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初中数学竞赛(六)

发布时间:2013-11-28 08:04:21  

初中数学竞赛

一、填空题:

1、G是△ABC的重心,连结AG并延长交边BC于D,若△ABC的面积为

6cm2, 则△BGD的面积为( )

3 A. 2cm2 B. 3 cm C. 1 cm2 D. cm2 22、如图10-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠C的平分线

与∠B的外角的平分线交于E点,则∠AEB是( ) A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 图

3、在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,如图10-2,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置,其中A’、B

B’分别是A、B的对应点,B在A’B’上,CA’交AB于D,则

∠BDC的度数为( ) 图10-2 A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

4、设G是△ABC的垂心,且AG=6,BG=8,CG=10,则三角形的面积为

( )

A. 58 B. 66 C. 72 D. 84

5、如图10-3,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使AD

边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的B A 交点为F,△CEF的面积为(

F A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

C C E E

图10-3

6、在△ABC中,∠A=45°,BC=a,高BE、CF交于点H,则AH=( )

A. 1a

2B. 2a 2C. a D. 2a

7、已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、

AB的对称点,若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线,垂心为H,则其图中直角三

角形的个数是( )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题 1、如图10-4,I是△ABC的内心,∠A=40°,则∠CIB=_

_ 图10-4 数学竞赛专项训练(7)-1

2、在凸四边形ABCD中,已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠ABC=90°,则∠DAB的度数是_____

A

3、如图10-5,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,将矩形ABCD

沿对角线对折,然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面

的面积是___ B ’ 图10-5 D C

4、在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心)若现在时间恰好是12点整,则经过____秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大。

5、已知等腰三角形顶角为36°,则底与腰的比值等于______

6、已知AM是△ABC中BC边上的中线,P是△ABC的重心,过P作

(EF∥BC),分别交AB、AC于E、F,则BECF=________ ?AEAF

三、解答题

1、如图10-6,在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E,过D作AE的垂线与OA交于F。求证:OE=OF

2、在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N。

求证:①△DEM≌△DFN

②∠PAE=∠PBF F

数学竞赛专项训练(7)-2 图10-7

3、如图10-8,在△ABC中,AB=AC,底角B的三等分线交高线AD于M、N,边CN并延长交AB于E。 求证:EM∥BN

图10-8

4、如图10-9,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两于C、D两点,连结BC、CD,设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。

BPNQ 求证:① ?PMQB ②△KPM∽△NQK

图10-9 数学竞赛专项训练(7)-3

一、选择题

1111、解:S?BGD?S?ABD??S?ABC?1(cm2)。选C。 332

2、解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则∠ABC=60°,因为EB

是∠B的外角的平分线,所以∠ABE=60°,因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点,所以E点到CB的距离等于E到AB的距离,也等于E点到CA的距离,从而AE是∠A的外角的平分线。

150? 所以?BAE? ?75?,∠AEB=180°-60°-75°=45°。应选B。2

3、解:依题意在等腰三角形B′CB中,有∠B′CB=α,∠B′=90°-20°

=70°。

所以α=180°-2×70°=40°,即∠DCA=α=40°, 从而∠BDC

=∠DCA+∠A=40°+20°=60°。应选D。

14、解:设AD为中线,则DG=AG=3,延长GD到G′,DG=DG′=3, 2

1 S?GBC?S?CGG???8?6?24   S?ABC?3S?GBC?72。应选C。 2

5、解:由折叠过程知,DE=AD=6,∠DAE=∠CEF=45°,所以△CEF是

等腰直角三角形,且EC=8-6=2,所以S△CEF=2。故选A。

6、解:取△ABC的外心及BC中点M,连OB、OC、OM,由于∠A=45°,

1故∠BOC=90°,OM=a,由于AH=2OM,AH=a。应选C。 2

7、解:因为IA1=IB1=IC1=2r(r为△ABC的内切圆半径),所以I点同时是

△A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D,则IB=IA1=2ID,所以∠IBD=30°。同理,∠IBA=30°,于是∠ABC=60°。故选C。

