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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试

发布时间:2013-11-28 08:04:20  

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试

2006年4月16日 上午10∶30至10∶30

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题:①a-22-a的相反数是;②a-b的相反数b2+4b2+4

是a的相反数与b的相反数的差;③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.其中真命题有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是( )

(A(B(C(D)

3.在代数式xy2中,x与y

25% (A)50% (B)75% (C)27 64(D)37 64

4.若a<b<0<c<a,则以下结论中,正确的是( )

(A)a+b+c+d一定是正数

(C)d-c-b-a一定是正数 (B)d+c-a-b可能是负数 (D)c-d-b-a一定是正数

5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是( )

(A)10

6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )

(A)m一定是奇数 (B)m一定是偶数

(D)m的奇偶性不能确定 (B)20 (C)30 (D)40 图1 (C)仅当a,b,c同奇偶时,m是偶数

7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是( )

(A)30 (B)31 (C)32 (D)33

8.如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩

形有( ) (A)40个

9.设[a]是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=-

1,[0]=0,[-1.2]=-2,则在以下四个结论中,正确的是( ) (A)[a]+[-a]=0 (C)[a]+[-a]≠0

(B)[a]+[-a]等于0或-1 (D)[a]+[-a]等于0或1

A

B

D

(B)38个 (C)36个 (D)34个

C

图2

10.On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,

and the distance between A and B is less than 10.Let m=5-2b,then the range of the value of m is( ) (A)-1<m<39

(B)-39<m<1

(C)-29<m<11 (D)-11<m<29

(英汉字典:number axis 数轴;point 点;corresponding to 对应于?;respectively 分别地;distance 距离;less than 小于;value 值;range 范围) 二、填空题(每小题4分,共40分) 11.1-2

12

19411711151

+3-4+5-6+7-8+9=_______.

301262042567290

?1?

1??

?1?

1??

?1

1?

12.若m+n-p=0,则m??n-p??+n??m-p??-p?m-n?的值等于______. ??

13.图3是一个小区的街道图,A、B、C、?X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口

都可以沿直线看到这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设__________个岗哨.

BEF

R

S

XYZ图3

14.如果m-

15.11=-3,那么m3-3=____________. mm1+2+3+4+5+?+2005+2006=__________. 1??1??1??1??1??1???1-??1-??1-??1-???1-??1-??1004??1005??1006??1007??2005??2006?

16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余下

的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有______个.

17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21

和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁.

18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”

开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有________人.

19.2m+2006+2m(m是正整数)的末位数字是__________.

20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations (a-2b)x=1,(b-3c)y=1,(c

-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is ____________.

(英汉词典:to assume 假设;integer 整数;equation 方程;solution(方程的)解;positive 正的;respectively 分别地;minimum 最小值)

三、解答题(本大题共3小题,第21题10分,第22、23题15分共40分)要求:写出推算过程.

21.(1)证明:奇数的平方被8除余1.

(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

22.如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO并延长

交BC于D,连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积.

23.老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度25千米/小

时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时. FBD图4 C

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试 参考答案

一、选择题

1、C ,提示:①②④正确,③错误。

2、C ,提示:正方体的平面展开图中一个顶点能连出4个正方形。

3、C ,提示:xy2?(x?25%x)(y?25%y)?372xy 64

4、C ,提示:(A)a?b?0,c?d?0, a?b?c?d不确定,A错;

(B)d?c?0,?a?0,?b?0 d?c?a?b?0,B错;

(C)d?c?0,?a?0,?b?0, d?c?b?a?0,C 对;

(D)c?d?0,?a?0,?b?0 c?d?b?a不确定,D错。

5、A ,提示:如图,DA?DB?DC,?CAD??ACD?30?,

?DBA??DAB?50?,?DBC??DCB?x?,

x??x??30??30??50??50??180?,

x?10。

6、B ,提示:因为m中如果有a,b,c出现,则都是以它们的偶数倍形式出现的。

7、B ,提示:(a,b)?4,(b,c)?3,则a?4,b?4?3,则a?4,b?4?3,又[a,b,c]?60,则

c?3?5,a?b?c?31。

8、A ,提示:共有矩形60个,共有是正方形的有20个。

9、D ,提示:当a?1时,[a]?[?a]?0,当a?

