加跳舞的老师有x人,则第一个是方老师和(6+1)个学生跳过舞;第二是张老师和(6+2)个学生跳过舞;第三个是王老师和(6+3)个学生跳过舞??第x个是何老师和(6+x)个学生跳过舞,所以有x+(6+x)=20,∴x=7,20-7=13。

7、答C。解:如图对展室作黑白相间染色,得10个白室,15个黑室,按要求不返回参观过的展室,因此,参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室(不会出现从黑到黑,或从白到白),由于白室只有10个,为使参观的展室最多,只能从黑室开始,顺次经过所有的白室,最终到达黑室,所以,至多能参观到21个展室。选C。

8、选B。解:4种花色相当于4个抽屉,设最少要抽x张扑克,问题相当于把x张扑克放进4个抽屉,至少有4张牌在同一个抽屉,有x=3×4+1=13。故选B。

二、填空题

1、解:根据图中①、②、③的规律,可知图④中的三角形的个数为1+4+3×4+32×4+33×4=1+4+12+36+108=161(个)

2、解:根据题意,如果扑克牌的张数为2、22、23、??2n,那么依照上述操作方法,剩下的一张牌就是这些牌的最后一张,例如:手中只有64张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第64张牌,现在手中有108张牌,多出108-64=44(张),如果依照上述操作方法,先丢掉44张牌,那么此时手中恰有64张牌,而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层,这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原顺序的第88张牌,按照两副扑克牌的花色

排列顺序88-54-2-26=6,所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。

3、解:百位上的数共有9个,十位上的数共有10个,个位上的数共有2个,因此所有的三位数共9×10×2=180。

4、解:设放在三个盒子里的球数分别为x、y、z,球无区别,盒子无区别,故

?x?y?z?71可令x?y?0,依题意有?,于是3x?7,x?2,故x只有取3、3?x?y?z?04、5、6、7共五个值。

①x?3时,y?z?4,则y只取3、2,相应z取1、2,故有2种放法; ②x=4时,y?z?3,则y只取3、2,相应z取0、1,故有2种放法; ③x=5时,y?z?2,则y只取2、1,相应z取1、0,故有2种放法; ④x=6时,y?z?1,则y只取1,相应z取0,故有1种放法; ⑤x=7时,y?z?0,则y只取0,相应z取0,故有1种放法; 综上所求,故有8种不同放法。

5、解:先把第999个(中间)“-”改为“+”,然后,对乙的每次改动,甲做与之中心对称的改动,视数字为点,对应在数轴上,这1997个点正好关于点(999)对称。

6、解:由题意说假话的至少有1人,但不多于1人,所以说假话的1人,说真话的99人。

三、1、解:1+2+3+??9=45,故正方形的边长最多为11,而组成的正方形的边长至少有两条线段的和,故边长最小为7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=7+4=6+5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故边长为7、8、10、11的正方形各一个,共4个。而边长为9的边可有5种可能能组成5种不同的正方形。所以有9种不同的方法组成正方形。

2、证明:利用抽屉原理,按植树的多少,从50至100株可以构造51年抽屉,则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里,那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里,而参加植树的人数为204人,每个抽屉最多有4人,故植树的总株数最多有:

(50?100)?51 4(50+51+52+??+100)=4×=15300<15301,得出矛盾。2

因此,至少有5人植树的株数相同。

3、解:王华获胜。

王华先取2个弹子,将2000(是4的倍数)个弹子留给张伟取,不记张伟取多少个弹子,设为x个,王华总跟着取(4-x)个,这样总保证将4的倍

数个弹子留给张伟取,如此下去,最后一次是将4个弹子留给张伟取,张伟取后,王华一次取完余下的弹子。

4、解析在研究与某些元素间关系相关的存在问题时,常常利用染色造抽屉解题。17位科学家看作17个点,每两位科学家互相通信看作是两点的连线段,关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段,如用红色表示关于问题甲的通信,蓝色表示问题乙通信,黄色表示问题丙通信。这样等价于:有17个点,任三点不共线,每两点连成一条线段,把每条线段染成红色、蓝色和黄色,且每条线段只染一种颜色,证明一定存在一个三角形三边同色的三角形。 证明:从17个点中的一点,比如点A处作引16条线段,共三种颜色,由抽屉原理至少有6条线段同色,设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色。 若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线,设这两点为B、C,则△ABC是一个三边同为红色的三角形。

若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色,则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种,必有3条线段同色,设为BC、BD、BE均为黄色,再研究△CDE的三边的颜色,要么同为蓝色,则△CDE是一个三边同色的三角形,要么至少有一边为黄色,设这边为CD,则△CDE是一个三边同为黄色的三角形。

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