8、图中有6个直角,每一个直角对应两个直角三角形,共有12个直角三角形:

△ADB、△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选D。

二、填空题

1、解:?BIC??BID??DIC?(

   ?90??40??110?2ABACA?)?(?)?90??22222

2、解:连AC,即AD=a,则在等腰Rt△ABC中

AC2?AB2?BC2?8a2?(3a)2?a2?CD2?AD2

有∠CAD=90° ∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。

3、解:设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S,则:

数学竞赛专项训练参考答案(10)-4

S?S?ABC?S?AD1C?S?AEC?S矩形ABCD?S?AECS?AEC

15?AB?EC?EC22

由Rt△ABE≌Rt△CD1E 知EC=AE

设EC=x,则AB2?BE2?x2,即52?(12?x)2?x2 解得:x?169  S?AEC?5?169?845  S?5?12?845?2035

24

2

24

48

48

48

15

。设OA边上的高为h,则h≤OB,所以S?OAB?1OA?h?1OA?OB 5922

当OA⊥OB时,等号成立,此时△OAB的面积最大。

设经过t秒时,OA与OB第一次垂直,又因为秒针1秒钟旋转6度,分

15

针1秒钟旋转0.1度,于是(6-0.1)t=90,解得t=15。

59

5、解:设等腰三角形底边为a,腰为b,作底角∠B的平分线交AC于D,则

1

?B?(180??36?)?70? ∴△BCD、△DAB均为等腰三角形。

2

4、解:答:15

BD=AD=BC=a,而CD=b-a 由△BCD∽△ABC ∴BC?CD  即a?b?a

AB

BC

b

a

则有(a)2?(a)?1?0  解得a?

b

b

b5?1(取正)

2

6、解:如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线

EF于G、K,则有

BEBGCECK ??AEAPAFAP

1

两式相加 又梯形BCKG中,PM=

2

(BG+CK),而由P为重心得AP=2PM 故

BECFBG?CK

??AEAFAP

M

BECF2PM

???1 AEAF2PM

三、解答题

1、证明:∵正方形ABCD ∴OA⊥DE ∵DF⊥AE ∴F是△DAE的垂

∴EF⊥AD ∴EF∥AB ∵OA=OB ∴OE=OF

2、证明 ①如图,据题设可知DM平行且等于BN,DN平行且等于AM,

∴∠AMD=∠BND

∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点

∴EM=AM=DN FN=BN=DM 又已知DE=DF ∴△

DEM

数学竞赛专项训练参考答案(10)-5

≌△DFN

②由上述全等三角形可知∠EMD=∠FND ∴∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF均为等腰三角形 ∴∠PAE=∠PBF。 3、证明:连结MC ∵AB=BC,AD⊥BC ∴∠1=∠2=∠3

∵∠4=∠5=∠6 又∵∠7=∠8 ∴M是△AEC

AEAM ∴EM是∠AEN的平分线 ∴ ?ENMN 又∵∠EBN=2∠NBD=2∠1 ∠ENB=∠NBD+∠4AEAM ∴EB=EN ∴ ∴EN∥BN ?EBMN

4、证明:①如图: 因为M是BC的中点,P是BC的中点,所以MP⊥

BC,∠BPM=90°,连结AB,则有∠PBM=

DAB)=90°-11∠CAB=(180°-∠22⌒1∠DAB=90°-∠NBD=∠QNB。 所以Rt△BPM∽2

MPBQRt△NQB。于是有BP?NQ

②因为KP∥BD,且KP=1BD=BQ,所以,四边形PBQK是平行四边2

MPKP形。于是,有BP=KQ BQ=KP 由式①得KQ?NQ。又∠KPM=∠

KPB+90°=∠KQB+90°=∠NQK,所以△KPM∽△NQK。

数学竞赛专项训练参考答案(10)-6

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