10、C ,提示:1时,[a]?[?a]?0?(?1)??1。 2,b?7?10,?10?b?7?10,?3?b?17

?17??b?3,?34??2b?6,?29?5?2b?11,即?29?m?11。

二、填空题

1511914117119提示: 1?2?3?4?5?6?7?8?911、 1,2612203042567290101111111 ?1???3?3??5???7????9? 261220304290

1111111 ?1?????????261220304290

1111111 ?1?????????22334910

1119 ?1????1221010

12、?3,

111111提示:m(?)?n(?)?p(?)npmpmnmmnnnp ??????npmpmnmpnpmn ?(?)?(?)?(?)nnmmpp ??1?1?1 ??3

13、4 ,提示:如图四点:D、N、Y、F

11111?(m?)(m2?1?2)?(m?)[(m?)2?3]314、?36,提示: mmmmm

?(?3)?[(?3)2?3]?36m3?

15、4026042;提示:

16、31;提示:设这1?2?3?4?5???2005?2006111111(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?)(1?)1004100510061007200520061?2?3?4?5???2005?2006????????100410051006100720052006?2?(1?2?3?4?5???2005?2006)2006?(1?2006)2?2006?2007

?4026042?2?些乒乓球有x个,则发给第一名:

11x?个; 22

发给第二名:(x?

发给第三名:

则(?111111x?)???2x?2个, 222222111111个,发给第四名:个,发给第五名:个。 x?x?x?2323252524241

2311111,x?,x?31。 ???)(x?1)?x3222232425

17、18 ;提示:设甲,乙,丙,丁四人的年龄为a,b,c,d,则

?a?b?c?d?29? 3?c? 3d?a?b?①?a?b?d?c?23?a?b?3c?d??3② ???c?d?a?c?d?b?21?a?3b③ ??3?3a?b?c?d?b?c?d④ ??a?17 3?

?87 ?69 ?63 ?51

①+②+③+④ 得6(a?b?c?d)?270,a?b?c?d?45⑤,将⑤分别代入①,②,③,④,求得

a?3,b?4,c?12,d?21,d?a?21?3?18。

1,2,?19,20,?,n??19,n?18,?,n?1,n??????

18、53 ,提示:15个

n,n?1,?,n?18,n?19,??20,19,?2 ,1 ????

15个,19?15?9?53。

19、0 ,提示:2m?2006?2m?2m?(22006?1),24n?1的末位数字是2 ,22006的末位数字 是4 ,

22006?1 的末位数字是5,故2m?(22006?1)是0 。

?a?2b?0?a?2b?1?b?3c?0?b?3c?1??20、2433, 提示:? ,又a,b,c,d为整数,? c?4d?0c?4d?1?????d?100?0?d?100?1

,?1?d4?40b5?,?1c?3,1a?1?2b?2433 d?101c

三、21、(1)证明:设奇数为2k?1,则(2k?1)2?4k2?4k?1?4k(k?1)?1; (i)当k为奇数时,4k(k?1)能被8整除,故4k(k?1)?1被8除余1;

(ii)当k为偶数时,4k(k?1)能被8整除,故4k(k?1)?1被8除余1。

故奇数的平方被8除余1。

(2)证明:2006?8?250?8?6,10个奇数的平方和为:8k?10?8m?2,

故2006不能表示为10个奇数的平方之和。

22、解:如图,S?ABC?1,E为AC中点,O为BE中点,

S?ABE?S?BCE?11,S?ABO?S?AEO?S?BCO?S?CEO?, 24

S?OBFFO?OBFO??, S?CEOCO?OECO设S?OBF?y,S?OBD?x,

S?AFOFOSS?,即?OBF??AFO

S?ACOCOS?CEOS?ACO1?yy111311,?,y??y,y?,y?。 216441612?444

S?BDODO?OBDOS?CDODOSS???,, 即 ?BDO??CDO, S?AEOAO?OEAOS?ACOAOS?AEOS?ACO

1?xx11?,x?,S四边形BDOF?。 111126?444

23、解:让一A 同学先步行,老师乘摩托车带B 同学行驶t小时后,让B同学步行至博物

馆,老师返回接A同学,并带他到博物馆,则有20t?5?(3?t)?33,t?1.2;

当t?1.2时,20?1.2?24,5?1.2?6,24?6?18,18?(25?5)?0.6,0.6?5?3,

33?6?3?24,24?20?1.2,1.2?1.2?0.6?3,能到,

故,让A同学先行,老师乘摩托车带B同学行驶1.2 小时,也就是24千米后,让B步

行至博物馆,老师返回接A 同学,这样,3小时后,三人同时到达博物馆。

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